四川省叙州区第二中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学(理)试题

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四川省叙州区第二中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学(理)试题

四川省叙州区第二中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数,则的模为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知向量,,若,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.随着我国经济实力的不断提升,居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍,实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化,现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例,得到了如下折线图:‎ 则下列结论中正确的是 ‎ A.该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半 B.该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍 C.该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍 D.该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当 ‎5.在中,是上一点,且,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试,其中数学分数服从正态分布,成绩在(117,126]之外的人数估计有 ‎ ‎(附:若服从,则,)‎ A.1814人 B.3173人 C.5228人 D.5907人 ‎7.已知,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,且,,则下列命题中的假命题是 ‎ A.若∥,则∥ B.若,则 C.若相交,则相交 D.若相交,则相交 ‎9.已知抛物线上的点到其焦点的距离为2,则的横坐标是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知,则 A. B. C. D.‎ ‎11.若存在,满足,且,则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点是椭圆上的动点,过作圆的两条切线分别为切于点,直线与轴分别相交于两点,则(为坐标原点)的最小面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.在的展开式中,常数项的值为______.‎ ‎14.以抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是________‎ ‎15.函数(是正实数)只有一个零点,则的最大值为 .‎ ‎16.在数列{an}中,已知,则数列{an}的通项公式an=________ .‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)如图,在梯形中,.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求梯形的面积.‎ ‎18.(12分)某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研,考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空,第一空答对得分,答错或不答得分;第二空答对得分,答错或不答得分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从该校份试卷中随机抽取份试卷,其中该题的得分组成容量为的样本,统计结果如下表:‎ 第一空得分情况 第二空得分情况 得分 ‎0‎ ‎3‎ 得分 ‎0‎ ‎2‎ 人数 ‎198‎ ‎802‎ 人数 ‎698‎ ‎302‎ ‎(1)求样本试卷中该题的平均分,并据此估计该校高三学生该题的平均分;‎ ‎(2)该校的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率,试求该同学这道题得分的数学期望.‎ ‎19.(12分)如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,,分别是的中点.‎ ‎1证明:;‎ ‎2若为上的动点,与平面所成最大角 的正切值为,求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别是,是其左右顶点,点是椭圆上任一点,且的周长为6,若面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点,证明:直线于的交点在一条定直线上.‎ ‎21.(12分)已知函数的导函数为,且.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若函数区间上存在非负的极值,求的最大值.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,直线过定点,且倾斜角为,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的参数方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点,且,求的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若函数的最大值为,且正实数、满足,求的最小值.‎ 四川省叙州区第二中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学参考答案 ‎1.D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.D ‎13.84 14. 15. 16.‎ ‎17.解:(1)因为,‎ 所以,即.‎ 因为,所以,所以.‎ 在中,由余弦定理得,,‎ 即,解得.‎ ‎(2)由(1)可得,所以,所以.‎ 因为且为锐角,所以,‎ 所以.‎ 由,得.‎ ‎.‎ 在中,由正弦定理得,,所以,‎ 所以梯形的面积.‎ ‎18.(1)设样本试卷中该题的平均分为,则由表中数据可得:‎ ‎,‎ 据此可估计该校高三学生该题的平均分为分.‎ ‎(2)依题意,第一空答对的概率为,第二空答对的概率为,‎ 的可能取值为.‎ ‎;;‎ ‎;.‎ 该同学这道题得分的分布列如下:‎ ‎ ‎ 所以该同学这道题得分的数学期望为:.‎ ‎19.1证明:由四边形ABCD为菱形,,可得为正三角形.‎ 因为E为BC的中点,所以.‎ 又,因此.‎ 因为平面ABCD,平面ABCD,所以.‎ 而平面PAD,平面PAD且,‎ 所以平面又平面PAD,‎ 所以.‎ ‎2设,H为PD上任意一点,连接AH,EH.‎ 由1知平面PAD,‎ 则为EH与平面PAD所成的角.在中,,‎ 所以当AH最短时,最大,即当时,最大.‎ 此时,又,所以,‎ 所以.因为平面ABCD,平面PAC,所以平面平面ABCD.‎ 过E作于O,则平面PAC,‎ 过O作于S,连接ES,则为二面角的平面角,‎ 在中,,,‎ 又F是PC的中点,在中,,‎ 又,‎ 在中,,即所求二面角的余弦值为.‎ ‎20.解:(1)由题意得 椭圆的方程为;‎ ‎(2)由(1)得,,,设直线的方程为,‎ ‎,,由,得,‎ ‎,,,‎ 直线的方程为,直线的方程为,‎ ‎,,‎ ‎,直线与的交点在直线上.‎ ‎21.(1)令,,∴,∴,‎ ‎∴,代入可得,∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由题意,‎ ‎∴,‎ 当即时,在上恒成立,‎ ‎∴在区间上单调递增,无极值,不合题意;‎ 当即时,令,则,‎ ‎∴当,,函数单调递减;,,函数单调递增;‎ ‎∴在存在唯一极值,又函数区间上存在非负的极值,‎ ‎∴存在,‎ ‎∴存在即,令,∴,‎ ‎∴当时,,单调递增;当时,,单调递减;‎ ‎∴,∴当即时,取最大值,∴的最大值为.‎ ‎22.解:(1) ‎ ‎(2)把直线方程代入抛物线方程得:‎ ‎23.(1)因为,‎ 当时,由可得出,解得,此时;‎ 当时,由可得出,解得,此时;‎ 当时,由可得出,解得,此时.‎ 所以不等式的解集为;‎ ‎(2)根据(1)可知,函数的最大值为,即,所以.‎ ‎,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.‎
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