江苏省南通市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析

江苏省南通市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试 数学试题 一､填空题 ‎1. 已知集合，，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得： ，‎ 则.‎ ‎2. 设复数（为虚数单位），则的共轭复数为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算，求得，再根据共轭复数的概念，即可得答案.‎ ‎【详解】由于，所以的共轭复数为 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数，作为点的横、纵坐标，则点在直线上方的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连续掷两次骰子分别得到共有36个基本事件，再根据点在直线上方，利用列举法，求得基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数，，共有36个基本事件，‎ 其中点在直线上方，即满足不等式，‎ 有，共有9个基本事件，‎ - 25 -‎ 所以概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，利用列举法求得所有事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎4. 在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得，即可求抛物线的焦点到准线的距离.‎ ‎【详解】因为抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，‎ 所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即，‎ 所以，即该抛物线的焦点到准线的距离为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎5. 执行如下的程序框图，若，则输出的的值为______.‎ ‎【答案】4‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，逐步进行运算，直到退出循环体，输出.‎ ‎【详解】第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；‎ 此时退出循环体，输出的的值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据程序框图求解运算结果，“还原现场”是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎6. 函数的值域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由二次函数知识求解的范围，结合对数函数单调性可得值域.‎ ‎【详解】令，则，‎ 因为，且为增函数，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，换元法是常用的方法，把复合函数拆分为简单函数进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎7. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，可把条件化为，再将条件表示为，即可．‎ - 25 -‎ ‎【详解】根据等差数列的性质，可化为 即 又====40．‎ ‎【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 为等差数列.‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 且 ；‎ ‎8. 现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由圆锥几何特征，现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.‎ 解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，‎ 则由题意得R=10，由，得，‎ 由得.‎ 由可得.‎ 该容器的容积为.‎ 故答案为.‎ - 25 -‎ 点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．‎ ‎9. 已知，且，，则的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值．‎ 详解：由，‎ 则．‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．‎ ‎10. 已知实数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：平面区域如图所示：‎ 因为，所以，‎ - 25 -‎ 即，则当时，，‎ 当时，，即的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎11. 若函数是偶函数，则实数的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将f（x）＝asin（x）sin（x）转化为f（x）（a+1）sinx+（）cosx，利用偶函数的概念可求得a的值．‎ ‎【详解】∵f（x）＝asin（x）sin（x）‎ ‎＝a（sinxcosx）（sinxcosx）‎ ‎（a+1）sinx+（）cosx为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝f（x），‎ ‎∴a+1＝0，‎ ‎∴a＝﹣1．‎ 故答案为-1‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简，三角恒等变换，考查函数的奇偶性，求得f（x）（a+1）sinx+（）cosx是关键，属于中档题．‎ ‎12. 在中，，，则的值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 先根据求出，结合和角公式可求.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 即有，；‎ ‎.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题主要考查和差角公式，三角形内角间的关系是求解的线索，和角的正切公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎13. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判定函数的奇偶性，结合导数研究函数的性质，结合函数图象可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】时，，，‎ 所以，‎ 因为函数的定义域为，该定义域关于原点对称，‎ 所以函数为偶函数.‎ 若函数有四个不同的零点，则函数在上有两个不同的零点.‎ 当时，令得，即，‎ 令，则函数在上有两个不同的零点时，‎ - 25 -‎ 直线与函数的图象在上有两个不同的交点.‎ ‎，令得，‎ 当时，，为增函数；当时，，为减函数；‎ 所以，作出图象如图，‎ 由图可知，所以实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点，根据零点个数求解参数的范围，一般结合函数的图象进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎14. 已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式变形为，构造函数，可知当 - 25 -‎ 时，函数在上为减函数，可得出，进而可求得的取值范围.‎ ‎【详解】由，可得，‎ 构造函数，当且当，，‎ 此时，函数在上为减函数，‎ 由于，则，‎ 所以，，所以，，，.‎ 综上可得的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数，判断单调性，结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ 二､解答题 ‎15. 已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设函数，，求函数的单调增区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）, ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，两边平方可得，结合，可得，即；（2）由（1）知，‎ - 25 -‎ ‎，利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 即，所以． ‎ 因为，所以，所以，即． ‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以 ‎ ‎ ． ‎ 令， ‎ 得，所以函数的单调增区间是，．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，交于，锐角所在平面底面，，点在侧棱上，且.‎ - 25 -‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，根据比例线段，证明，可得平面；‎ ‎（2）通过面面垂直转化为线面垂直，然后可得平面，进而可证.‎ ‎【详解】（1）如图，连接，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 又平面， 平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）在平面内过作于，‎ 因为侧面底面，平面平面，‎ - 25 -‎ 平面，所以平面， ‎ 又平面，所以，‎ 因为是锐角三角形，所以与不重合，‎ 即和是平面内的两条相交直线，‎ 又，所以平面，‎ 又平面，所以 ‎【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明和线线垂直的证明，线面平行一般通过线线平行来证明，准确作出辅助线是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎17. 在平面直角坐标系中，圆：，直线：.为圆内一点，弦过点，过点作垂线交于点.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）判断直线与圆的位置关系，并证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线与圆相切，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线平行可得直线MN的方程，然后求出弦长和高，可得三角形的面积；‎ ‎（2）联立方程求出点的坐标，利用向量数量积证明，进而可得直线与圆的位置关系.‎ ‎【详解】（1）因为，设直线的方程为，‎ - 25 -‎ 由条件得，，解得，即直线MN的方程为.‎ 因为，，所以，即，‎ 所以.‎ 又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，‎ 所以的面积为.‎ ‎（2）直线与圆相切，证明如下：‎ 设，则直线的斜率，‎ 因为，所以直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为.‎ 联立方程组解得点的坐标为，‎ 所以，‎ 由于，，‎ 所以 ‎，‎ 所以，即，所以直线与圆相切，得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，三角形面积求解的关键是求解弦长，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎18.‎ - 25 -‎ ‎ 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面.问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出正三角形长为，设，表示出体积，利用导数求解最值.‎ ‎【详解】设正三角形长为，如图，‎ 设，则，‎ 若以为底､为高，则圆柱底面半径 ‎，‎ 当时，；当时，；‎ 所以 - 25 -‎ 若以为底､为高，则圆柱底面半径 ‎ ‎，‎ ‎，令，得､‎ 当时，；当时，；‎ 所以 因为，‎ 所以以为底､为高，且时，体积最大.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的实际应用，根据实际题目情景，构建目标函数式，结合导数求解最值问题，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19. 设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）当时，‎ ‎（ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用项和公式求出是以1为首项，3为公比的等比数列，再求. (2) （ⅰ）证明即证数列是等差数列. （ⅱ）先求得，所以或，再求，再检验即得数列的通项公式.‎ ‎【详解】（1）当，，时，．①‎ 当时，，所以．‎ 当时，．②‎ ‎①－②得：．因为，所以，所以，‎ 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（2）（ⅰ）当，，时，．③‎ 当时，．④‎ ‎③－④得：，⑤‎ 所以．⑥‎ ‎⑤－⑥得：．‎ 因为，所以 即，‎ 所以是等差数列．‎ ‎（ⅱ）因为，所以．‎ 因为，所以，所以．‎ - 25 -‎ 因为，所以．又因为，‎ 所以，所以或．‎ 当时，，，，‎ 所以 不符合题意．‎ 当时，，，‎ 所以满足题意．‎ 所以．‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列性质的证明，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎20. 若实数满足，则称为函数的不动点．‎ ‎（1）求函数的不动点；‎ ‎（2）设函数，其中为实数．‎ ‎① 若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是 的不动点（是函数的导函数），求实数的取值范围；‎ ‎② 令，若存在实数，使，，， 成各项都为正数的等比数列，求证：函数存在不动点．‎ ‎【答案】（1）函数的不动点为；（2）①，②见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ ‎(1)结合函数的单调性可得函数的不动点为;‎ ‎(2)由题意得到方程组，消去c可得实数的取值范围是，‎ ‎(3)满足题意时结合导函数与原函数的性质讨论计算即可证得结论.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，．令，．‎ 故． ‎ 列表：‎ x ‎1‎ ‎0‎ 极大值 所以，方程有唯一解．‎ 所以函数的不动点为． ‎ ‎（2）① 由题意可知 ‎ 消去，得，，所以． ‎ ‎② ．‎ 由题意知，，，成各项都为正数的等比数列，‎ 故可设公比为，则 - 25 -‎ 故方程有三个根，，． ‎ 又因为，所以为二次函数，‎ 故方程为二次方程，最多有两个不等的根．‎ 则，，中至少有两个值相等． ‎ 当时，方程有实数根，‎ 也即函数存在不动点，符合题意；‎ 当时，则，，‎ 故，又因为各项均为正数，则，也即，‎ 同上，函数存在不动点，符合题意；‎ 当时，则，，‎ 同上，函数存在不动点，符合题意；‎ 综上所述，函数存在不动点．‎ ‎【点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点.‎ ‎21. 已知矩阵，对应的变换把点变成点．‎ ‎（1）求a，b的特征值；‎ ‎（2）求矩阵M的特征值．‎ ‎【答案】（1）a，b的值分别为4，3；（2）矩阵M的特征值为2和5．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）点在矩阵的变换下得到点，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a，b的值；‎ - 25 -‎ ‎（2）先求矩阵的特征多项式，令，从而可得矩阵的特征值．‎ ‎【详解】（1）因为矩阵对应得变换把点变成点，‎ 所以，‎ 即，解得 所以a，b的值分别为4，3．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以．‎ 令，解得或，‎ 所以矩阵M的特征值为2和5．‎ ‎【点睛】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵的特征值．关键是写出特征多项式，从而求得特征值．‎ ‎22. [选修4—4：坐标系与参数方程] ‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长.‎ ‎【详解】解：直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－3，‎ 圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0． ‎ - 25 -‎ 圆C的圆心(2，0)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝． ‎ 又圆C的半径r＝2，‎ 所以直线l被圆C截得的弦长为2＝．‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎23. 对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用分段讨论求解的最小值，再利用分段讨论求解双绝对值不等式.‎ ‎【详解】设，即 所以的最小值为，所以.‎ 当时，不等式即为，解得，矛盾；‎ 当时，不等式即为，解得，所以；‎ 当时，不等式即为，解得，所以.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法，利用分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎24. 已知.‎ ‎（1）求的值；‎ - 25 -‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值法进行求解，令得，；令得，.从而可求结果.‎ ‎（2）根据二项式系数与关系及组合数性质得到，然后累加可求的值.‎ ‎【详解】（1）令得，；令得，.‎ 于是.‎ ‎（2），‎ 首先考虑 ‎，‎ 则，‎ 因此.‎ 故 - 25 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性质利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎25. 甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢(常数)次就获胜，而乙要再赢(常数)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行次抛币，游戏结束.‎ ‎（1）若，，求概率；‎ ‎（2）若，求概率的最大值(用表示).‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据比赛4次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结；‎ ‎（2）先表示出，构造函数，作商比较，判断出单调性，结合单调性可得最大值.‎ ‎【详解】（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，‎ ‎.‎ ‎（2）依题意，.‎ 设 ‎ ‎ ‎ - 25 -‎ 则.‎ 而 (*)‎ ‎.()‎ 因为的判别式 ‎(显然在时恒成立)， ‎ 所以.‎ 又因为，所以()恒成立，从而(*)成立.‎ 所以，即(当且仅当时，取“=”)，‎ 所以的最大值为，‎ 即的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立重复试验，赛制问题注意结束的情况有两种，先分清类别再进行求解，最值问题主要是判断单调性，组合数有关的单调性判断一般借助比较法进行，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎ ‎ - 25 -‎ - 25 -‎