高考数学试题分类汇编圆锥曲线与方程

高考数学试题分类汇编圆锥曲线与方程

专题十七 圆锥曲线与方程 ‎1.（15北京理科）已知双曲线的一条渐近线为，则 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：双曲线的几何性质 ‎2.（15北京理科）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：椭圆：的离心率为，点在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数，写出椭圆方程；由点和点，写出PA直线方程，令求出x值，写出直线与x轴交点坐标；由点，写出直线的方程，令求出x值，写出点N的坐标，设，求出和，利用二者相等，求出，则存在点使得.‎ 试题解析：（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为， ‎ ‎，，椭圆的方程为.‎ ‎,直线的方程为：，令，；‎ 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.‎ ‎3.（15北京文科）已知是双曲线（）的一个焦点，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，，所以.‎ 考点：双曲线的焦点.‎ ‎4.（15北京文科）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；‎ ‎（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）1；（3）直线BM与直线DE平行.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标，设出直线AE的方程，由于直线AE与x=3相交于M点，所以得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于0即可证明，即两直线平行.‎ 试题解析：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为.‎ 所以，，.‎ 所以椭圆C的离心率.‎ ‎（Ⅱ）因为AB过点且垂直于x轴，所以可设，.‎ 直线AE的方程为.‎ 令，得.‎ 所以直线BM的斜率.‎ ‎（Ⅲ）直线BM与直线DE平行.证明如下：‎ 当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.‎ 又因为直线DE的斜率，所以.‎ 当直线AB的斜率存在时，设其方程为.‎ 设，，则直线AE的方程为.‎ 令，得点.‎ 由，得.‎ 所以，.‎ 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.‎ ‎5.（15年广东理科）已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为 ‎ A． B. C. D. ‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，‎ 所以所求双曲线方程为，故选．‎ ‎【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．‎ ‎6.（15年广东理科）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ ‎∴ 圆的圆心坐标为；‎ ‎（2）设，则 ‎∵ 点为弦中点即，‎ ‎∴ 即，‎ ‎∴ 线段的中点的轨迹的方程为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，‎ L D x y O C E F 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．‎ ‎【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题．‎ ‎6.（15年广东文科）已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．‎ 考点：椭圆的简单几何性质．‎ ‎7.（15年安徽理科）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.‎ ‎（I）求E的离心率e；‎ ‎（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.‎ ‎8.（15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为的是( )‎ （A） ‎ （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.‎ 考点：渐近线方程.‎ ‎9.（15年安徽文科）设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为。[学优高考网]‎ ‎（1）求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB。‎ ‎【答案】（1） （2）详见解析.‎ ‎∴＝‎ ‎（Ⅱ）由题意可知N点的坐标为（）‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴MN⊥AB 考点：1椭圆的离心率；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎10.（15年福建理科）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（　）‎ A．11 　　　B．‎9 C．5 　　　D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线定义得，即，解得，故选B．‎ 考点：双曲线的标准方程和定义．‎ ‎11.（15年福建理科）已知椭圆E：过点，且离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程； ‎ ‎(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外．‎ 在圆上．‎ 试题解析：解法一：(Ⅰ)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为．‎ 故 所以，故G在以AB为直径的圆外．‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)设点，则 由所以 从而 ‎ ‎ 所以不共线，所以为锐角.‎ 故点G在以AB为直径的圆外．‎ 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．‎ ‎12.（15年福建文科）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．‎ ‎13.（15年福建文科）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由可得，可求的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．可证明点到直线和直线的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．‎ 试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得．‎ 因为，即，解得，所以抛物线的方程为．‎ ‎（II）因为点在抛物线上，‎ 所以，由抛物线的对称性，不妨设．‎ 由，可得直线的方程为．‎ 由，得，‎ 解得或，从而．‎ 又，‎ 所以，，‎ 所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，‎ 故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．‎ 解法二：（I）同解法一．‎ ‎（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．‎ 因为点在抛物线上，‎ 所以，由抛物线的对称性，不妨设．‎ 由，可得直线的方程为．‎ 由，得，‎ 解得或，从而．‎ 又，故直线的方程为，‎ 从而．‎ 又直线的方程为，‎ 所以点到直线的距离．‎ 这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．‎ 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．‎ ‎14.（15年新课标1理科）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.‎ ‎15.（15年新课标2理科）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=‎ ‎（A）2 （B）8 （C）4 （D）10‎ ‎【答案】C ‎16.（15年新课标2理科）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 ‎（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2‎ ‎【答案】D ‎17.（15年新课标2理科）已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。‎ ‎18.（15年新课标2文科）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：双曲线几何性质 ‎19.（15年陕西理科）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p= ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．‎ ‎20.（15年陕西理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表 示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：．‎ 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．‎ ‎21.（15年陕西理科）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点 ‎，的直线的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方 程．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．‎ 试题解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，‎ 则原点O到直线的距离，‎ 由，得，解得离心率.‎ ‎(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为. (1)‎ 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.‎ 易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得 设则 由，得解得.‎ 从而.‎ 于是.‎ 由，得，解得.‎ 故椭圆E的方程为.‎ 解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)‎ 依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.‎ 设则，，‎ 两式相减并结合得.‎ 易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率 因此AB直线方程为，代入(2)得 所以，.‎ 于是.‎ 由，得，解得.‎ 故椭圆E的方程为.‎ 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.‎ ‎22.（15年陕西文科）已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，‎ 所以抛物线焦点坐标为，故答案选 考点：抛物线方程.‎ ‎23.（15年陕西文科）如图，椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎(I)求椭圆的方程；‎ ‎(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.‎ ‎【答案】(I) ； (II)证明略，详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；‎ ‎(II) 设，由题设知，直线的方程为，代入 ‎，化简得，则，‎ 由已知， 从而直线与的斜率之和 化简得.‎ 试题解析：(I)由题意知，‎ 综合，解得，‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎(II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ‎ ，‎ 由已知，设，‎ 则，‎ 从而直线与的斜率之和 ‎ ‎ ‎ .‎ 考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.‎ ‎24.（15年天津理科）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎【答案】D 考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.‎ ‎25.（15年天津理科）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.‎ ‎(I)求直线FM的斜率；‎ ‎(II)求椭圆的方程；‎ ‎(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(I) ； (II) ；(III) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I) 由椭圆知识先求出的关系，设直线直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值； (II)由(I)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程.(III)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围.‎ 试题解析：(I) 由已知有，又由，可得，，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有 ‎，解得.‎ ‎(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得 ‎，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为 ‎(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得 或，‎ 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.‎ ①当时，有，因此，于是，得 ②当时，有，因此，于是，得 综上，直线的斜率的取值范围是 考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.‎ ‎26.（15年天津文科）已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D 考点：圆与双曲线的性质.‎ ‎27.（15年湖南理科）‎ ‎28.（15年山东理科）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .‎ 解析：的渐近线为，则 的焦点，则，即 ‎29.（15年山东理科）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎（ⅰ）求的值；（ⅱ）求面积最大值.‎ 解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则，左、右焦点分别是,‎ 圆：圆：由两圆相交可得，即，交点，在椭圆C上，则，‎ 整理得，解得（舍去）‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E的方程为，‎ 设点，满足，射线，‎ 代入可得点，于是.‎ ‎（ⅱ）点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍：‎ ‎，得，整理得 ‎，当且仅当等号成立.‎ 而直线与椭圆C：有交点P，则 有解，即有解，‎ 其判别式，即，则上述不成立，等号不成立，‎ 设，则在为增函数，‎ 于是当时，故面积最大值为12.‎ ‎30.(15年江苏) 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 [来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，因为直线平行于渐近线，所以c的最大值为直线与渐近线之间距离，为 考点：双曲线渐近线，恒成立转化 ‎31.（15年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左 准线l的距离为3.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎（2）当轴时，，又，不合题意．‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 将的方程代入椭圆方程，得，‎ 则，的坐标为，且 ‎．‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而，故直线的方程为，‎ 则点的坐标为，从而．‎ 因为，所以，解得．‎ 此时直线方程为或．‎ 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系