数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二下学期第一次月考数学试卷(理科) (解析版)

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数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二下学期第一次月考数学试卷(理科) (解析版)

‎2016-2017学年湖南省衡阳八中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的.‎ ‎1.已知椭圆的两个焦点为F1(﹣,0),F2(,0),P是此椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|•|PF2|=2,则该椭圆的方程是(  )‎ A. +y2=1 B. +y2=1 C.x2+=1 D.x2+=1‎ ‎2.下列有关命题的叙述,错误的个数为(  )‎ ‎①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题 ‎②“x>5”是“x2﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 ‎③命题p:∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p:∀x∈R,使得x2+x﹣1≥0‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2﹣3x+2≠0”‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(1),则f′(1)的值等于(  )‎ A. B. C.1 D.﹣1‎ ‎5.已知三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若复数z满足|z|=2,则|1+i+z|的取值范围是(  )‎ A.[1,3] B.[1,4] C.[0,3] D.[0,4]‎ ‎7.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有(  )‎ A.36种 B.38种 C.108种 D.114种 ‎8.已知边长为的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD,则四面体的外接球的表面积为(  )‎ A.25π B.26π C.27π D.28π ‎9.l是经过双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线,A,B是双曲线C的两个顶点,若在l上存在一点P,使∠APB=60°,则双曲线的离心率的最大值为(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎10.函数f(x)=的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是(  )‎ A.(1,) B.(,+∞) C.(,2) D.(2,+∞)‎ ‎12.已知点A是抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C:x2+(y﹣4)2=a2在第一象限的公共点,且点A到抛物线M焦点F的距离为a,若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点,则直线OA被圆C所截得的弦长为(  )‎ A.2 B.2 C. D.‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎13.已知向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2),则与的夹角的大小为  .‎ ‎14.设f(x)=,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调递增函数,则a的取值范围是  .‎ ‎15.设p:|x﹣a|>3,q:(x+1)(2x﹣1)≥0,若¬p是q的充分不必充要条件,则实数a的取值范围是  .‎ ‎16.设若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是  .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共6题,共70分)‎ ‎17.(10分)2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕,中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二,某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),从被调查的学生中随机抽取了50人,具体的调查结果如表:‎ 班号 一班 二班 三往 四班 五班 六班 频数 ‎5‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ 满意人数 ‎4‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎(Ⅰ)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;‎ ‎(Ⅱ)若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查,记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望.‎ ‎18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.‎ ‎(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;‎ ‎(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ‎,求a的取值范围.‎ ‎19.(12分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.‎ ‎20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,右焦点F(1,0).‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)点P在椭圆C上,且在第一象限内,直线PQ与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且OP⊥OQ,求点Q的纵坐标t的值.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(a≠0).‎ ‎(1)当a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;‎ ‎(2)在(1)的条件下,设函数φ(x)=e2x﹣bex(e为自然对数的底数),x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;‎ ‎(3)令V(x)=2f(x)﹣x2﹣kx(k∈R),如果V(x)的图象与x轴交于A(x1‎ ‎,0),B(x2,0)(0<x1<x2)两点,且线段AB的中点为C(x0,0),求证:V′(x0)≠0.‎ ‎22.(12分)已知椭圆C: +=1,(a>b>0)的离心率为,F1、F2分别为椭圆的上、下焦点,过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,若△ABF1周长为4‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程 ‎(2)P是y轴上一点,以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB,若P点的坐标为(0,﹣2),≤≤1,求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳八中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的.‎ ‎1.已知椭圆的两个焦点为F1(﹣,0),F2(,0),P是此椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|•|PF2|=2,则该椭圆的方程是(  )‎ A. +y2=1 B. +y2=1 C.x2+=1 D.x2+=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】根据已知条件得:,所以,这样即可根据椭圆的定义求出a2,因为c2=5,所以可求出b2,所以椭圆的标准方程就可求出.‎ ‎【解答】解:如图,根据已知条件知:,‎ ‎∵|PF1||PF2|=2;‎ ‎∴=;‎ ‎∴a2=6,b2=6﹣5=1;‎ ‎∴椭圆的标准方程为:.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】考查椭圆的定义,椭圆的标准方程,及a2=b2+c2,完全平方式.‎ ‎ ‎ ‎2.下列有关命题的叙述,错误的个数为(  )‎ ‎①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题 ‎②“x>5”是“x2﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 ‎③命题p:∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p:∀x∈R,使得x2+x﹣1≥0‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2﹣3x+2≠0”‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】特称命题;全称命题.‎ ‎【分析】直接利用复合命题的真假判断①的正误;利用充要条件判断②的正误;特称命题的否定判断③的正误;四种命题的逆否关系判断④的正误.‎ ‎【解答】解:①若p∨q为真命题,p或q一真命题就真,而P∧Q为真命题,必须两个命题都是真命题,所以①不正确.‎ ‎②“x>5”是“x2﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件,满足前者推出后者,对数后者推不出前者,所以②正确.‎ ‎③命题p:∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则﹣p:∀x∈R,使得x2+x﹣1≥0;满足特称命题的否定形式,所以③正确.‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式,正确应为“若x≠1且x≠2,则x2﹣3x+2≠0”.‎ 所以只有②③正确.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断,充要条件关系的判断,命题的否定等知识,考查基本知识的应用.‎ ‎ ‎ ‎3.已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.‎ ‎【分析】先求出f′(x),令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:∵f′(x)=lnx+1﹣2ax,(x>0)‎ 令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.‎ ‎.‎ ‎①当a≤0时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.‎ ‎②当a>0时,令g′(x)=0,解得x=,‎ ‎∵x,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.‎ ‎∴x=是函数g(x)的极大值点,则>0,即>0,‎ ‎∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即.‎ 故当0<a<时,g(x)=0有两个根x1,x2,且x1<<x2,又g(1)=1﹣2a ‎>0,‎ ‎∴x1<1<<x2,从而可知函数f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1,x2)上递增,在区间(x2,+∞)上递减. ‎ ‎∴f(x1)<f(1)=﹣a<0,f(x2)>f(1)=﹣a>﹣.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(1),则f′(1)的值等于(  )‎ A. B. C.1 D.﹣1‎ ‎【考点】导数的运算.‎ ‎【分析】对f(x)求导,将x=1代入导函数求出.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x2+3xf′(1),∴f′(x)=2x+3f′(1).‎ ‎∴当x=1时有f′(1)=2+3f′(1).解得f′(1)=﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.已知三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角.‎ ‎【分析】由图,过A作AE垂直于BC交BC于E,连接SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,由题设条件证出∠ABF即所求线面角.由数据求出其正弦值.‎ ‎【解答】解:过A作AE垂直于BC交BC于E,连接SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,‎ ‎∵正三角形ABC,‎ ‎∴E为BC中点,‎ ‎∵BC⊥AE,SA⊥BC,‎ ‎∴BC⊥面SAE,‎ ‎∴BC⊥AF,AF⊥SE,‎ ‎∴AF⊥面SBC,‎ ‎∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长2,‎ ‎∴AE=,AS=3,‎ ‎∴SE=2,AF=,‎ ‎∴sin∠ABF=.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.‎ ‎ ‎ ‎6.若复数z满足|z|=2,则|1+i+z|的取值范围是(  )‎ A.[1,3] B.[1,4] C.[0,3] D.[0,4]‎ ‎【考点】复数求模.‎ ‎【分析】设z=a+bi(a,b∈R),可得a2+b2=4,知点Z(a,b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆,|1+i+z|表示点Z(a,b)到点M(﹣1,﹣)的距离,结合图形可求.‎ ‎【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),‎ 则=2,即a2+b2=4,可知点Z(a,b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆,‎ ‎|1+i+z|表示点Z(a,b)到点M(﹣1,﹣)的距离,‎ ‎∵(﹣1,﹣)在|z|=2这个圆上,‎ ‎∴距离最小是0,最大是直径4,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义,考查学生的运算求解能力,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有(  )‎ A.36种 B.38种 C.108种 D.114种 ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】分类讨论:①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生;②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生.分别求得这2个方案的方法数,再利用分类计数原理,可得结论.‎ ‎【解答】解:由题意可得,有2种分配方案:①甲部门要2个电脑特长学生,则有3种情况;英语成绩优秀学生的分配有2种可能;再从剩下的3个人中选一人,有3种方法.‎ 根据分步计数原理,共有3×2×3=18种分配方案.‎ ‎②甲部门要1个电脑特长学生,则方法有3种;英语成绩优秀学生的分配方法有2种;再从剩下的3个人种选2个人,方法有33种,共3×2×3=18种分配方案.‎ 由分类计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36种,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查计数原理的运用,根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数,然后用乘法原理和加法原理计算,是解题的常用方法.‎ ‎ ‎ ‎8.已知边长为的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD,则四面体的外接球的表面积为(  )‎ A.25π B.26π C.27π D.28π ‎【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.‎ ‎【分析】正确作出图形,利用勾股定理建立方程,求出四面体的外接球的半径,即可求出四面体的外接球的表面积.‎ ‎【解答】解:如图所示,∠AFC=120°,∠AFE=60°,AF==3,‎ ‎∴AE=,EF=‎ 设OO′=x,则 ‎∵O′B=2,O′F=1,‎ ‎∴由勾股定理可得R2=x2+4=(+1)2+(﹣x)2,‎ ‎∴R2=7,‎ ‎∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查四面体的外接球的表面积,考查学生的计算能力,正确求出四面体的外接球的半径是关键.‎ ‎ ‎ ‎9.l是经过双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线,A,B是双曲线C的两个顶点,若在l上存在一点P,使∠APB=60°,则双曲线的离心率的最大值为(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的焦点F(c,0),直线l:x=c,P(c,n),A(﹣a,0),B(a,0),由两直线的夹角公式可tan∠APB=||,由直线的斜率公式,化简整理,运用基本不等式,结合离心率公式,即可得到所求最大值.‎ ‎【解答】解:设双曲线的焦点F(c,0),直线l:x=c,‎ 可设点P(c,n),A(﹣a,0),B(a,0),‎ 由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||‎ ‎=||===tan60°=,‎ 由|n|+≥2=2,‎ 可得≤,‎ 化简可得3c2≤4a2,即c≤a,‎ 即有e=≤.‎ 当且仅当n=±,即P(c,±),离心率取得最大值.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的最值的求法,注意运用两直线的夹角公式和直线的斜率公式及基本不等式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.函数f(x)=的图象大致为(  )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.‎ ‎【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;‎ 又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,‎ 当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象,其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性,再研究某些特殊值.‎ ‎ ‎ ‎11.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是(  )‎ A.(1,) B.(,+∞) C.(,2) D.(2,+∞)‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线,与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标,再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,‎ 不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=(x﹣c),‎ 与y=﹣x联立,可得交点M(,﹣),‎ ‎∵点M在以线段F1F2为直径的圆外,‎ ‎∴|OM|>|OF2|,即有>c2,‎ ‎∴b2>3a2,‎ ‎∴c2﹣a2>3a2,即c>2a.‎ 则e=>2.‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质,熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.已知点A是抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C:x2+(y﹣4)2=a2在第一象限的公共点,且点A到抛物线M焦点F的距离为a,若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点,则直线OA被圆C所截得的弦长为(  )‎ A.2 B.2 C. D.‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合.‎ ‎【分析】求得圆的圆心和半径,运用抛物线的定义可得A,C,F三点共线时取得最小值,且有A为CF的中点,设出A,C,F的坐标,代入抛物线的方程可得p,由抛物线的定义可得a,求得C到直线OA的距离,运用圆的弦长公式计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:圆C:x2+(y﹣4)2=a2的圆心C(0,4),半径为a,‎ ‎|AC|+|AF|=2a,‎ 由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,‎ 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a,‎ 可得A,C,F三点共线时取得最小值,且有A为CF的中点,‎ 由C(0,4),F(,0),可得A(,2),‎ 代入抛物线的方程可得,4=2p•,解得p=2,‎ 即有a=+=,A(,2),‎ 可得C到直线OA:y=2x的距离为d==,‎ 可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查圆的弦长的求法,注意运用抛物线的定义和三点共线和最小,同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎13.已知向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2),则与的夹角的大小为  .‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算.‎ ‎【分析】利用空间向量的数量积,即可求出两向量的夹角大小.‎ ‎【解答】解:∵向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2),‎ ‎∴•=0×(﹣1)+2×1+1×(﹣2)=0,‎ ‎∴⊥,‎ ‎∴与的夹角为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了利用空间向量的数量积求向量夹角大小的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎14.设f(x)=,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调递增函数,则a的取值范围是 (0,1] .‎ ‎【考点】函数单调性的性质.‎ ‎【分析】求出函数的导数,问题转化为ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立,根据二次函数的性质求出a的范围即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=,‎ ‎∴f'(x)=,‎ ‎∵f(x)为R上的单调增函数,‎ ‎∴f'(x)≥0在R上恒成立,‎ 又∵a为正实数,‎ ‎∴f'(x)≥0在R上恒成立,‎ ‎∴ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立,‎ ‎∴△=4a2﹣4a=4a(a﹣1)≤0,解得0≤a≤1,‎ ‎∵a>0,‎ ‎∴0<a≤1,‎ ‎∴a的取值范围为0<a≤1,‎ 故答案为:(0,1].‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及二次函数的性质,是一道中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.设p:|x﹣a|>3,q:(x+1)(2x﹣1)≥0,若¬p是q的充分不必充要条件,则实数a的取值范围是 (﹣∞,﹣4]∪[,+∞) .‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】分别解出关于p,q的不等式的解集,结合¬p是q的充分必要条件得到关于a的不等式,解出即可.‎ ‎【解答】解:p:|x﹣a|>3,‎ 解得:x>a+3或x<a﹣3;‎ ‎¬p:a﹣3≤x≤a+3,‎ q:(x+1)(2x﹣1)≥0,‎ 解得:x≥或x≤﹣1,‎ 若¬p是q的充分不必充要条件,‎ 则a﹣3≥或a+3≤﹣1,‎ 解得:a≥或a≤﹣4,‎ 故答案为:(﹣∞,﹣4]∪[,+∞).‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎16.设若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是 1 .‎ ‎【考点】函数的值.‎ ‎【分析】分段函数f(x)在不同区间有不同对应法则,可先计算f(1)=lg1=0,再相应代入进行计算即可.‎ ‎【解答】解:∵1>0,∴f(1)=lg1=0,‎ ‎∴f(0)=0+3t2dt==a3,‎ 又f(f(1))=1,‎ ‎∴a3=1,‎ ‎∴a=1,‎ 故答案是1.‎ ‎【点评】本题考查了分段函数求值问题,其关键是由自变量找对应区间.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共6题,共70分)‎ ‎17.(10分)(2017春•雁峰区校级月考)2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕,中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二,某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),从被调查的学生中随机抽取了50人,具体的调查结果如表:‎ 班号 一班 二班 三往 四班 五班 六班 频数 ‎5‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ 满意人数 ‎4‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎(Ⅰ)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;‎ ‎(Ⅱ)若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查,记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【分析】(Ⅰ)在被抽取的50人中,持满意态度的学生共36人,从而求出持满意态度的频率,由此能估计高三年级全体学生持满意态度的概率.‎ ‎(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和期望值.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)在被抽取的50人中,持满意态度的学生共36人,‎ 持满意态度的频率为,‎ 据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为;…(3分)‎ ‎(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,…‎ ‎,…(6分)‎ ‎.…(7分)‎ ‎.…(8分)‎ ‎,…(9分)‎ 所以ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…(10分)‎ 所以ξ的期望值为:. …(12分)‎ ‎【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2017•武邑县校级一模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.‎ ‎(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;‎ ‎(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求a的取值范围.‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)由题目给出的条件,可得四边形ABFD为矩形,说明AB⊥BF,再证明AB⊥EF,由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF,再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF;‎ ‎(2)以A点为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系,利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值,根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围,最后求解不等式可得a的取值范围.‎ ‎【解答】证明:如图,‎ ‎(1)∵AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点,‎ ‎∴ABFD为矩形,AB⊥BF.‎ ‎∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF ‎∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE⊂面ABE,‎ ‎∴平面ABE⊥平面BEF.‎ ‎(2)解:∵DE=EC,∴DC⊥EF,又PD∥EF,AB∥CD,∴AB⊥PD 又AB⊥PD,所以AB⊥面PAD,AB⊥PA.‎ 以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,‎ 则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E(1,1,)‎ 平面BCD的法向量,‎ 设平面EBD的法向量为,‎ 由⇒,即,取y=1,得x=2,z=‎ 则.‎ 所以.‎ 因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,‎ 所以cosθ∈,即.‎ 由得:‎ 由得:或.‎ 所以a的取值范围是.‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定,考查了利用空间向量求二面角的大小,解答的关键是建立正确的空间坐标系,该题训练了学生的计算能力,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013秋•潮南区校级期中)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)欲求f(x)的解析式,设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),即寻找坐标x,y的关系式,这可从对称性方面考虑即可;‎ ‎(2)利用导数研究单调性,即g′(x)≤0在区间(0,2]上恒成立,再利用参数分离法求出a的范围.‎ ‎【解答】解:(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),‎ 点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(﹣x,2﹣y)在h(x)图象上.‎ ‎∴2﹣y=﹣x++2.‎ ‎∴y=x+,即f(x)=x+.‎ ‎(2)g(x)=x+,‎ ‎∵g′(x)=1﹣,g(x)在(0,2]上递减,‎ ‎∴1﹣≤0在x∈(0,2]时恒成立,‎ 即a≥x2﹣1在x∈(0,2)时恒成立.‎ ‎∵x∈(0,2]时,(x2﹣1)max=3,‎ ‎∴a≥3.‎ ‎【点评】本小题主要考查函数的导数,单调性,恒成立问题等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2017•枣阳市校级一模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,右焦点F(1,0).‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)点P在椭圆C上,且在第一象限内,直线PQ与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且OP⊥OQ,求点Q的纵坐标t的值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和焦点坐标,可得c=1,a=2,求得B,进而得到椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)讨论当PM垂直于x轴时,求得P,Q的坐标,运用数量积为0,可得t;当PM不垂直于x轴时,设P(x0,y0),PQ:y﹣y0=k(x﹣x0),运用直线和圆相切的条件:d=r,结合向量垂直的条件:数量积为0,化简整理,即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,c=1,‎ 解得a=2,b==,‎ 可得椭圆方程为+=1;‎ ‎(Ⅱ)当PM垂直于x轴时,可得P(,),Q(,t),‎ 由OP⊥OQ,即有•=3+t=0,解得t=﹣2;‎ 当PM不垂直于x轴时,设P(x0,y0),‎ PQ:y﹣y0=k(x﹣x0),即为kx﹣y﹣kx0+y0=0,‎ 由PQ于圆O:x2+y2=3相切,可得=,‎ 平方可得(kx0﹣y0)2=3(1+k2),即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3,‎ 又Q(,t),‎ 由OP⊥OQ,即有•=x0•+ty0=0,‎ 解得t=,‎ 则t2==‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎==12,‎ 解得t=.‎ 综上可得,t=.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式,考查直线和圆相切的条件:d=r,以及向量数量积的坐标表示,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2017春•雁峰区校级月考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(a≠0).‎ ‎(1)当a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;‎ ‎(2)在(1)的条件下,设函数φ(x)=e2x﹣bex(e为自然对数的底数),x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;‎ ‎(3)令V(x)=2f(x)﹣x2﹣kx(k∈R),如果V(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2)两点,且线段AB的中点为C(x0,0),求证:V′(x0)≠0.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象;利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】(1)求函数f(x)的定义域,然后利用h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,则得到h'(x)≥0恒成立.‎ ‎(2)换元,设t=ex,将函数转化为一元二次函数,利用一元二次函数的单调性求函数的最小值.‎ ‎(3)求函数V(x)的导数,构造新函数,利用新函数的单调性证明V′(x0)≠0.‎ ‎【解答】解:(1)当=﹣2时,h(x)=f(x)﹣g(x),所以h(x)=lnx+x2﹣bx,其定义域为(0,+∞),‎ 因为函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,所以h'(x)≥0恒成立,即恒成立,‎ 所以,当x>0时,,当且仅当时取等号,所以,所以b的取值范围 ‎.‎ ‎(2)设t=ex,则函数φ(x)=e2x﹣bex等价为ω(t)=t2+bt,t∈[1,2],‎ 则,且,‎ 所以①当时,函数ω(t)=t2+bt,在t∈[1,2],上为增函数,所以当t=1时,ω(t)的最小值为b+1.‎ ‎②当,即﹣4<b<﹣2时,当t=时,ω(t)的最小值为﹣.‎ ‎③当时,函数ω(t)=t2+bt,在t∈[1,2]上为减函数,所以当t=2时,ω(t)的最小值为4+2b.‎ 综上:当时,φ(x)的最小值为b+1.‎ 当﹣4<b<﹣2时,φ(x)的最小值为﹣.‎ 当b≤﹣4时,φ(x)的最小值为4+2b.‎ ‎(3)因为V(x)=2f(x)﹣x2﹣kx=,‎ 假设V′(x0)=0,成立,且0<x1<x2,则由题意知,‎ ‎,‎ ‎①﹣②得,‎ 所以,由(4)得,所以 ‎,‎ 即,即⑤‎ 令,则,所以,‎ 所以u(t)在(0,1)上为单调递增函数,所以u(t)<u(1)=0,‎ 即,即,‎ 这与⑤式相矛盾,所以假设不成立,故V′(x0)≠0.‎ ‎【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性,极值以及最值问题,运算量较大,综合性较强.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2016•泰安二模)已知椭圆C: +=1,(a>b>0)的离心率为,F1、F2分别为椭圆的上、下焦点,过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,若△ABF1周长为4‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程 ‎(2)P是y轴上一点,以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB,若P点的坐标为(0,﹣2),≤≤1,求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由题意可得:,4a=4,a2=b2+c2,解出即可得出.‎ ‎(2)F2(0,﹣1).设A(x1,y1),B(x2,y2). =, 1.﹣x1=λx2.由于四边形PAQB是平行四边形,可得==(x1+x2,y1+y2+4).‎ 设直线AB的方程为:y=kx﹣1,与椭圆方程联立化为:(k2+2)x2﹣2kx﹣1=0,利用根与系数的关系可得:k2=,可得:k2∈.由于==,令k2=t∈,f(t)=,再利用导数研究函数的单调性即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得:,4a=4,a2=b2+c2,解得a=,b=c=1.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为: =1.‎ ‎(2)F2(0,﹣1).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2). =, 1.‎ ‎﹣x1=λx2.‎ ‎∵四边形PAQB是平行四边形,‎ ‎==(x1+x2,y1+y2+4).‎ 设直线AB的方程为:y=kx﹣1,‎ 联立,化为:(k2+2)x2﹣2kx﹣1=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=,﹣x1=λx2.‎ 可得:k2==.‎ λ=1时,k=0.‎ 时,k2∈.‎ 综上可得:k2∈.‎ ‎∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k(x1+x2)﹣2,‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==,‎ 令k2=t∈,f(t)=,‎ f′(t)==<0,‎ ‎∴函数f(t)在t∈上单调递减,∴f(t)∈.‎ ‎∴∈.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量坐标运算性质、平行四边形法则、利用导数研究函数的大小极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎
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