2020届高三数学12月月考试题 理 新人教版新版

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‎2019年秋季期高三12月月考 理科数学试题 ‎ 第I卷(选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数满足，则复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知向量是互相垂直的单位向量，且，则（ ）‎ A． B．1 C．6 D．‎ ‎4. 已知变量与变量之间具有相关关系，并测得如下一组数据 则变量与之间的线性回归方程可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设，其中都是非零实数，若，那么（ ）‎ A．1 B．2 C．0 D．‎ ‎6. 若，则（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）‎ - 10 -‎ A． B． 4 C. 3 D．‎ ‎8. 若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知抛物线，直线，为抛物线的两条切线，切点分别为，则 “点在上”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 - 10 -‎ ‎12. 已知函数（是自然对数的底数）.若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）‎ ‎（13）已知x，y满足则的最小值为 ．‎ ‎（14）已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎（15）设数列的前n项和为,若且则的通项公式 ．‎ ‎（16）如图，设的内角所对的边分别为 ‎ ‎，，且. ‎ 若点是外一点，，则当四边 形面积最大值时， ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 已知数列的前项和.‎ ‎（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ 18. ‎(本小题满分12分)‎ 在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ - 10 -‎ ‎（2）若，点在线段上，，,求的面积.‎ 19. ‎(本小题满分12分)‎ 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.‎ 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围（度）‎ ‎（0,210]‎ ‎（210,400]‎ 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：‎ 居民用电户编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 用电量（度）‎ ‎53‎ ‎86‎ ‎90‎ ‎124‎ ‎132‎ ‎200‎ ‎215‎ ‎225‎ ‎300‎ ‎410‎ （1） 若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？‎ （2） 现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；‎ （3） 以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知函数 （1） 当时，求函数的单调区间；‎ （2） 求函数在上的最大值.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)当时，求证：；‎ - 10 -‎ ‎(2)设函数，且有两个不同的零点，‎ ①求实数的取值范围； ②求证：.‎ 请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线的参数方程为（为参数），直线过点，且斜率为,射线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若，求的最小值．‎ - 10 -‎ 理科数学试题参考答案及评分标准 ‎1-5: DCDBA 6-10: DABBA 11、12：CC ‎13． 0‎ ‎14．‎ ‎15． ‎ ‎16． ‎ ‎17.（1）证明：当时，，‎ 由得，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，于是.‎ ‎（2）解：令，‎ 则，①‎ ‎①得，②‎ ‎①﹣②，得 所以.‎ 17. ‎（1）因为 ，由正弦定理得：‎ 即,‎ 在中，，所以………………5分 （2） ‎，两边平方得：‎ 由，，得 解得：‎ 所以的面积………………12分 - 10 -‎ 19. ‎（1）元 …………2分 （2） 设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3‎ 故的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以………………7分 （3） 可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知 ‎,解得，‎ 所以当时，概率最大，所以………………12分 20. ‎（1）函数的定义域为，当时，……3分 由得，或（舍去）。‎ 当时，，时，‎ 所以函数的单调减区间是，增区间是………………5分 ‎（2）因为，由由得，或 ①当时，即时，在上，，即在 - 10 -‎ 上递增，所以 ②当时，即时，在上，，在上，即在上递减，在递增；‎ 因为，‎ 所以当时，；当时，‎ ③当时，即时，在上，，即在上递减，所以 综上可得………………12分 ‎21：（1）记，则，在上，‎ 即在上递减，所以，即恒成立 记，则，在上，‎ 即在上递增，所以，即恒成立 ‎………………5分 （2） ①，定义域：，则 易知在递增，而，所以在上，‎ 在递减，在递增，,‎ 要使函数有两个零点，则 故实数的取值范围是………………7分 ②由①知，记 当时，由①知：，则 - 10 -‎ 再由得，‎ ‎，‎ 故恒成立，单调递减 ‎，即，而，‎ ‎，所以，由题知，，在递增，所以，即………………12分 ‎ 22.因为曲线的参数方程为（为参数），所以消参后的 普通方程是：‎ 将代入整理得：‎ 即曲线的极坐标方程为 直线过点，且斜率为，直线的普通方程为 将代入整理得：………………5分 （2） 将代入曲线和直线的极坐标方程可得，，‎ 所以线段的长为………………10分 - 10 -‎ ‎23.解：令，则，即 作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 ………………5分 所以，实数的取值范围是 （2） 由柯西不等式：‎ 即，故 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以的最小值为. ………………10分 - 10 -‎