吉林省吉林市普通中学2020届高三第二次调研测试 数学(理)

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吉林省吉林市普通中学2020届高三第二次调研测试 数学(理)

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学 本试卷共22小题,共150分,共4页,考试时间120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条 形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、‎ 笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 ‎ 纸刀。‎ 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。‎ ‎1. 集合的子集的个数是 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多,则下列叙述一定错误的是 A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 ‎ C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 ‎4. “”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎5. 对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据 :‎ ‎,下列函数模型中拟合较好的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎·7·‎ ‎6. 已知实数满足线性约束条件,则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知圆与抛物线的准线相切,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 如图,正方体中,分别为 所在棱的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是 ‎ A. 直线 B. 直线 ‎ C. 直线 D. 直线 ‎9. 我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积 ‎ 术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂 ‎ 乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积. 其实质是根据三角形的三 ‎ 边长求三角形面积,即. 若的面积 ‎,则等于 A. B. C. 或 D. 或 ‎10. 已知双曲线的焦距为. 点为双曲线的右顶点,‎ ‎ 若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 如图,在中,点分别为的中点,若,且满足 ‎·7·‎ ‎ ,则等于 A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案填在答题卡中相应位置。‎ ‎13. 在空间直角坐标系中,,则四面 体的外接球的体积为__________.‎ ‎14. 直线过圆的圆心,则 ‎ 的最小值是__________.‎ ‎15. 若函数在区间上恰有个不同的零点,则正数的取 ‎ 值范围是__________.‎ ‎16. 关于函数有下列四个命题:‎ ‎ ①函数在上是增函数;‎ ‎②函数的图象关于中心对称;‎ ‎③不存在斜率小于且与数的图象相切的直线;‎ ‎④函数的导函数不存在极小值.‎ 其中正确的命题有__________. (写出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (10分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,‎ 且成等差数列.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)若数列满足,求的 值.‎ ‎18. (12分)如图,三棱柱的侧棱垂直于底面,‎ 且,是棱的中点. ‎ ‎·7·‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎19. (12分)已知中,角所对的边分别为,‎ ‎,且满足.‎ ‎ (1)求的面积; (2)若求的最大值.‎ ‎20. (12分)为满足人们的阅读需求,图书馆设立了无人值守的自助阅读区,提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域. 现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况,数据统计如下(单位:本).‎ 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 ‎100‎ ‎40‎ ‎10‎ 科普类图书 ‎30‎ ‎200‎ ‎30‎ 其他图书 ‎20‎ ‎10‎ ‎60‎ ‎(1)根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率;‎ ‎(2)根据统计数据估计图书分类错误的概率;‎ ‎(3)假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为,其中,当的方差最大时,求的值,并求出此时方差的值.‎ ‎21. (12分)设函数.‎ ‎(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,证明:.‎ ‎22. (12分)已知,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若过点的直线与曲线交于两点,过点且与直线垂直的直线与相交于点,求的最小值及此时直线的方程.‎ ‎·7·‎ ‎·7·‎ ‎·7·‎ ‎ ‎ ‎·7·‎
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