【数学】2020届天津一轮复习通用版10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合作业

专题十 计数原理 【真题典例】 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 计数原理、 排列与组合 1.理解分类加法计数原理和 分步乘法计数原理 2.理解排列、组合的概念, 能利用计数原理推导排列数 公式、组合数公式,能解决简 单的实际问题 2017 天津,14 排列与组合 分类加法计数 原理 ★☆☆ 分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完 成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理.2.理解 排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考查时,以选择题、填 空题的形式出现,分值约为 5 分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出现在解答题的第 (1)问中,难度中等或中等偏上. 破考点 【考点集训】 考点 计数原理、排列与组合 1.(2017 课标Ⅱ,6,5 分)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的 安排方式共有( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 答案 D 2.将 7 个座位连成一排,安排 4 个人就座,恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A.240 种 B.480 种 C.720 种 D.960 种 答案 B 3.无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,现需要在报名的 2 名男教师和 6 名女教师中选择 5 人参 加无偿献血,要求男、女教师都有,则不同的选择方法的种数为 .(结果用数字表示) 答案 50 4.在一次数学会议中,有五位老师来自 A,B,C 三所学校,其中 A 学校有 2 位,B 学校有 2 位,C 学校有 1 位.现 在五位老师站成一排照相,若要求来自同一学校的老师不相邻,则共有 种不同的站队方法. 答案 48 炼技法 【方法集训】 方法 1 排列问题的常见解法 1.(2014 辽宁,6,5 分)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 答案 D 2.(2014 重庆,9,5 分)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.144 D.168 答案 B 3.在一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 在实施时 必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( ) A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 答案 C 方法 2 组合问题的常见解法 4.(2014 大纲全国,5,5 分)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组. 则不同的选法共有 ( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 答案 C 5.(2014 安徽,8,5 分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共有( ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 答案 C 6.大厦一层有 A,B,C,D 四部电梯,3 人在一层乘坐电梯上楼,其中 2 人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方 式有 种.(用数字作答) 答案 36 方法 3 分组与分配问题的解题技巧 7.按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本. 解析 (1)无序不均匀分组问题. 先选 1 本,有 C6 1 种选法;再从余下的 5 本中选 2 本,有 C5 2 种选法;最后余下 3 本全选,有 C3 3 种选法.故共有分配 方式 C6 1 C5 2 C3 3 =60 种. (2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应考虑再分配,共有分配方式 C6 1 C5 2 C3 3 A3 3 =360 种. (3)无序均匀分组问题. 先分三步选,每步选 2 本,则有 C6 2 C4 2 C2 2 种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步 取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 C6 2 C4 2 C2 2 种分法中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 A3 3 种情况,而这 A3 3 种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 C6 2C4 2C2 2 A3 3 =15 种. (4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式 C6 2C4 2C2 2 A3 3 · A3 3 = C6 2 C4 2 C2 2 =90 种. (5)无序部分均匀分组问题. 共有分配方式 C6 4C2 1C1 1 A2 2 =15 种. (6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式 C6 4C2 1C1 1 A2 2 · A3 3 =90 种. (7)直接分配问题. 甲选 1 本,有 C6 1 种方法;乙从余下的 5 本中选 1 本,有 C5 1 种方法;余下 4 本留给丙,有 C4 4 种方法.共有分配方式 C6 1 C5 1 C4 4 =30 种. 过专题 【五年高考】 A 组 自主命题·天津卷题组 (2017 天津,14,5 分)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数, 这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案 1 080 B 组 统一命题、省(区、市)卷题组 1.(2016 四川,4,5 分)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案 D 2.(2016 课标Ⅱ,5,5 分)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B 3.(2016 课标Ⅲ,12,5 分)定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k≤2m,a1,a2,…,ak 中 0 的个数不少于 1 的个数,若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有( ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 答案 C 4.(2015 四川,6,5 分)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40 000 大的偶数共有( ) A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 答案 B 5.(2018 课标Ⅰ,15,5 分)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选 法共有 种.(用数字填写答案) 答案 16 6.(2017 浙江,16,4 分)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队, 要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案 660 C 组 教师专用题组 1.(2014 福建,10,5 分)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝 球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来 表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或 都不取出的所有取法的是( ) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 答案 A 2.(2013 四川,8,5 分)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 答案 C 3.(2013 山东,10,5 分)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 答案 B 4.(2013 福建,5,5 分)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数 为( ) A.14 B.13 C.12 D.10 答案 B 5.(2015 广东,12,5 分)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 答案 1 560 6.(2013 浙江,14,4 分)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 在 C 的同侧,则不同的排法共有 种.(用数字作答) 答案 480 7.(2013 重庆,13,5 分)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则 骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 .(用数字作答) 答案 590 8.(2018 江苏,23,10 分)设 n∈N*,对 1,2,…,n 的一个排列 i1i2…in,如果当 sit,则称(is,it)是排 列 i1i2…in 的一个逆序,排列 i1i2…in 的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对 1,2,3 的一个排列 231,只 有两个逆序(2,1),(3,1),则排列 231 的逆序数为 2.记 fn(k)为 1,2,…,n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排 列的个数. (1)求 f3(2),f4(2)的值; (2)求 fn(2)(n≥5)的表达式(用 n 表示). 解析 本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)记τ(abc)为排列 abc 的逆序数,对 1,2,3 的所有排列,有 τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以 f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2. 对 1,2,3,4 的排列,利用已有的 1,2,3 的排列,将数字 4 添加进去,4 在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此 f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. (2)对一般的 n(n≥4)的情形,逆序数为 0 的排列只有一个:12…n,所以 fn(0)=1.逆序数为 1 的排列只能是将 排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以 fn(1)=n-1. 为计算 fn+1(2),当 1,2,…,n 的排列及其逆序数确定后,将 n+1 添加进原排列,n+1 在新排列中的位置只能是 最后三个位置. 因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n. 当 n≥5 时, fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)= 2-n-2 2 . 因此,当 n≥5 时, fn(2)= 2-n-2 2 . 疑难突破 要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的 1,2,3 入手去理 解这几个概念,这样就能得到 f3(2). f4(2)是指 1,2,3,4 这 4 个数中逆序数为 2 的全部排列的个数,可以通 过与 f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4 分别添加在 f3(2)的排列中最后一个位置、 f3(1)的排列中的倒数第 2 个位置、 f3(0)的排列中的倒数第 3 个位置.有了上述的理解就能得到 fn+1(2)与 fn(2),fn(1), fn(0)的关 系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到 fn(2)(n≥5)的表达式. 【三年模拟】 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2017 天津耀华中学一模,6)将标号为 1,2,…,10 的 10 个球放入标号为 1,2,…,10 的 10 个盒子里,每个 盒内放一个球,恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为( ) A.120 B.240 C.360 D.720 答案 B 2.(2018 天津一中 5 月月考,8)将数“124 470”重新排列后得到不同的偶数的个数为( ) A.180 B.192 C.204 D.264 答案 C 3.(2018 天津芦台一中三模,6)学校将从 4 名男生和 4 名女生中选出 4 人分别担任辩论赛中的一、二、三、 四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须 入选,那么不同的组队形式有( ) A.360 种 B.570 种 C.720 种 D.930 种 答案 D 4.(2018 天津南开一模,7)如图所示的几何体是由一个三棱锥 P-ABC 与三棱柱 ABC-A1B1C1 组合而成的,现用 3 种不同的颜色对这个几何体的表面涂色(底面 A1B1C1 不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共 有( ) A.6 种 B.9 种 C.12 种 D.36 种 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 50 分) 5.(2018 天津河东一模,14)从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,组成没有重复数字 的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有 个.(用数字作答) 答案 300 6.(2018 天津河北一模,13)六张卡片上分别写有数字 0,1,2,3,4,5,从中任取四张排成一排,则可以组成不 同的四位奇数的个数是 .(用数字作答) 答案 144 7.(2018 天津红桥一模,12)某班的小型联欢会共有 5 个节目,其中甲同学的节目不能安排在第三个,乙同学 不能第一个上场,则这 5 个节目的出场顺序有 种(用数字作答). 答案 78 8.(2018 天津河东三模,12)一共有 5 名同学参加《我的中国梦》演讲比赛,3 名女生和 2 名男生,如果男生不 排第一个演讲,同时两名男生不能相邻演讲,则排序方式有 种.(用数字作答) 答案 36 9.(2018 天津部分区县二模,12)天津大学某学院欲安排 4 名毕业生到某外资企业的三个部门 A、B、C 实习, 要求每个部门至少安排 1 人,其中甲大学生不被安排到 A 部门工作的方法有 种(用数字作答). 答案 24 10.(2018 天津九校联考,14)由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且 4 不在百位, 则这样的六位数共有 个. 答案 120 11.(2018 天津耀华中学二模,14)6 名教师分配到 3 所师资薄弱学校去支教,每个学校至少分配一名教师,甲、 乙两人不能去同一所学校,丙、丁两人必须去同一所学校,共有 种分配方法(用数字作答). 答案 114 12.(2018 天津滨海新区七校联考,14)3 个男生和 3 个女生排成一列,若男生甲与另外两个男同学都不相邻, 则不同的排法共有 种(用数字作答). 答案 288 13.(2018 天津和平二模,14)从 0,1,2,3,4,5,6,7 这八个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数 字的四位数,则组成的四位数中奇数的个数为 (用数字作答). 答案 360 14.(2018 天津河西一模,14)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字,且至多有两个数字是偶数的四位数,这 样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案 246