2010年数学试题分类汇编福建卷

2010年数学试题分类汇编福建卷

‎2010年数学试题分类汇编福建卷 一、选择题 ‎1、若集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．‎ ‎2、设非空集合满足：当时，有。给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。其中正确命题的个数是 A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ 二、填空题 ‎3、对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：‎ 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）。‎ 三、选择题 ‎4、已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ‎（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）‎ ‎5、函数的零点个数为 ( )‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎6、函数的零点个数为 ( )‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎7、下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是 A．= B. = C .= D ‎ ‎8、已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9、若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝‎ ‎（A） (B)3 (C) (D)4‎ ‎10、用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值 ‎ 设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ ‎11、函数的反函数为 ‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D)学科 ‎12、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ‎，则的值是 ‎ A.0 B. C.1 D. ‎ ‎ 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）‎ ‎13、下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ‎ A . B. C. D.‎ ‎14、定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是 A．‎ B. ‎ C. ‎ D．‎ ‎15、函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是 A. B C D ‎ 四、填空题 ‎16、（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，‎ ‎（Ⅲ）如果，且，证明 ‎17、（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=，其中a>0. ‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.‎ ‎18、（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2‎ ‎(Ⅰ)求实数a,b的值；‎ ‎(Ⅱ)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数。‎ ‎ （i）求实数m的最大值；‎ ‎ (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。‎ 五、解答题 ‎19、（本小题满分12分）‎ 已知函数且 ‎ （I）试用含的代数式表示；‎ ‎ （Ⅱ）求的单调区间； ‎ ‎ （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（I）求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（II）若 ‎（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数其中 ‎（1） 当时，求曲线处的切线的斜率； ‎ ‎（2） 当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎22、（本小题满分13分）‎ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。‎ ‎ （Ⅰ）试写出关于的函数关系式；‎ ‎ （Ⅱ）当=‎640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？‎ 六、选择题 ‎23、（2010福建文数）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ) ‎ A． B．‎2 ‎ ‎ C． D．6‎ 七、填空题 ‎24、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是 ‎25、如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.‎ ‎26、已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________. ‎ ‎27、圆柱形容器内部盛有高度为‎8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm。‎ ‎28、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．‎ 八、解答题 ‎29、（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体ABCD – A1B‎1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D‎1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1‎ ‎。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。‎ ‎ ‎ ‎（I）证明：AD//平面EFGH；‎ ‎ （II）设AB=2AA1=‎2a。在长方体ABCD-A1B‎1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。‎ ‎30、(本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：‎ ‎（Ⅰ）直线到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．‎ 九、填空题 ‎31、将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。‎ ‎32、一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 ‎_______（用数字作答）。‎ ‎33、点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。‎ ‎34、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。‎ 十、解答题 ‎35、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．‎ ‎36、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期． ‎ ‎（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ ‎37、（本小题满分12分）‎ 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 ‎（I）求的值； ‎ ‎（II）若，求的值。‎ 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。‎ ‎38、（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎（II）求函数的零点的集合。‎ ‎39、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f(x)=‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。‎ ‎40、（本小题满分12分） ‎ 已知函数其中，‎ ‎ （I）若求的值； ‎ ‎ （Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ ‎41、（本小题满分12分）‎ 在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA ‎ ‎(I) 求AB的值： ‎ ‎(II) 求sin的值 ‎ 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。‎ ‎42、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .‎ ‎ 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，‎ ‎　　， .‎ ‎（1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形； ‎ ‎（2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .‎ ‎43、（本小题满分12分） ‎ 在，已知，求角A，B，C的大小。‎ ‎44、（本小题满分13分）‎ ‎。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ 十一、选择题 ‎45、（2010福建理数）8．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )‎ A． B．‎4 C． D．2‎ ‎46、（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. -5 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ ‎47、若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．8‎ ‎48、以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎49、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎50、‎ A． ①④ B． ②③ C．②④　　　　　D．③④‎ ‎51、是虚数单位,等于 ( )‎ A．i B．-i C．1 D．-1‎ 十二、解答题 ‎52、本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=，，且，‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。‎ ‎（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，‎ 求|PA|+|PB|。‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数。‎ ‎53、（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为 A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎（2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。‎ ‎54、（本小题满分13分）‎ 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A ‎【解析】==,故选A．‎ ‎2、D 二、填空题 ‎3、②③‎ 三、选择题 ‎4、A ‎【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)‎ ‎ ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 ‎ 得|2x－1|＜ 解得＜x＜‎ ‎5、C ‎【解析】当时，令解得；‎ 当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。‎ ‎【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。‎ ‎6、B ‎【解析】当时，令解得；‎ 当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。‎ ‎【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。‎ ‎7、A ‎[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。‎ ‎8、A ‎【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23) 且3＋log23＞4‎ ‎ ∴＝f(3＋log23)‎ ‎ ＝‎ ‎9、C ‎【解析】由题意 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即2‎ ‎ 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)‎ ‎ ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2‎ ‎10、C ‎11、D 解析:令原式 则 ‎ ‎ 故 ‎ 故选D.‎ ‎12、A 解析：令，则；令，则 由得，所以 ‎，故选择A。‎ ‎13、A 解析 解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.‎ ‎14、C 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。‎ ‎15、D ‎[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.‎ 四、填空题 ‎16、【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 ‎（Ⅰ）解：f’‎ 令f’(x)=0,解得x=1‎ 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X ‎()‎ ‎1‎ ‎()‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。‎ 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)‎ 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ Ⅲ)证明：（1）‎ 若 ‎（2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.‎ ‎17、（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.‎ ‎（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎（1） 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 ‎ 当等价于 ‎ 解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 当时，f（x）>0等价于即 解不等式组得或.因此20,因为n是正整数，故00. 在区间（64，640）内为增函数，‎ 所以在=64处取得最小值，此时，‎ 故需新建9个桥墩才能使最小。‎ 六、选择题 ‎23、D ‎【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ‎，侧面积为，选D．‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。‎ 七、填空题 ‎24、解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.‎ ‎ 解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.‎ ‎25、 ‎ ‎【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，‎ 由勾股定理，得A1B＝2，tan∠A1D1B＝，所以，∠A1D1B＝。‎ ‎26、‎ ‎【解析】，，同理：，即R1＝，R2＝，R3＝，由得 ‎27、4‎ ‎【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.‎ ‎28、‎ ‎【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ‎，侧面积为，所以其表面积为。‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。‎ 八、解答题 ‎29、‎ ‎30、解法一:‎ ‎（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。‎ 在中，‎ 由平面，得AD，从而在中，‎ ‎。即直线到平面的距离为。‎ ‎（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE ‎，所以，为二面角的平面角，记为.‎ 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二: ‎ ‎（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥，‎ 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ‎,此即 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上.‎ ‎,故有 ② 联立①,②解得, ‎ 为直线AB到面的距离. 而 所以 ‎（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以 ‎ 九、填空题 ‎31、60‎ ‎【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为，则，解得，所以前三组数据的频率分别是，‎ 故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。‎ ‎【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。‎ ‎32、0.9744‎ ‎【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则；‎ 若共有4人被治愈，则，故至少有3人被治愈概率 ‎33、解析解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。 ‎ ‎34、 ‎ ‎【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：，概率为:：，所以，均不少于1名的概率为：1－。‎ 十、解答题 ‎35、解：（Ⅰ）‎ 依题意得，故的最小正周期为. ‎ ‎ （Ⅱ）依题意得: ‎ 由 ‎ 解得 ‎ 故的单调增区间为: ‎ ‎36、解：（Ⅰ）=‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎ 故的最小正周期为T = =8‎ ‎ (Ⅱ)解法一：‎ ‎ 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .‎ ‎　　由题设条件，点在的图象上，从而 ‎ ‎ ‎ ‎　　　　　　　　　 =‎ ‎ =‎ ‎ 当时，，因此在区间上的最大值为 ‎　　　 ‎ ‎　　解法二：‎ ‎ 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于 ‎　　x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值 ‎　　由（Ⅰ）知＝‎ ‎ 当时，‎ ‎　　　因此在上的最大值为 ‎ ‎　　　　　　　 .‎ ‎37、解：（Ⅰ）、为锐角，，‎ 又， ‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,. ‎ ‎ 由正弦定理得 ‎，即， ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ……………………………………12分 ‎38、‎ ‎39、‎ ‎40、解法一：‎ ‎（I）由得 ‎ 即又 ‎ ‎（Ⅱ）由（I）得，‎ ‎ 依题意，‎ ‎ 又故 ‎ 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 ‎ ‎ ‎ 是偶函数当且仅当 ‎ 即 ‎ 从而，最小正实数 解法二：‎ ‎（I）同解法一 ‎（Ⅱ）由（I）得， ‎ ‎ 依题意， ‎ 又，故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当对恒成立 亦即对恒成立。‎ 即对恒成立。‎ 故 ‎ ‎ 从而，最小正实数 ‎41、（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， ‎ 于是AB=‎ ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=‎ 于是 sinA=‎ ‎ 从而sin‎2A=2sinAcosA=,cos‎2A=cos‎2A-sin‎2A= ‎ ‎ 所以 sin(‎2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎42、证明：（1）‎ 即，其中R是三角形ABC外接圆半径， ‎ 为等腰三角形 解（2）由题意可知 由余弦定理可知， ‎ ‎ ‎ ‎43、解：设 由得，所以 又因此 ‎ 由得，于是 所以，，因此 ‎，既 由A=知，所以，，从而 或，既或故 或。‎ ‎44、【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得，‎ 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ 十一、选择题 ‎45、B ‎【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，‎ 可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为 ‎，所以选B。‎ ‎46、D 解析 ‎ 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.‎ ‎47、C ‎【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，‎ 因为，，所以 ‎==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。‎ ‎【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。‎ ‎48、D ‎【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。‎ ‎【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。‎ ‎49、B ‎【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。‎ ‎【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。‎ ‎50、C ‎【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。‎ ‎【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。‎ ‎51、C ‎【解析】=,故选C．‎ ‎【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．‎ 十二、解答题 ‎52、（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。‎ ‎（1）选修4-2：矩阵与变换 ‎【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设得，解得；‎ ‎（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），‎ 由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而 直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得即 ‎（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，‎ 即由于，故可设是上述方程的两实根，‎ 所以故由上式及t的几何意义得：‎ ‎|PA|+|PB|==。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得，解得，‎ 又已知不等式的解集为，所以，解得。‎ ‎（Ⅱ）当时，，设，于是 ‎=，所以 当时，；当时，；当时，。‎ ‎53、[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ 由，得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎（3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，‎ 解得：、。‎ ‎（方法一）当时，直线MN方程为：‎ ‎ 令，解得：。此时必过点D（1，0）；‎ 当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。‎ ‎（方法二）若，则由及，得，‎ 此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。‎ 若，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。‎ 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。‎ ‎54、【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为