【数学】2020届一轮复习（文理合用）第10章第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布（理）作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）第10章第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布（理）作业

对应学生用书[练案78理]‎ 第九讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　B　)‎ A．n＝4，p＝0.6　　 B．n＝6，p＝0.4‎ C．n＝8，p＝0.3　　 D．n＝24，p＝0.1‎ ‎[解析]　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B．‎ ‎2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x)，其图象如图所示，则有(　A　)‎ A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2‎ C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2‎ ‎[解析]　f(x)＝e中x＝μ是对称轴，故μ1<μ2；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小曲线越“高瘦”，故σ1<σ2.故选A．‎ ‎3．(2019·保字模拟)已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P x y 若E(ξ)＝，则D(ξ)等于(　B　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　由分布列的性质得x＋y＝，又E(ξ)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(ξ)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.故选B．‎ ‎4．已知某口袋中有3个白球和a个黑球(a∈N*)，现从中随机取出一球，再放入一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放入一个黑球；若取出的是黑球，则放入一个白球)，‎ 记换好球后袋中白球的个数是ξ.若E(ξ)＝3，则D(ξ)＝(　B　)‎ A．　　 B．1　　‎ C．　　 D．2‎ ‎[解析]　由题意得ξ的所有可能取值为2,4，且P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝，∴E(ξ)＝2×＋4×＝3，解得a＝3，‎ ‎∴P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝，∴D(ξ)＝(2－3)2×＋(4－3)2×＝1.故选B．‎ ‎5．(2019·山西孝义摸底)一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小时，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是(　A　)‎ A．0.2　　 B．0.3　　‎ C．0.4　　 D．0.5‎ ‎[解析]　摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－(3×＋1×)＝0.2.‎ 二、填空题 ‎6．(2019·太原五中统考)袋中有大小、质地均相同的4个红球与2个白球．若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，则ξ的期望E(ξ)＝__4___.‎ ‎[解析]　依题意得，ξ的可能取值分别是0,1,2,3,4,5,6，且每次取球取出红球的概率均是＝，故ξ～B(6，)，因此E(ξ)＝6×＝4.‎ ‎7．(2019·甘肃民乐模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝__2___.‎ ‎[解析]　∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，∴P(ξ≥μ＋σ)＝×(1－0.6827)＝0.158 7，∵ξ～N(1，σ2)，P(ξ≥1＋σ)＝0.158 7＝P(ξ≥3)，∴1＋σ＝3，则σ＝2.‎ ‎8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则D(X)＝_____.‎ ‎[解析]　由题意，知×(1－p)2＝，即p＝，‎ 所以P(X＝1)＝×(1－)2＋××(1－)＋×(1－)×＝，P(X＝2)＝××(1－)＋×(1－)×＋××＝，P(X＝3)＝×()2＝，‎ 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，‎ 所以D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝.‎ 三、解答题 ‎9．(2019·黄冈模拟)某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试，假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否相互独立．规定：若前4次都没有通过测试．则第5次不能参加测试．‎ ‎(1)求该学生获得足够学分升上大学的概率；‎ ‎(2)如果获得足够学分升上大学或参加5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X.求变量X的分布列及均值E(X)．‎ ‎[答案]　(1)　(2) ‎[解析]　(1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事件为，则P()＝C()()3()＋()4＝＋＝.‎ ‎∴P(A)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)该学生参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X＝2)＝()2＝，‎ P(X＝3)＝C···＝，‎ P(X＝4)＝C··()2·＋()4＝＋＝，‎ P(X＝5)＝C·()·()3＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ ‎10．(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，‎ 并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)‎ ‎[解析]　(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.‎ ‎(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．‎ B组能力提升 ‎1．(2019·嘉兴模拟)甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．1　　 D． ‎[解析]　依题意，X的取值为0,1,2，‎ 且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，‎ P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，‎ P(X＝2)＝×＝.‎ 故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A．‎ ‎2．(2018·浙江高考)设0

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