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文档介绍
数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二下学期第一次月考数学试卷(理科) (解析版)
2016-2017学年湖南省衡阳八中高二(下)第一次月考数学试卷(理科) 一、选择题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的. 1.已知椭圆的两个焦点为F1(﹣,0),F2(,0),P是此椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|•|PF2|=2,则该椭圆的方程是( ) A. +y2=1 B. +y2=1 C.x2+=1 D.x2+=1 2.下列有关命题的叙述,错误的个数为( ) ①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题 ②“x>5”是“x2﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 ③命题p:∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p:∀x∈R,使得x2+x﹣1≥0 ④命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2﹣3x+2≠0” A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)( ) A. B. C. D. 4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(1),则f′(1)的值等于( ) A. B. C.1 D.﹣1 5.已知三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 6.若复数z满足|z|=2,则|1+i+z|的取值范围是( ) A.[1,3] B.[1,4] C.[0,3] D.[0,4] 7.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有( ) A.36种 B.38种 C.108种 D.114种 8.已知边长为的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD,则四面体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.27π D.28π 9.l是经过双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线,A,B是双曲线C的两个顶点,若在l上存在一点P,使∠APB=60°,则双曲线的离心率的最大值为( ) A. B. C.2 D.3 10.函数f(x)=的图象大致为( ) A. B. C. D. 11.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,) B.(,+∞) C.(,2) D.(2,+∞) 12.已知点A是抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C:x2+(y﹣4)2=a2在第一象限的公共点,且点A到抛物线M焦点F的距离为a,若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点,则直线OA被圆C所截得的弦长为( ) A.2 B.2 C. D. 二.填空题 13.已知向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2),则与的夹角的大小为 . 14.设f(x)=,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调递增函数,则a的取值范围是 . 15.设p:|x﹣a|>3,q:(x+1)(2x﹣1)≥0,若¬p是q的充分不必充要条件,则实数a的取值范围是 . 16.设若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是 . 三.解答题(共6题,共70分) 17.(10分)2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕,中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二,某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),从被调查的学生中随机抽取了50人,具体的调查结果如表: 班号 一班 二班 三往 四班 五班 六班 频数 5 9 11 9 7 9 满意人数 4 7 8 5 6 6 (Ⅰ)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率; (Ⅱ)若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查,记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望. 18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE⊥平面BEF; (2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ,求a的取值范围. 19.(12分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围. 20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,右焦点F(1,0). (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P在椭圆C上,且在第一象限内,直线PQ与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且OP⊥OQ,求点Q的纵坐标t的值. 21.(12分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(a≠0). (1)当a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (2)在(1)的条件下,设函数φ(x)=e2x﹣bex(e为自然对数的底数),x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值; (3)令V(x)=2f(x)﹣x2﹣kx(k∈R),如果V(x)的图象与x轴交于A(x1 ,0),B(x2,0)(0<x1<x2)两点,且线段AB的中点为C(x0,0),求证:V′(x0)≠0. 22.(12分)已知椭圆C: +=1,(a>b>0)的离心率为,F1、F2分别为椭圆的上、下焦点,过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,若△ABF1周长为4 (1)求椭圆C的标准方程 (2)P是y轴上一点,以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB,若P点的坐标为(0,﹣2),≤≤1,求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围. 2016-2017学年湖南省衡阳八中高二(下)第一次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的. 1.已知椭圆的两个焦点为F1(﹣,0),F2(,0),P是此椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|•|PF2|=2,则该椭圆的方程是( ) A. +y2=1 B. +y2=1 C.x2+=1 D.x2+=1 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】根据已知条件得:,所以,这样即可根据椭圆的定义求出a2,因为c2=5,所以可求出b2,所以椭圆的标准方程就可求出. 【解答】解:如图,根据已知条件知:, ∵|PF1||PF2|=2; ∴=; ∴a2=6,b2=6﹣5=1; ∴椭圆的标准方程为:. 故选:A. 【点评】考查椭圆的定义,椭圆的标准方程,及a2=b2+c2,完全平方式. 2.下列有关命题的叙述,错误的个数为( ) ①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题 ②“x>5”是“x2﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件 ③命题p:∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p:∀x∈R,使得x2+x﹣1≥0 ④命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2﹣3x+2≠0” A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】特称命题;全称命题. 【分析】直接利用复合命题的真假判断①的正误;利用充要条件判断②的正误;特称命题的否定判断③的正误;四种命题的逆否关系判断④的正误. 【解答】解:①若p∨q为真命题,p或q一真命题就真,而P∧Q为真命题,必须两个命题都是真命题,所以①不正确. ②“x>5”是“x2﹣4x﹣5>0”的充分不必要条件,满足前者推出后者,对数后者推不出前者,所以②正确. ③命题p:∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则﹣p:∀x∈R,使得x2+x﹣1≥0;满足特称命题的否定形式,所以③正确. ④命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式,正确应为“若x≠1且x≠2,则x2﹣3x+2≠0”. 所以只有②③正确. 故选B. 【点评】本题考查命题真假的判断,充要条件关系的判断,命题的否定等知识,考查基本知识的应用. 3.已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)( ) A. B. C. D. 【考点】利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件. 【分析】先求出f′(x),令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出. 【解答】解:∵f′(x)=lnx+1﹣2ax,(x>0) 令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0. . ①当a≤0时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去. ②当a>0时,令g′(x)=0,解得x=, ∵x,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减. ∴x=是函数g(x)的极大值点,则>0,即>0, ∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即. 故当0<a<时,g(x)=0有两个根x1,x2,且x1<<x2,又g(1)=1﹣2a >0, ∴x1<1<<x2,从而可知函数f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1,x2)上递增,在区间(x2,+∞)上递减. ∴f(x1)<f(1)=﹣a<0,f(x2)>f(1)=﹣a>﹣. 故选:D. 【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(1),则f′(1)的值等于( ) A. B. C.1 D.﹣1 【考点】导数的运算. 【分析】对f(x)求导,将x=1代入导函数求出. 【解答】解:∵f(x)=x2+3xf′(1),∴f′(x)=2x+3f′(1). ∴当x=1时有f′(1)=2+3f′(1).解得f′(1)=﹣1. 故选:D. 【点评】本题考查了导数的运算,属于基础题. 5.已知三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 【考点】直线与平面所成的角. 【分析】由图,过A作AE垂直于BC交BC于E,连接SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,由题设条件证出∠ABF即所求线面角.由数据求出其正弦值. 【解答】解:过A作AE垂直于BC交BC于E,连接SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF, ∵正三角形ABC, ∴E为BC中点, ∵BC⊥AE,SA⊥BC, ∴BC⊥面SAE, ∴BC⊥AF,AF⊥SE, ∴AF⊥面SBC, ∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长2, ∴AE=,AS=3, ∴SE=2,AF=, ∴sin∠ABF=. 故选D. 【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角. 6.若复数z满足|z|=2,则|1+i+z|的取值范围是( ) A.[1,3] B.[1,4] C.[0,3] D.[0,4] 【考点】复数求模. 【分析】设z=a+bi(a,b∈R),可得a2+b2=4,知点Z(a,b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆,|1+i+z|表示点Z(a,b)到点M(﹣1,﹣)的距离,结合图形可求. 【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R), 则=2,即a2+b2=4,可知点Z(a,b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆, |1+i+z|表示点Z(a,b)到点M(﹣1,﹣)的距离, ∵(﹣1,﹣)在|z|=2这个圆上, ∴距离最小是0,最大是直径4, 故选:D. 【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义,考查学生的运算求解能力,属中档题. 7.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有( ) A.36种 B.38种 C.108种 D.114种 【考点】计数原理的应用. 【分析】分类讨论:①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生;②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生.分别求得这2个方案的方法数,再利用分类计数原理,可得结论. 【解答】解:由题意可得,有2种分配方案:①甲部门要2个电脑特长学生,则有3种情况;英语成绩优秀学生的分配有2种可能;再从剩下的3个人中选一人,有3种方法. 根据分步计数原理,共有3×2×3=18种分配方案. ②甲部门要1个电脑特长学生,则方法有3种;英语成绩优秀学生的分配方法有2种;再从剩下的3个人种选2个人,方法有33种,共3×2×3=18种分配方案. 由分类计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36种, 故选A. 【点评】本题考查计数原理的运用,根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数,然后用乘法原理和加法原理计算,是解题的常用方法. 8.已知边长为的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD,则四面体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.27π D.28π 【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【分析】正确作出图形,利用勾股定理建立方程,求出四面体的外接球的半径,即可求出四面体的外接球的表面积. 【解答】解:如图所示,∠AFC=120°,∠AFE=60°,AF==3, ∴AE=,EF= 设OO′=x,则 ∵O′B=2,O′F=1, ∴由勾股定理可得R2=x2+4=(+1)2+(﹣x)2, ∴R2=7, ∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π, 故选:D. 【点评】本题考查四面体的外接球的表面积,考查学生的计算能力,正确求出四面体的外接球的半径是关键. 9.l是经过双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线,A,B是双曲线C的两个顶点,若在l上存在一点P,使∠APB=60°,则双曲线的离心率的最大值为( ) A. B. C.2 D.3 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 设双曲线的焦点F(c,0),直线l:x=c,P(c,n),A(﹣a,0),B(a,0),由两直线的夹角公式可tan∠APB=||,由直线的斜率公式,化简整理,运用基本不等式,结合离心率公式,即可得到所求最大值. 【解答】解:设双曲线的焦点F(c,0),直线l:x=c, 可设点P(c,n),A(﹣a,0),B(a,0), 由两直线的夹角公式可得tan∠APB=|| =||===tan60°=, 由|n|+≥2=2, 可得≤, 化简可得3c2≤4a2,即c≤a, 即有e=≤. 当且仅当n=±,即P(c,±),离心率取得最大值. 故选:A. 【点评】本题考查双曲线的离心率的最值的求法,注意运用两直线的夹角公式和直线的斜率公式及基本不等式,考查化简整理的运算能力,属于中档题. 10.函数f(x)=的图象大致为( ) A. B. C. D. 【考点】函数的图象. 【分析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项. 【解答】解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项; 又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方, 当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合, 故选A. 【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象,其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性,再研究某些特殊值. 11.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,) B.(,+∞) C.(,2) D.(2,+∞) 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线,与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标,再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出. 【解答】解:双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x, 不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=(x﹣c), 与y=﹣x联立,可得交点M(,﹣), ∵点M在以线段F1F2为直径的圆外, ∴|OM|>|OF2|,即有>c2, ∴b2>3a2, ∴c2﹣a2>3a2,即c>2a. 则e=>2. ∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞). 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质,熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键. 12.已知点A是抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C:x2+(y﹣4)2=a2在第一象限的公共点,且点A到抛物线M焦点F的距离为a,若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点,则直线OA被圆C所截得的弦长为( ) A.2 B.2 C. D. 【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【分析】求得圆的圆心和半径,运用抛物线的定义可得A,C,F三点共线时取得最小值,且有A为CF的中点,设出A,C,F的坐标,代入抛物线的方程可得p,由抛物线的定义可得a,求得C到直线OA的距离,运用圆的弦长公式计算即可得到所求值. 【解答】解:圆C:x2+(y﹣4)2=a2的圆心C(0,4),半径为a, |AC|+|AF|=2a, 由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a, 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a, 可得A,C,F三点共线时取得最小值,且有A为CF的中点, 由C(0,4),F(,0),可得A(,2), 代入抛物线的方程可得,4=2p•,解得p=2, 即有a=+=,A(,2), 可得C到直线OA:y=2x的距离为d==, 可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=. 故选:C. 【点评】本题考查圆的弦长的求法,注意运用抛物线的定义和三点共线和最小,同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用,属于中档题. 二.填空题 13.已知向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2),则与的夹角的大小为 . 【考点】空间向量的数量积运算. 【分析】利用空间向量的数量积,即可求出两向量的夹角大小. 【解答】解:∵向量=(0,2,1),=(﹣1,1,﹣2), ∴•=0×(﹣1)+2×1+1×(﹣2)=0, ∴⊥, ∴与的夹角为. 故答案为:. 【点评】本题考查了利用空间向量的数量积求向量夹角大小的应用问题,是基础题目. 14.设f(x)=,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调递增函数,则a的取值范围是 (0,1] . 【考点】函数单调性的性质. 【分析】求出函数的导数,问题转化为ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立,根据二次函数的性质求出a的范围即可. 【解答】解:∵f(x)=, ∴f'(x)=, ∵f(x)为R上的单调增函数, ∴f'(x)≥0在R上恒成立, 又∵a为正实数, ∴f'(x)≥0在R上恒成立, ∴ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立, ∴△=4a2﹣4a=4a(a﹣1)≤0,解得0≤a≤1, ∵a>0, ∴0<a≤1, ∴a的取值范围为0<a≤1, 故答案为:(0,1]. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及二次函数的性质,是一道中档题. 15.设p:|x﹣a|>3,q:(x+1)(2x﹣1)≥0,若¬p是q的充分不必充要条件,则实数a的取值范围是 (﹣∞,﹣4]∪[,+∞) . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】分别解出关于p,q的不等式的解集,结合¬p是q的充分必要条件得到关于a的不等式,解出即可. 【解答】解:p:|x﹣a|>3, 解得:x>a+3或x<a﹣3; ¬p:a﹣3≤x≤a+3, q:(x+1)(2x﹣1)≥0, 解得:x≥或x≤﹣1, 若¬p是q的充分不必充要条件, 则a﹣3≥或a+3≤﹣1, 解得:a≥或a≤﹣4, 故答案为:(﹣∞,﹣4]∪[,+∞). 【点评】本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,是一道基础题. 16.设若f(x)=,f(f(1))=1,则a的值是 1 . 【考点】函数的值. 【分析】分段函数f(x)在不同区间有不同对应法则,可先计算f(1)=lg1=0,再相应代入进行计算即可. 【解答】解:∵1>0,∴f(1)=lg1=0, ∴f(0)=0+3t2dt==a3, 又f(f(1))=1, ∴a3=1, ∴a=1, 故答案是1. 【点评】本题考查了分段函数求值问题,其关键是由自变量找对应区间. 三.解答题(共6题,共70分) 17.(10分)(2017春•雁峰区校级月考)2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕,中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二,某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),从被调查的学生中随机抽取了50人,具体的调查结果如表: 班号 一班 二班 三往 四班 五班 六班 频数 5 9 11 9 7 9 满意人数 4 7 8 5 6 6 (Ⅰ)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率; (Ⅱ)若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查,记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望. 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】(Ⅰ)在被抽取的50人中,持满意态度的学生共36人,从而求出持满意态度的频率,由此能估计高三年级全体学生持满意态度的概率. (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和期望值. 【解答】(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)在被抽取的50人中,持满意态度的学生共36人, 持满意态度的频率为, 据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为;…(3分) (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,… ,…(6分) .…(7分) .…(8分) ,…(9分) 所以ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P …(10分) 所以ξ的期望值为:. …(12分) 【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一. 18.(12分)(2017•武邑县校级一模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE⊥平面BEF; (2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求a的取值范围. 【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定. 【分析】(1)由题目给出的条件,可得四边形ABFD为矩形,说明AB⊥BF,再证明AB⊥EF,由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF,再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF; (2)以A点为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系,利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值,根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围,最后求解不等式可得a的取值范围. 【解答】证明:如图, (1)∵AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点, ∴ABFD为矩形,AB⊥BF. ∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF ∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE⊂面ABE, ∴平面ABE⊥平面BEF. (2)解:∵DE=EC,∴DC⊥EF,又PD∥EF,AB∥CD,∴AB⊥PD 又AB⊥PD,所以AB⊥面PAD,AB⊥PA. 以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系, 则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E(1,1,) 平面BCD的法向量, 设平面EBD的法向量为, 由⇒,即,取y=1,得x=2,z= 则. 所以. 因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角, 所以cosθ∈,即. 由得: 由得:或. 所以a的取值范围是. 【点评】本题考查了面面垂直的判定,考查了利用空间向量求二面角的大小,解答的关键是建立正确的空间坐标系,该题训练了学生的计算能力,是中档题. 19.(12分)(2013秋•潮南区校级期中)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)欲求f(x)的解析式,设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),即寻找坐标x,y的关系式,这可从对称性方面考虑即可; (2)利用导数研究单调性,即g′(x)≤0在区间(0,2]上恒成立,再利用参数分离法求出a的范围. 【解答】解:(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y), 点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(﹣x,2﹣y)在h(x)图象上. ∴2﹣y=﹣x++2. ∴y=x+,即f(x)=x+. (2)g(x)=x+, ∵g′(x)=1﹣,g(x)在(0,2]上递减, ∴1﹣≤0在x∈(0,2]时恒成立, 即a≥x2﹣1在x∈(0,2)时恒成立. ∵x∈(0,2]时,(x2﹣1)max=3, ∴a≥3. 【点评】本小题主要考查函数的导数,单调性,恒成立问题等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力. 20.(12分)(2017•枣阳市校级一模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,右焦点F(1,0). (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P在椭圆C上,且在第一象限内,直线PQ与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且OP⊥OQ,求点Q的纵坐标t的值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和焦点坐标,可得c=1,a=2,求得B,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)讨论当PM垂直于x轴时,求得P,Q的坐标,运用数量积为0,可得t;当PM不垂直于x轴时,设P(x0,y0),PQ:y﹣y0=k(x﹣x0),运用直线和圆相切的条件:d=r,结合向量垂直的条件:数量积为0,化简整理,即可得到所求值. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,c=1, 解得a=2,b==, 可得椭圆方程为+=1; (Ⅱ)当PM垂直于x轴时,可得P(,),Q(,t), 由OP⊥OQ,即有•=3+t=0,解得t=﹣2; 当PM不垂直于x轴时,设P(x0,y0), PQ:y﹣y0=k(x﹣x0),即为kx﹣y﹣kx0+y0=0, 由PQ于圆O:x2+y2=3相切,可得=, 平方可得(kx0﹣y0)2=3(1+k2),即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3, 又Q(,t), 由OP⊥OQ,即有•=x0•+ty0=0, 解得t=, 则t2== = == ==12, 解得t=. 综上可得,t=. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式,考查直线和圆相切的条件:d=r,以及向量数量积的坐标表示,考查化简整理的运算能力,属于中档题. 21.(12分)(2017春•雁峰区校级月考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(a≠0). (1)当a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (2)在(1)的条件下,设函数φ(x)=e2x﹣bex(e为自然对数的底数),x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值; (3)令V(x)=2f(x)﹣x2﹣kx(k∈R),如果V(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2)两点,且线段AB的中点为C(x0,0),求证:V′(x0)≠0. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1)求函数f(x)的定义域,然后利用h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,则得到h'(x)≥0恒成立. (2)换元,设t=ex,将函数转化为一元二次函数,利用一元二次函数的单调性求函数的最小值. (3)求函数V(x)的导数,构造新函数,利用新函数的单调性证明V′(x0)≠0. 【解答】解:(1)当=﹣2时,h(x)=f(x)﹣g(x),所以h(x)=lnx+x2﹣bx,其定义域为(0,+∞), 因为函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,所以h'(x)≥0恒成立,即恒成立, 所以,当x>0时,,当且仅当时取等号,所以,所以b的取值范围 . (2)设t=ex,则函数φ(x)=e2x﹣bex等价为ω(t)=t2+bt,t∈[1,2], 则,且, 所以①当时,函数ω(t)=t2+bt,在t∈[1,2],上为增函数,所以当t=1时,ω(t)的最小值为b+1. ②当,即﹣4<b<﹣2时,当t=时,ω(t)的最小值为﹣. ③当时,函数ω(t)=t2+bt,在t∈[1,2]上为减函数,所以当t=2时,ω(t)的最小值为4+2b. 综上:当时,φ(x)的最小值为b+1. 当﹣4<b<﹣2时,φ(x)的最小值为﹣. 当b≤﹣4时,φ(x)的最小值为4+2b. (3)因为V(x)=2f(x)﹣x2﹣kx=, 假设V′(x0)=0,成立,且0<x1<x2,则由题意知, , ①﹣②得, 所以,由(4)得,所以 , 即,即⑤ 令,则,所以, 所以u(t)在(0,1)上为单调递增函数,所以u(t)<u(1)=0, 即,即, 这与⑤式相矛盾,所以假设不成立,故V′(x0)≠0. 【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性,极值以及最值问题,运算量较大,综合性较强. 22.(12分)(2016•泰安二模)已知椭圆C: +=1,(a>b>0)的离心率为,F1、F2分别为椭圆的上、下焦点,过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,若△ABF1周长为4 (1)求椭圆C的标准方程 (2)P是y轴上一点,以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB,若P点的坐标为(0,﹣2),≤≤1,求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)由题意可得:,4a=4,a2=b2+c2,解出即可得出. (2)F2(0,﹣1).设A(x1,y1),B(x2,y2). =, 1.﹣x1=λx2.由于四边形PAQB是平行四边形,可得==(x1+x2,y1+y2+4). 设直线AB的方程为:y=kx﹣1,与椭圆方程联立化为:(k2+2)x2﹣2kx﹣1=0,利用根与系数的关系可得:k2=,可得:k2∈.由于==,令k2=t∈,f(t)=,再利用导数研究函数的单调性即可得出. 【解答】解:(1)由题意可得:,4a=4,a2=b2+c2,解得a=,b=c=1. ∴椭圆C的标准方程为: =1. (2)F2(0,﹣1). 设A(x1,y1),B(x2,y2). =, 1. ﹣x1=λx2. ∵四边形PAQB是平行四边形, ==(x1+x2,y1+y2+4). 设直线AB的方程为:y=kx﹣1, 联立,化为:(k2+2)x2﹣2kx﹣1=0, ∴x1+x2=,x1x2=,﹣x1=λx2. 可得:k2==. λ=1时,k=0. 时,k2∈. 综上可得:k2∈. ∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k(x1+x2)﹣2, ∴= = = ==, 令k2=t∈,f(t)=, f′(t)==<0, ∴函数f(t)在t∈上单调递减,∴f(t)∈. ∴∈. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量坐标运算性质、平行四边形法则、利用导数研究函数的大小极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 查看更多