河北省邢台市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

河北省邢台市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

邢台市2018-2019学年高二下学期期末考试 数学（理）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设，则 （　　）‎ A. B. ‎10 ‎C. D. 100‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算化简为的形式，然后求得的表达式，进而求得.‎ ‎【详解】，，.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.‎ ‎2.现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩服从正态分布，已知，则成绩高于570的学生人数约为（　　）‎ A. 1200 B. ‎2400 ‎C. 3000 D. 1500‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布的对称性，求得的值，进而求得高于的学生人数的估计值.‎ ‎【详解】，则成绩高于570的学生人数约为.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.‎ ‎3.正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. ‎ 以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。‎ ‎【详解】大前提：正切函数是奇函数，正确；‎ 小前提：是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；‎ 结论：是奇函数，该函数为偶函数，故错误；‎ 结合三段论可得小前提不正确.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查简易逻辑，考查三段论，属于基础题。‎ ‎4.随机变量，且，则（　　）‎ A. 64 B. ‎128 ‎C. 256 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.‎ ‎【详解】随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.‎ ‎5.的展开式存在常数项，则正整数的最小值为（　　）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简二项式展开式的通项公式，令的指数为零，根据为正整数，求得的最小值.‎ ‎【详解】，令，则，当时，有最小值为7.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.‎ ‎6.已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对已知函数f(x)求导，由可得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。‎ ‎【详解】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.‎ ‎【点睛】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a。‎ ‎7.由数字0，1，2，3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为（　　）‎ A. 12 B. ‎20 ‎C. 30 D. 31‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成两位数、三位数、四位数三种情况，利用所有数字之和是的倍数，计算出每种情况下的方法数然后相加，求得所求的方法总数.‎ ‎【详解】两位数：含数字1，2的数有个，或含数字3，0的数有1个. 三位数：含数字0，1，2的数有个， 含数字1，2，3有个. 四位数：有个. 所以共有个.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查一个数能被 整除的数字特征，考查简单的排列组合计算，属于基础题.‎ ‎8.某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一假设成立，分析，可推出。‎ ‎【详解】若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查合情推理，属于基础题。‎ ‎9.的展开式中含项的系数为（ ）‎ A. 160 B. ‎210 ‎C. 120 D. 252‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再由二项式通项，可得项的系数。‎ ‎【详解】，，当时，.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数。‎ ‎10.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得“数学不排第一节，物理不排最后一节”的概率，然后求得“数学不排第一节，物理不排最后一节，化学排第四节”的概率.再根据条件概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】设事件：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件：化学排第四节. ，，故满足条件的概率是.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查条件概型计算，考查古典概型概率计算，考查实际问题的排列组合计算，属于中档题.‎ ‎11.如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（　　）‎ A. 120种 B. 240种 C. 144种 D. 288种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.‎ ‎【详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有种；从而所求的结果为种.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立事件的方法，属于中档题.‎ ‎12.已知函数在上恒不大于0，则的最大值为（　　）‎ A. B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数导数，当时，利用特殊值判断不符合题意.当时，根据的导函数求得的最大值，令这个最大值恒不大于零，化简后通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性和零点，并由此求得的取值范围，进而求得的最大值.‎ ‎【详解】，当时，，则在上单调递增，，所以不满足恒成立；当时， 在上单调递增，在上单调递减，所以，又恒成立，即. 设，则. 因为在上单调递增，且，，所以存在唯一的实数，使得，当时，；当时，，所以，解得，又，所以，故整数的最大值为.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查构造函数法，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 ‎13.若复数，则的共轭复数的虚部为_____‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数乘法运算化简为的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.‎ ‎【详解】，，故虚部为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.‎ ‎14.设，则 _______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令可求出的值，然后利用可得出，然后将两式相减可得出代数式的值。‎ ‎【详解】，‎ 令可得，‎ 令可得，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式项的系数和，一般利用赋值法来求解，赋值如下：‎ 设，则 ‎（1）；（2）；（3）.‎ ‎15.若是函数极值点，则在上的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间上的最小值。‎ ‎【详解】，‎ 则，解得，所以，‎ 则.令，得或；‎ 令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a。‎ ‎16.某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有______种（用数学作答）.‎ ‎【答案】540‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知有3种不同的分组方法，依次求出每种的个数再相加即得。‎ ‎【详解】由题可知6名学生不同的分组方法有三类：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，2.所以不同的选择方法共有种.‎ ‎【点睛】本题考查计数原理，章节知识点涵盖全面。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客. 面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同. 某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查. 调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人. ‎ ‎(1）根据题意，请将下面的列联表填写完整；‎ ‎（2）根据列联表数据，判断是否有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关. ‎ 附参考公式与表：. ‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）没有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据填写好列联表.（2）计算的观测值，由此判断“没有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关”.‎ ‎【详解】（1）根据题目中的数据，列出列联表如下：‎ 选择“西游传说”‎ 选择“千古蝶恋”‎ 总计 成年人 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 未成年人 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（2）的观测值是. ‎ 因为，所以没有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.‎ ‎【点睛】本小题主要考查补全列联表，考查独立性检验的有关计算和运用，属于基础题.‎ ‎18.互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人. ‎ ‎（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；‎ ‎（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）440‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先计算出选取的人中，全都是高于岁的概率，然后用减去这个概率，求得至少有人的年龄低于岁的概率.（2）首先确定“销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数”满足二项分布，求得销售额的表达式，然后利用期望计算公式，计算出销售额的期望.‎ ‎【详解】（1）设事件表示至少有1人的年龄低于45岁， ‎ 则. ‎ ‎（2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为. ‎ 设表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则，‎ 设表示销售额，则， ‎ 所以销售额的数学期望（元）.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用对立事件来计算古典概型概率问题，考查二项分布的识别和期望的计算，考查随机变量线性运算后的数学期望的计算.‎ ‎19.已知数列，其前项和为；‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件，计算出的值；（2）由（1）猜想，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明.‎ ‎【详解】（1）计算， ‎ ‎，， ‎ ‎（2）猜想. ‎ 证明：①当时，左边，右边，猜想成立. ‎ ‎②假设猜想成立. ‎ 即成立，‎ 那么当时， ‎ ‎， ‎ 而， ‎ 故当时，猜想也成立. ‎ 由①②可知，对于，猜想都成立.‎ ‎【点睛】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.‎ ‎20.在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀. ‎ 经计算样本的平均值，标准差. 为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判 ‎① ；‎ ‎② ；‎ ‎③ ‎ 评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷. ‎ ‎（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；‎ ‎（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）该份试卷应被评为合格试卷；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频数分布表，计算，，值，由此判断出“该份试卷应被评为合格试卷”.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.‎ ‎【详解】（1）， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷. ‎ ‎（2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以的取值可能为0，1，2，3 ‎ ‎；；‎ ‎； ‎ 所以随机变的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正态分布的概念，考查频率的计算，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.‎ ‎21.随着智能手机的普及，各类手机娱乐软件也如雨后春笋般涌现. 如表中统计的是某手机娱乐软件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为（如对应于2018年8月份，对应于2018年9月份，…，对应于2019年4月份），月新注册用户数为（单位：百万人）‎ ‎（1）请依据上表的统计数据，判断月新注册用户与月份线性相关性的强弱；‎ ‎（2）求出月新注册用户关于月份的线性回归方程，并预测2019年5月份的新注册用户总数. ‎ 参考数据：，，. ‎ 回归直线的斜率和截距公式：，. ‎ 相关系数（当时，认为两相关变量相关性很强. ）‎ 注意：两问的计算结果均保留两位小数 ‎【答案】（1）月新注册用户与月份的线性相关性很强；（2）10.06百万 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据和相关系数计算公式，计算出相关系数，由此判断出“月新注册用户与月份的线性相关性很强”.（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并利用回归直线方程预测出2019年5月份的新注册用户总数.‎ ‎【详解】（1）由题意得， ‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 故. ‎ 因为，所以月新注册用户与月份的线性相关性很强.‎ ‎（2）由（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以回归方程为， ‎ 令，得，即2019年5月份新注册用户预测值为10.06百万人.‎ ‎【点睛】本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若，求的零点个数；‎ ‎（2）若，，证明：，.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将a的值代入f(x)，再求导得，在定义域内讨论函数单调性，再由函数的最小值正负来判断它的零点个数；（2）把a的值代入f(x)，将整理化简为，即证明该不等式在上恒成立，构造新的函数，利用导数可知其在定义域上的最小值，构造函数，由导数可知其定义域上的最大值，二者比较大小，即得证。‎ ‎【详解】（1）解：因为，所以.‎ 令，得或；令，得，‎ 所以在，上单调递增，在上单调递减，‎ 而，，，‎ 所以的零点个数为1.‎ ‎（2）证明：因为，从而.‎ 又因为，‎ 所以要证，恒成立，‎ 即证，恒成立，‎ 即证，恒成立.‎ 设，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以.‎ 设，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以，所以，‎ 所以，恒成立，‎ 即，.‎ ‎【点睛】本题考查用导数求函数的零点个数以及证明不不等式，运用了构造新的函数的方法。‎