江苏省南通市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析

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江苏省南通市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试 数学试题 一、填空题 ‎1. 已知集合,,则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得: ,‎ 则.‎ ‎2. 设复数(为虚数单位),则的共轭复数为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算,求得,再根据共轭复数的概念,即可得答案.‎ ‎【详解】由于,所以的共轭复数为 .‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念,其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数,作为点的横、纵坐标,则点在直线上方的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连续掷两次骰子分别得到共有36个基本事件,再根据点在直线上方,利用列举法,求得基本事件的个数,结合古典概型的概率计算公式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,连续掷两次骰子分别得到的点数,,共有36个基本事件,‎ 其中点在直线上方,即满足不等式,‎ 有,共有9个基本事件,‎ - 25 -‎ 所以概率为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,其中解答中认真审题,利用列举法求得所有事件包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎4. 在平面直角坐标系中,若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4,则该抛物线的焦点到准线的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义可得,点到准线的距离也是4,从而可得,即可求抛物线的焦点到准线的距离.‎ ‎【详解】因为抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4,‎ 所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4,即,‎ 所以,即该抛物线的焦点到准线的距离为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义,根据定义两种距离的相互转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎5. 执行如下的程序框图,若,则输出的的值为______.‎ ‎【答案】4‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图,逐步进行运算,直到退出循环体,输出.‎ ‎【详解】第一次运算:;第二次运算:;第三次运算:;‎ 此时退出循环体,输出的的值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据程序框图求解运算结果,“还原现场”是常用的求解方法,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎6. 函数的值域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,由二次函数知识求解的范围,结合对数函数单调性可得值域.‎ ‎【详解】令,则,‎ 因为,且为增函数,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题,换元法是常用的方法,把复合函数拆分为简单函数进行求解,侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎7. 在等差数列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为________.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质,可把条件化为,再将条件表示为,即可.‎ - 25 -‎ ‎【详解】根据等差数列的性质,可化为 即 又====40.‎ ‎【点睛】一般地,如果为等差数列,为其前项和,则有性质:‎ ‎(1)若,则;‎ ‎(2) 为等差数列.‎ ‎(3)且为等差数列;‎ ‎(4) 且 ;‎ ‎8. 现用一半径为,面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则该容器的容积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析:由圆锥几何特征,现用一半径为,面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,则圆锥的底面周长等于扇形的弧长,圆锥的母线长等于扇形的半径,由此计算出圆锥的高,代入圆锥体积公式,即可求出答案.‎ 解析:设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l,圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r,‎ 则由题意得R=10,由,得,‎ 由得.‎ 由可得.‎ 该容器的容积为.‎ 故答案为.‎ - 25 -‎ 点睛:涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.‎ ‎9. 已知,且,,则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析:利用两角和与差的正切函数公式,即可化简求值.‎ 详解:由,‎ 则.‎ 点睛:本题主要考查了三角函数的化简求值问题,其中把角转化为和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键,着重考查了转化意识和推理、运算能力.‎ ‎10. 已知实数满足,则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:平面区域如图所示:‎ 因为,所以,‎ - 25 -‎ 即,则当时,,‎ 当时,,即的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎11. 若函数是偶函数,则实数的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将f(x)=asin(x)sin(x)转化为f(x)(a+1)sinx+()cosx,利用偶函数的概念可求得a的值.‎ ‎【详解】∵f(x)=asin(x)sin(x)‎ ‎=a(sinxcosx)(sinxcosx)‎ ‎(a+1)sinx+()cosx为偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=f(x),‎ ‎∴a+1=0,‎ ‎∴a=﹣1.‎ 故答案为-1‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简,三角恒等变换,考查函数的奇偶性,求得f(x)(a+1)sinx+()cosx是关键,属于中档题.‎ ‎12. 在中,,,则的值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 先根据求出,结合和角公式可求.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 即有,;‎ ‎.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题主要考查和差角公式,三角形内角间的关系是求解的线索,和角的正切公式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎13. 已知函数,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判定函数的奇偶性,结合导数研究函数的性质,结合函数图象可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】时,,,‎ 所以,‎ 因为函数的定义域为,该定义域关于原点对称,‎ 所以函数为偶函数.‎ 若函数有四个不同的零点,则函数在上有两个不同的零点.‎ 当时,令得,即,‎ 令,则函数在上有两个不同的零点时,‎ - 25 -‎ 直线与函数的图象在上有两个不同的交点.‎ ‎,令得,‎ 当时,,为增函数;当时,,为减函数;‎ 所以,作出图象如图,‎ 由图可知,所以实数的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点,根据零点个数求解参数的范围,一般结合函数的图象进行求解,侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎14. 已知,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式变形为,构造函数,可知当 - 25 -‎ 时,函数在上为减函数,可得出,进而可求得的取值范围.‎ ‎【详解】由,可得,‎ 构造函数,当且当,,‎ 此时,函数在上为减函数,‎ 由于,则,‎ 所以,,所以,,,.‎ 综上可得的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查恒成立问题,构造函数,判断单调性,结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式,侧重考查数学抽象的核心素养.‎ 二、解答题 ‎15. 已知,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设函数,,求函数的单调增区间.‎ ‎【答案】(1);(2), ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,两边平方可得,结合,可得,即;(2)由(1)知,‎ - 25 -‎ ‎,利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为,利用正弦函数的单调性解不等式,可得到函数的递增区间.‎ ‎【详解】(1)由,得,‎ 即,所以. ‎ 因为,所以,所以,即. ‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 所以 ‎ ‎ . ‎ 令, ‎ 得,所以函数的单调增区间是,.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性,属于中档题.函数的单调区间的求法:(1) 代换法:①若,把看作是一个整体,由求得函数的减区间,求得增区间;②若,则利用诱导公式先将的符号化为正,再利用①的方法,或根据复合函数的单调性规律进行求解;(2) 图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间.‎ ‎16. 如图,在四棱锥中,底面为梯形,,,交于,锐角所在平面底面,,点在侧棱上,且.‎ - 25 -‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接,根据比例线段,证明,可得平面;‎ ‎(2)通过面面垂直转化为线面垂直,然后可得平面,进而可证.‎ ‎【详解】(1)如图,连接,‎ 因为,,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以,‎ 又平面, 平面,‎ 所以平面. ‎ ‎(2)在平面内过作于,‎ 因为侧面底面,平面平面,‎ - 25 -‎ 平面,所以平面, ‎ 又平面,所以,‎ 因为是锐角三角形,所以与不重合,‎ 即和是平面内的两条相交直线,‎ 又,所以平面,‎ 又平面,所以 ‎【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明和线线垂直的证明,线面平行一般通过线线平行来证明,准确作出辅助线是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎17. 在平面直角坐标系中,圆:,直线:.为圆内一点,弦过点,过点作垂线交于点.‎ ‎(1)若,求的面积;‎ ‎(2)判断直线与圆的位置关系,并证明.‎ ‎【答案】(1);(2)直线与圆相切,证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直线平行可得直线MN的方程,然后求出弦长和高,可得三角形的面积;‎ ‎(2)联立方程求出点的坐标,利用向量数量积证明,进而可得直线与圆的位置关系.‎ ‎【详解】(1)因为,设直线的方程为,‎ - 25 -‎ 由条件得,,解得,即直线MN的方程为.‎ 因为,,所以,即,‎ 所以.‎ 又因为直线与直线间的距离,即点到直线的距离为3,‎ 所以的面积为.‎ ‎(2)直线与圆相切,证明如下:‎ 设,则直线的斜率,‎ 因为,所以直线的斜率为,‎ 所以直线的方程为.‎ 联立方程组解得点的坐标为,‎ 所以,‎ 由于,,‎ 所以 ‎,‎ 所以,即,所以直线与圆相切,得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,三角形面积求解的关键是求解弦长,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎18.‎ - 25 -‎ ‎ 如图,有一正三角形铁皮余料,欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上),并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面.问:如何剪裁,才能使得铁皮圆柱的体积最大?‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出正三角形长为,设,表示出体积,利用导数求解最值.‎ ‎【详解】设正三角形长为,如图,‎ 设,则,‎ 若以为底、为高,则圆柱底面半径 ‎,‎ 当时,;当时,;‎ 所以 - 25 -‎ 若以为底、为高,则圆柱底面半径 ‎ ‎,‎ ‎,令,得、‎ 当时,;当时,;‎ 所以 因为,‎ 所以以为底、为高,且时,体积最大.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的实际应用,根据实际题目情景,构建目标函数式,结合导数求解最值问题,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19. 设数列的前项和,对任意,都有(为常数).‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)当时,‎ ‎(ⅰ)求证:数列是等差数列;‎ ‎(ⅱ)若对任意,必存在使得,已知,且,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) (ⅰ)证明见解析;(ⅱ).‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用项和公式求出是以1为首项,3为公比的等比数列,再求. (2) (ⅰ)证明即证数列是等差数列. (ⅱ)先求得,所以或,再求,再检验即得数列的通项公式.‎ ‎【详解】(1)当,,时,.①‎ 当时,,所以.‎ 当时,.②‎ ‎①-②得:.因为,所以,所以,‎ 所以是以1为首项,3为公比的等比数列,‎ 所以.‎ ‎(2)(ⅰ)当,,时,.③‎ 当时,.④‎ ‎③-④得:,⑤‎ 所以.⑥‎ ‎⑤-⑥得:.‎ 因为,所以 即,‎ 所以是等差数列.‎ ‎(ⅱ)因为,所以.‎ 因为,所以,所以.‎ - 25 -‎ 因为,所以.又因为,‎ 所以,所以或.‎ 当时,,,,‎ 所以 不符合题意.‎ 当时,,,‎ 所以满足题意.‎ 所以.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项,考查数列性质的证明,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2) 类似(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎20. 若实数满足,则称为函数的不动点.‎ ‎(1)求函数的不动点;‎ ‎(2)设函数,其中为实数.‎ ‎① 若时,存在一个实数,使得既是的不动点,又是 的不动点(是函数的导函数),求实数的取值范围;‎ ‎② 令,若存在实数,使,,, 成各项都为正数的等比数列,求证:函数存在不动点.‎ ‎【答案】(1)函数的不动点为;(2)①,②见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ ‎(1)结合函数的单调性可得函数的不动点为;‎ ‎(2)由题意得到方程组,消去c可得实数的取值范围是,‎ ‎(3)满足题意时结合导函数与原函数的性质讨论计算即可证得结论.‎ ‎【详解】(1)由题意可知,.令,.‎ 故. ‎ 列表:‎ x ‎1‎ ‎0‎ 极大值 所以,方程有唯一解.‎ 所以函数的不动点为. ‎ ‎(2)① 由题意可知 ‎ 消去,得,,所以. ‎ ‎② .‎ 由题意知,,,成各项都为正数的等比数列,‎ 故可设公比为,则 - 25 -‎ 故方程有三个根,,. ‎ 又因为,所以为二次函数,‎ 故方程为二次方程,最多有两个不等的根.‎ 则,,中至少有两个值相等. ‎ 当时,方程有实数根,‎ 也即函数存在不动点,符合题意;‎ 当时,则,,‎ 故,又因为各项均为正数,则,也即,‎ 同上,函数存在不动点,符合题意;‎ 当时,则,,‎ 同上,函数存在不动点,符合题意;‎ 综上所述,函数存在不动点.‎ ‎【点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点,求解此类问题通常分三大步骤进行:(1)对新定义进行信息提取,确定化归方向;(2)对新定义所提取的信息进行加工,探究解决方法;(3)对新定义中提取的知识进行转换,有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键,也是求解的难点.‎ ‎21. 已知矩阵,对应的变换把点变成点.‎ ‎(1)求a,b的特征值;‎ ‎(2)求矩阵M的特征值.‎ ‎【答案】(1)a,b的值分别为4,3;(2)矩阵M的特征值为2和5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)点在矩阵的变换下得到点,利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a,b的值;‎ - 25 -‎ ‎(2)先求矩阵的特征多项式,令,从而可得矩阵的特征值.‎ ‎【详解】(1)因为矩阵对应得变换把点变成点,‎ 所以,‎ 即,解得 所以a,b的值分别为4,3.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 所以.‎ 令,解得或,‎ 所以矩阵M的特征值为2和5.‎ ‎【点睛】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法,考查矩阵的特征值.关键是写出特征多项式,从而求得特征值.‎ ‎22. [选修4—4:坐标系与参数方程] ‎ 以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是 (t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,求直线l被圆C截得的弦长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,消去参数即可得到直线的普通方程,利用极坐标与直角坐标的互化公式,即可得到曲线的极坐标方程,再利用圆的弦长公式,即可求解弦长.‎ ‎【详解】解:直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y=x-3,‎ 圆C的极坐标方程ρ=4cos θ化为直角坐标方程是x2+y2-4x=0. ‎ - 25 -‎ 圆C的圆心(2,0)到直线x-y-3=0的距离为d==. ‎ 又圆C的半径r=2,‎ 所以直线l被圆C截得的弦长为2=.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.‎ ‎23. 对任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用分段讨论求解的最小值,再利用分段讨论求解双绝对值不等式.‎ ‎【详解】设,即 所以的最小值为,所以.‎ 当时,不等式即为,解得,矛盾;‎ 当时,不等式即为,解得,所以;‎ 当时,不等式即为,解得,所以.‎ 综上,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法,利用分段讨论法是常用方法,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎24. 已知.‎ ‎(1)求的值;‎ - 25 -‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用赋值法进行求解,令得,;令得,.从而可求结果.‎ ‎(2)根据二项式系数与关系及组合数性质得到,然后累加可求的值.‎ ‎【详解】(1)令得,;令得,.‎ 于是.‎ ‎(2),‎ 首先考虑 ‎,‎ 则,‎ 因此.‎ 故 - 25 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质,二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解,组合数的性质利用公式进行转化是求解关键,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎25. 甲,乙两人进行抛硬币游戏,规定:每次抛币后,正面向上甲赢,否则乙赢.此时,两人正在游戏,且知甲再赢(常数)次就获胜,而乙要再赢(常数)次才获胜,其中一人获胜游戏就结束.设再进行次抛币,游戏结束.‎ ‎(1)若,,求概率;‎ ‎(2)若,求概率的最大值(用表示).‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据比赛4次结束,可知甲、乙两人获胜次数之比可能是:2:2且最后一次甲胜或者1:3且最后一次乙胜,利用独立重复试验公式可求结;‎ ‎(2)先表示出,构造函数,作商比较,判断出单调性,结合单调性可得最大值.‎ ‎【详解】(1)依题意,游戏结束时,甲、乙两人获胜次数之比可能是:2:2且最后一次甲胜或者1:3且最后一次乙胜,‎ ‎.‎ ‎(2)依题意,.‎ 设 ‎ ‎ ‎ - 25 -‎ 则.‎ 而 (*)‎ ‎.()‎ 因为的判别式 ‎(显然在时恒成立), ‎ 所以.‎ 又因为,所以()恒成立,从而(*)成立.‎ 所以,即(当且仅当时,取“=”),‎ 所以的最大值为,‎ 即的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立重复试验,赛制问题注意结束的情况有两种,先分清类别再进行求解,最值问题主要是判断单调性,组合数有关的单调性判断一般借助比较法进行,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎ ‎ - 25 -‎ - 25 -‎
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