2020年高中数学第一章空间几何体1

2020年高中数学第一章空间几何体1

‎1.3.1‎‎ 柱体、锥体、台体的表面积与体积 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)‎ A．1∶2　 　 　　　　　 B．1∶ C．1∶ D．∶2‎ 解析：设圆锥的高为a，则底面半径为，‎ 则S底＝π·2＝，‎ S侧＝π··＝πa2，‎ 所以＝，故选C.‎ 答案：C ‎2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　　)‎ A. cm3 B． cm3‎ C．2 ‎000 cm3 D．4 ‎000 cm3‎ 解析：由三视图知，该几何体的底面是边长为‎20 cm的正方形，高为‎20 cm的四棱锥，‎ 所以其体积为V＝×202×20＝(cm3)．‎ 答案：B ‎3．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(　　)‎ 7‎ A．130 B．140‎ C．150 D．160‎ 解析：设底面边长为a，底面的两条对角线分别为l1，l2，则l＝152－52.l＝92－52.而l＋l＝‎4a2，即152－52＋92－52＝‎4a2，所以a＝8，故S侧面积＝ch＝4×8×5＝160.‎ 答案：D ‎4．如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：∵VCA′B′C′＝VABCA′B′C′＝，‎ ‎∴VCAA′B′B＝1－＝.‎ 答案：C ‎5．棱台的体积为‎76 cm3，高为‎6 cm，一个底面面积为‎18 cm2，则另一个底面面积为________．‎ 解析：设另一个底面面积为x cm2，‎ 则由V＝h(S＋＋S′)，‎ 得76＝×6×(18＋x＋)，‎ 解得x＝8，即另一个底面的面积为‎8 cm2.‎ 答案：‎8 cm2‎ ‎6．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_____ cm3.‎ 解析：‎ 7‎ 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示．三棱锥的底面是两直角边长分别为3,1的直角三角形，且高为2，故V＝××3×1×2＝1 (cm3)．‎ 答案：1‎ ‎7．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．‎ 解析：设母线长为l，则r＋R＝‎2l.∵S侧＝π(r＋R)l＝32π，∴l＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．已知平行四边形ABCD，AB＝8，AD＝6，∠DAB＝60°，以AB为轴旋转一周，得旋转体，求旋转体的表面积．‎ 解析：过D、B分别作DE⊥AB于E，BF⊥CD于F，‎ 旋转体的表面积是两个圆锥的侧面积和一个圆柱的侧面积之和．在Rt△ADE中，AD＝6，∠DAE＝60°，‎ ‎∴DE＝BF＝3，AE＝CF＝3.‎ ‎∴S表＝2S锥侧＋S柱侧 ‎＝2π×3×6＋2π×3×(8－3)＝66π.‎ ‎9．如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．‎ 解析：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.‎ 7‎ ‎∵S侧＝2S底，‎ ‎∴·‎3a·h′＝a2×2.‎ ‎∴a＝h′.‎ ‎∵SO⊥OE，‎ ‎∴SO2＋OE2＝SE2.‎ ‎∴32＋2＝h′2.‎ ‎∴h′＝2，∴a＝h′＝6.‎ ‎∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.‎ ‎∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为(　　)‎ A．12 B．27 C．36 D．6‎ 解析：取B‎1C1的中点M1，BC的中点M，三棱柱的侧视图为矩形AMM‎1A1，‎ ‎∴侧视图中的3是等边三角形ABC的高，设底面边长为a，‎ ‎∴a2＝＋(3)2，‎ ‎∴＝27，∴a＝6，‎ ‎∴三棱柱的体积V＝×6×3×4＝36.‎ 7‎ 答案：C ‎2.如图设三棱柱ABCA1B‎1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥BAPQC的体积为(　　)‎ A.V B.V C.V D. V 解析：易知S四边形APQC＝S四边形A1PQC1＝S四边形A1ACC1，故VBAPQC＝VBAA‎1C1C.而V＝VBAA‎1C1C＋VBA1B‎1C1，VBA1B‎1C1＝V，故VBAA‎1C1C＝V，则VBAPQC＝V.‎ 答案：C ‎3.如图，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B‎1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为________．‎ 解析：VD1EDF＝VFDD1E ‎＝S△D1DE·AB ‎＝××1×1×1＝.‎ 答案： ‎4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．‎ 解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.‎ 答案：8‎ ‎5．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．‎ 7‎ 求这个几何体的表面积及体积．‎ 解析：这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B‎1C1QA1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.‎ 故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)(cm2)，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．‎ ‎6．王老汉家用圆锥形仓库贮藏粮食，已建的仓库的底面直径为‎12 m，高‎4 m，由于今年粮食丰收，王老汉拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多粮食，有人给他提供了两种方案：一是将新建的仓库的底面直径比原来增加‎4 m(高不变)；二是高度增加‎4 m(底面直径不变)．‎ ‎(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；‎ ‎(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；‎ ‎(3)请问你将提供哪个方案给王老汉？‎ 解析：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成‎16 m，‎ 则仓库的体积V1＝Sh＝×π×2×4‎ ‎＝(m3)．‎ 如果按方案二，仓库的高变成‎8 m，则仓库的体积 V2＝Sh＝×π×2×8＝＝96π(m3)．‎ 7‎ ‎(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成‎16 m，半径‎8 m.‎ 圆锥的母线长为l＝＝4 (m)，则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝32π＋64π(m2)．‎ 如果按方案二，仓库的高变成‎8 m.‎ 圆锥的母线长为l＝＝10 (m)，则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π(m2)．‎ ‎(3)∵V2＞V1，S2＜S1，‎ ‎∴方案二比方案一更加经济．‎ 7‎