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文档介绍
数学文·江苏省连云港市东海高中2017届高三上学期期中数学模拟试卷(文科)+Word版含解析
2016-2017学年江苏省连云港市东海高中高三(上)期中数学模拟试卷(文科) 一、填空题 1.已知集合A={2,3},B={1,a},若A∩B={2},则A∪B= . 2.已知复数z满足(3+4i)z=1(i为虚数单位),则z的实部为 . 3.某中学共有学生2800人,其中高一年级970人,高二年级930人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 . 4.函数f(x)=lg(﹣x2+2x+3)的定义域为 . 5.如图是一个算法流程图,则输出的x的值是 . 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),观察向上的点数,则两个点数之积不小于10的概率为 . 7.底面边长为2,高为1的正四棱锥的表面积为 . 8.在平面直角坐标系xOy中,以直线y=±2x为渐近线,且经过抛物线y2=4x焦点的双曲线的方程是 . 9.在等式中,x>0,y>0,若x+y的最小值为,则m的值为 . 10.已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是 . 11.曲线﹣y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,且满足PF1+PF2=2,则△PF1F2的面积为 . 12.在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0.若a1+a2≤60,a2+a3≤100,则5a1+a5的最大值为 . 13.在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||, •=•=•=﹣2,动点P,M满足||=1, =,则||2的最大值是 . 14.已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 . 二、解答题 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2acosA. (1)求角A的大小; (2)若•=,求△ABC的面积. 16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点. (1)求证:MN∥平面PCD; (2)求证:四边形MNCD是直角梯形; (3)求证:DN⊥平面PCB. 17.如图,在∠ABC=60°,∠C=90°,BC=40米的直角三角形地块中划出一块矩形CDEF地块进行绿化. (1)若要使矩形地块的面积不小于300平方米,求CF长的取值范围; (2)当矩形地块面积最大时,现欲修建一条道路MN,把矩形地块分成面积为1:3的两部分,且点M在边CF上,点N在边CD上,求MN的最小值. 18.已知椭圆E:过点P (1,),离心率e=,右顶点为A,右焦点为F. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若经过F的直线l(不与x轴重合)交椭圆E与B,C两点,延长BA,CA,分别交右准线于M,N两点.求证:FN⊥FM. 19.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,…. (1)求证:数列{}为等比数列; (2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大的正整数n.(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am﹣1,as﹣1,an﹣1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由. 20.已知函数f(x)=ax3﹣x2+1(x∈R),其中a>0. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,求a的取值范围. 2016-2017学年江苏省连云港市东海高中高三(上)期中数学模拟试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、填空题 1.已知集合A={2,3},B={1,a},若A∩B={2},则A∪B= {1,2,3} . 【考点】集合关系中的参数取值问题;并集及其运算;交集及其运算. 【分析】先通过A∩B={2}得出a=2,进而解得a,再求得集合A,B,再取并集. 【解答】解:∵A∩B={2} ∴a=2, ∴A={3,2},B={1,2} ∴A∪B={1,2,3} 故答案为:{1,2,3} 2.已知复数z满足(3+4i)z=1(i为虚数单位),则z的实部为 . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出. 【解答】解:∵(3+4i)z=1,∴(3﹣4i)(3+4i)z=3﹣4i,∴z=﹣i, ∴z的实部为. 故答案为:. 3.某中学共有学生2800人,其中高一年级970人,高二年级930人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 93 . 【考点】分层抽样方法. 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可. 【解答】解:抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为人, 故答案为:93 4.函数f(x)=lg(﹣x2+2x+3)的定义域为 (﹣1,3) . 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】要使函数有意义,则需﹣x2+2x+3>0,解出即可得到定义域. 【解答】解:要使函数有意义,则需 ﹣x2+2x+3>0, 解得,﹣1<x<3. 则定义域为(﹣1,3). 故答案为:(﹣1,3). 5.如图是一个算法流程图,则输出的x的值是 59 . 【考点】程序框图. 【分析】根据题意,模拟程序框图的运行的过程,即可得出程序运行后输出的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行的过程,如下; x=1,y=1,y<50,Y; x=2×1+1=3,y=2×3+1=7,y<50,Y; x=2×3+7=13,y=2×13+7=33,y<50,Y; x=2×13+33=59,y=2×59+33=151,y<50,N; 输出x=59. 故答案为:59. 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),观察向上的点数,则两个点数之积不小于10的概率为 . 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】基本事件总数,列表求出两个点数之积不小于10包含的基本事件有15个,由此能求出两个点数之积不小于10的概率. 【解答】解:同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具), 观察向上的点数,基本事件总数n=6×6=36,列表如下: (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 两个点数之积不小于10包含的基本事件有15个, ∴两个点数之积不小于10的概率p==. 故答案为:. 7.底面边长为2,高为1的正四棱锥的表面积为 . 【考点】棱锥的结构特征. 【分析】正四棱锥的表面积包括四个全等的侧面积,即可得出结论. 【解答】解:如图,正四棱锥的表面积包括四个全等的侧面积, 而一个侧面积为:×BC•VE=×2×=; ∴S=. 故答案为:. 8.在平面直角坐标系xOy中,以直线y=±2x为渐近线,且经过抛物线y2=4x焦点的双曲线的方程是 . 【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 【分析】设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为(λ≠0),再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点F(1,0),能求出双曲线方程. 【解答】解:设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为(λ≠0), ∵双曲线经过抛物线y2=4x焦点F(1,0), ∴1=λ, ∴双曲线方程为:. 故答案为:. 9.在等式中,x>0,y>0,若x+y的最小值为,则m的值为 30 . 【考点】基本不等式. 【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵x>0,y>0,∴x+y===,当且仅当>0时取等号. ∴,解得m=30. 故答案为30. 10.已知圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是 相交 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可. 【解答】解:圆的标准方程为M:x2+(y﹣a)2=a2 (a>0), 则圆心为(0,a),半径R=a, 圆心到直线x+y=0的距离d=, ∵圆M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2, ∴2=2 即a2=4,a=2, 则圆心为M(0,2),半径R=2, 圆N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的圆心为N(1,1),半径r=1, 则MN=, ∵R+r=3,R﹣r=1, ∴R﹣r<MN<R+r, 即两个圆相交. 故答案为:相交. 11.曲线﹣y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,且满足PF1+PF2=2,则△PF1F2的面积为 1 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设F1、F2是双曲线的左右焦点,然后得到两个关于|PF1|与|PF2|的等式,然后分别求解,最后得出|PF1||PF2|=2,解出结果. 【解答】解:不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点, P为右支上一点, |PF1|﹣|PF2|=2① |PF1|+|PF2|=2②, 由①②解得: |PF1|=+,|PF2|=﹣, 得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2, ∴PF1⊥PF2, 又由①②分别平方后作差得: |PF1||PF2|=2, 则△PF1F2的面积为S=|PF1||PF2|==1, 故答案为:1 12.在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0.若a1+a2≤60,a2+a3≤100,则5a1+a5的最大值为 200 . 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】易得2a1+d≤60,2a1+3d≤100,待定系数可得5a1+a5=(2a1+d)+(2a1+3d),由不等式的性质可得. 【解答】解:∵在等差数列{an}中,已知首项a1>0,公差d>0, 又a1+a2≤60,a2+a3≤100,∴2a1+d≤60,2a1+3d≤100, ∴5a1+a5=6a1+4d=x(2a1+d)+y(2a1+3d)=(2x+2y)a1+(x+3y)d, ∴2x+2y=6,x+3y=4,解得x=,y=, ∴5a1+a5=(2a1+d)+(2a1+3d)≤=200 故答案为:200 13.在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||, •=•=•=﹣2,动点P,M满足||=1, =,则||2的最大值是 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由||=||=||, •=•=•=﹣2,可设:D(0,0),A(2,0),B(﹣1,),C(﹣1,﹣).由动点P,M满足||=1, =,可设:P(2+cosθ,sinθ).M.再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出. 【解答】解:∵||=||=||, •=•=•=﹣2, ∴可设:D(0,0),A(2,0),B(﹣1,),C(﹣1,﹣), 动点P,M满足||=1, =, 可设:P(2+cosθ,sinθ).M. ∴=. 则||2=+ =≤,当且仅当=1时取等号. 故答案为:. 14.已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 (3,+∞) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】作出函数f(x)=的图象,依题意,可得4m﹣m2<m(m>0),解之即可. 【解答】解:当m>0时,函数f(x)=的图象如下: ∵x>m时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2, ∴y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根, 必须4m﹣m2<m(m>0), 即m2>3m(m>0), 解得m>3, ∴m的取值范围是(3,+∞), 故答案为:(3,+∞). 二、解答题 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2acosA. (1)求角A的大小; (2)若•=,求△ABC的面积. 【考点】正弦定理. 【分析】(1)根据正弦定理结合两角和差的正弦公式,即可求角A的大小; (2)若•=,根据向量的数量积,求出AB•AC的大小即可,求△ABC的面积 【解答】解:(1)由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA, 即sin(B+C)=2sinAcosA, 则sinA=2sinAcosA, 在三角形中,sinA≠0, ∴cosA=, 即A=; (2)若•=, 则AB•ACcosA=AB•AC=, 即AB•AC=2, 则△ABC的面积S=AB•ACsinA==. 16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点. (1)求证:MN∥平面PCD; (2)求证:四边形MNCD是直角梯形; (3)求证:DN⊥平面PCB. 【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)利用三角形的中位线性质证明MN∥AB,再由已知条件和公理4证明MN∥CD,再利用直线和平面平行 的判定定理证得MN∥平面PCD. (2)由(1)可得MN∥CD.先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD,从而证得CD⊥MD,从而 得到四边形MNCD是直角梯形. (3)由条件求得∠PAD=60°,利用勾股定理求得DN⊥CN.在Rt△PDB中,由PD=DB=,N是PB的中点, 证得DN⊥PB,再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB. 【解答】证明:(1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.… 因为CD∥AB,所以MN∥CD. 又CD⊂平面PCD,而MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.… (2)由(1)可得MN∥CD. 因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD. 又因为PD⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.… 因为MD⊂平面PAD,所以CD⊥MD,所以四边形MNCD是直角梯形.… (3)因为PD⊥底面ABCD,所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角,从而∠PAD=60°. … 在Rt△PDA中,AD=,,,. 在直角梯形MNCD中,MN=1,,CD=3,, 从而DN2+CN2=CD2,所以DN⊥CN. … 连接BD,在Rt△PDB中,PD=DB=,N是PB的中点,则DN⊥PB.… 又因为PB∩CN=N,所以DN⊥平面PCB. … 17.如图,在∠ABC=60°,∠C=90°,BC=40米的直角三角形地块中划出一块矩形CDEF地块进行绿化. (1)若要使矩形地块的面积不小于300平方米,求CF长的取值范围; (2)当矩形地块面积最大时,现欲修建一条道路MN,把矩形地块分成面积为1:3的两部分,且点M在边CF上,点N在边CD上,求MN的最小值. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】(1)设CF=x,则BF=40﹣x,由矩形的面积公式建立关系式,利用矩形地块的面积不小于,求解可得AN的取值范围; (2)CM=m,CN=n,则有,利用均值不等式(注意条件,正,定,相等)可求出相应的最小值. 【解答】解:(1)设CF=x,则BF=40﹣x. 因为∠ABC=60°,所以,所以. 由于矩形地块的面积不小于,所以有, 解得CF长度的取值范围为[10,30]; (2)由(1)可知(x∈(0,40)), 当x=20时取最大值.所以矩形地块的面积最大值为. 由题意可知,当矩形的面积被分为两块的面积之比为1:3时, 则有=. 设CM=m,CN=n,则有(0<m<20,0<n<20), 所以=,当且仅当时取最小值. 18.已知椭圆E:过点P (1,),离心率e=,右顶点为A,右焦点为F. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若经过F的直线l(不与x轴重合)交椭圆E与B,C两点,延长BA,CA,分别交右准线于M,N两点.求证:FN⊥FM. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】(1)利用椭圆E:过点P (1,),离心率e=,确定椭圆的几何量,即可求椭圆E的标准方程; (2)分类讨论,确定直线BA、CA的方程,求出M、N的坐标,利用验证向量的数量积为0,即可证得结论. 【解答】(1)解:由题意,∵椭圆E:过点P (1,),离心率e=, ∴, ∵a2=b2+c2 ∴a2=4,b2=3 ∴椭圆E的标准方程为.… (2)证明:由(1)知,A(2,0),F(1,0),右准线方程为x=4. 当直线l与x轴垂直时,l方程为x=1,可得B,C两点坐标分别为,. 所以直线BA方程为,当x=4时,得y=﹣3,即M(4,﹣3); 直线CA方程为,当x=4时,得y=3,即N(4,3). 因此 ∴,即FN⊥FM.… 当直线l与x轴不垂直时,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠0). 由题意得,解之得x=,代入直线l方程得 B(),C().… 直线BA方程为, 当x=4时,得M(4,),所以=(3,).… 同理可求得=(3,). … ∴=9+=9+=0, ∴FN⊥FM. 综上,对于任意与x轴不重合的直线l,都有FN⊥FM.… 19.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,…. (1)求证:数列{}为等比数列; (2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大的正整数n.(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am﹣1,as﹣1,an﹣1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由. 【考点】等比关系的确定;数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合. 【分析】(1)根据an+1和an关系式进行化简, (2)先由(1)得出数列{}的通项公式,然后根据分组方法求出Sn,解不等式Sn<100即可; (3)假设存在正整数m,s,n,根据等比数列性质得出(am﹣1)•(an﹣1)=(as﹣1)2并化简,再根据a+b≥2,确定是否存在. 【解答】解:(1)∵,∴, ∵,∴, ∴, ∴数列为等比数列. (2)由(1)可求得,∴. =, 若Sn<100,则,∴nmax=99. (3)假设存在,则m+n=2s,(am﹣1)•(an﹣1)=(as﹣1)2, ∵,∴. 化简得:3m+3n=2•3s, ∵,当且仅当m=n时等号成立. 又m,n,s互不相等,∴不存在. 20.已知函数f(x)=ax3﹣x2+1(x∈R),其中a>0. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,求a的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(1)利用导数求出x=2处的斜率,根据点斜式写出切线方程; (2)要使对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,即f(x)max<a2;利用导数判断单调性求出f(x)的最大值即可. 【解答】解:(1)由a=1,所以f(x)=x3﹣+1,f(2)=3; 又f'(x)=3x2﹣3x,所以k=f'(x)=6; 所以切线方程为y﹣3=6(x﹣2); 切线方程为:y=6x﹣9. (2)f'(x)=3ax2﹣3x 令f'(x)=3ax2﹣3x=0;⇒x1=0,x2=; 因为a>0,所以y=f(x)在(﹣∞,0],[,+∞)递增,在(0,)递减; 要使对∀x∈[﹣1,],不等式f(x)<a2恒成立,即f(x)max<a2, 1°.当时,即0<a≤2时,y=f(x)在[﹣1,0]递增,在(0,)递减; f(x)max=f(0)=1<a2 所以1<a≤2; 2°.当时,即a>2时,y=f(x)在[﹣1,0]递增,在(0,)递减,在[,]递增; ,f()==f(0)=1⇒a=3; ①当2<a<3时, =f(0)=1<a2 所以2<a<3; ②当a≥3时, =f()<a2, 即8a2﹣a﹣5>0 对∀a≥3都成立; 综合1,2得:a>1 2016年11月18日查看更多