高考卷 07普通高等学校招生考试全国2 理科数学(必修+选修II)全解全析

高考卷 07普通高等学校招生考试全国2 理科数学(必修+选修II)全解全析

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)‎ 理科数学(必修+选修II)全解全析 注意事项:‎ 1． 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟.‎ 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。‎ 3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。‎ 4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。‎ 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。‎ 6． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷（选择题）‎ 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。‎ 球的表面积公式 S=4‎ 其中R表示球的半径，‎ 球的体积公式 V=，‎ 其中R表示球的半径 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）‎ 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 一．选择题 ‎1．sin2100 =‎ ‎(A) (B) - (C) (D) -‎ ‎2．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 ‎(A)（－，） (B) （，） (C) （p，） (D) （，2p）‎ ‎3．设复数z满足=i，则z =‎ ‎(A) -2+i (B) -2-i (C) 2-i (D) 2+i ‎4．以下四个数中的最大者是 ‎(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2‎ ‎5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则l=‎ ‎(A) (B) (C) - (D) -‎ ‎6．不等式:>0的解集为 ‎(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)‎ ‎(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)‎ ‎7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 ‎(A)3 (B) 2 (C) 1 (D) ‎9．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)=‎ ‎(A) ex-3+2 (B) ex+3－2 (C) ex-2+3 (D) ex+2－3‎ ‎10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ‎(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 ‎11．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=‎ ‎(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3‎ 第II卷（非选择题）‎ 本卷共10题，共90分。‎ 二．填空题 ‎13．（1+2x2）(x－)8的展开式中常数项为 。（用数字作答）‎ ‎14．在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），若x在（0，1）内取值的概率为0.4，则x在（0，2）内取值的概率为 。‎ ‎15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.‎ ‎16．已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则= 。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.在 ∆ABC中，已知内角A=,边 BC=2,设内角B=x, 周长为y ‎（1）求函数y=f(x)的解析式和定义域；‎ A B C D P E F ‎（2）求y的最大值 ‎18. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96‎ ‎(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;‎ ‎（2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，x表示取出的2件产品中二等品的件数，求x的分布列 ‎19.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点 （1） 求证：EF∥ 平面SAD （2） 设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小 ‎20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-y=4相切 ‎（1）求圆O的方程 ‎（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。‎ ‎21．设数列{an}的首项a1∈ (0,1), an=，n=2,3,4…‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求证<，其中n为正整数。‎ ‎22.已知函数f(x)=x3－x ‎（1）求曲线y=f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程 ‎（2）设a>0,如果过点（a, b）可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：－a0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。‎ ‎7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。 ‎ ‎8．已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。 ‎ ‎9．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)‎ 平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。‎ ‎10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。‎ ‎11．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。‎ ‎12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，‎ ‎∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B。‎ 二、填空题 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎13．(1+2x2)(x－)8的展开式中常数项为=－42。‎ ‎14．在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。‎ ‎15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.‎ ‎16．已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－。‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）的内角和，由得．‎ ‎ 应用正弦定理，知 ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ （2）因为 ‎ ，‎ ‎ 所以，当，即时，取得最大值．‎ ‎18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，‎ ‎ 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．‎ ‎ 则互斥，且，故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 于是．‎ ‎ 解得（舍去）．‎ ‎（2）的可能取值为．‎ 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ A E B C F S D H G M ‎19．解法一：‎ ‎（1）作交于点，则为的中点．‎ 连结，又，‎ 故为平行四边形．‎ ‎，又平面平面．‎ 所以平面．‎ ‎（2）不妨设，则为等 腰直角三角形．‎ 取中点，连结，则．‎ 又平面，所以，而，‎ 所以面．‎ 取中点，连结，则．‎ 连结，则．‎ 故为二面角的平面角 A A E B C F S D G M y z x ‎ ．‎ 所以二面角的大小为．‎ 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．‎ 设，则 ‎，‎ ‎．‎ 取的中点，则．‎ 平面平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）不妨设，则．‎ 中点 又，，‎ 所以向量和的夹角等于二面角的平面角．‎ ‎ ．‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，‎ ‎ 即 ．‎ ‎ 得圆的方程为．‎ ‎（2）不妨设．由即得 ‎ ．‎ 设，由成等比数列，得 ‎ ，‎ 即 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于点在圆内，故 由此得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎21．解：（1）由 ‎ 整理得 ．‎ ‎ 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 ‎ ‎ ‎ （2）方法一：‎ ‎ 由（1）可知，故．‎ ‎ 那么，‎ ‎ ‎ ‎ 又由（1）知且，故，‎ ‎ 因此 为正整数．‎ 方法二：‎ 由（1）可知，‎ 因为，‎ 所以 ．‎ 由可得，‎ 即 ‎ 两边开平方得 ．‎ 即 为正整数．‎ ‎22．解：（1）求函数的导数；．‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为：‎ ‎ ，‎ ‎ 即 ．‎ ‎（2）如果有一条切线过点，则存在，使 ‎ ．‎ 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 ‎ ‎ 有三个相异的实数根．‎ 记 ，‎ 则 ‎ ‎ ．‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．‎ 综上，如果过可作曲线三条切线，即 有三个相异的实数根，则 即 ．‎