2020届广东省肇庆市高三第一次统考数学（文）试题（解析版）

2020届广东省肇庆市高三第一次统考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年广东省肇庆市高中第一次统考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出、中不等式的解集确定出、，找出与的交集即可．‎ ‎【详解】‎ 集合，集合，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．已知复数z＝1+i，则z•（　 　）‎ A． B．2 C．﹣2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出的共轭，进而利用乘法公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵z＝1+i，∴，‎ ‎∴，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3．设，向量， ，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．‎ ‎【考点】1.向量的数量积；2.向量的模．‎ ‎4．已知，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由题得，再化简，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 所以.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是，这里利用了“1”的变式，.‎ ‎5．下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.‎ ‎6．设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（ ）‎ ‎(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.‎ ‎【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.‎ ‎7．若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： 为增函数且，所以A，C错误. 为减函数且，所以D错误.故选B.‎ ‎【考点】比较大小.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而 ‎，∴，故选B.‎ ‎【考点】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.‎ ‎【名师点睛】‎ 本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序 框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.‎ ‎9．“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】函数f(x)的单调增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，所以当a＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a≤2，所以a＝1不一定成立．‎ ‎10．由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），（其中a为常数且a＞0）的图象，需要将f（x）的图象（　 　）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】先根据平移关系求出a＝2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），‎ 则函数的周期相同即a＝2，‎ 则g（x）＝cos（2x）＝sin（2x）＝sin（2x）＝sin2（x），‎ 则需要将f（x）的图象向向左平移个单位，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎11．已知函数f（x）＝x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x1，x2∈（），且f（x1）＜f（x2），则（　　 ）‎ A．x1＞x2 B．x1+x2＞0 C．x1＜x2 D．x12＜x22‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的解析式f（x）＝x•sinx，结合奇偶函数的判定方法得出函数f（x）＝x•sinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图．再利用正弦函数的性质得出当x时和当x时，函数f（x）＝x•sinx的单调性，即可对几个选项进行判断．‎ ‎【详解】‎ 解：由于函数f（x）＝x•sinx，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣x•sin（﹣x）＝x•sinx＝f（x），‎ ‎∴函数f（x）＝x•sinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图．‎ 且当x时，函数f（x）＝x•sinx是增函数，‎ ‎∵x1，x2∈（），函数f（x）＝x•sinx是偶函数，且f（x1）＜f（x2），‎ ‎∴ ，又当x时，函数f（x）＝x•sinx是增函数，‎ ‎∴，‎ 即x12＜x22‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查了数形结合思想和读图能力．‎ ‎12．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝42，若在[0，+∞）上存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值是（　 　）‎ A．1+ln2 B．1﹣ln2 C． D．e﹣2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由f（x1）＝g（x2），可得，设x2﹣x1＝t，（t＞0）可得x2＝t+x1，‎ 即方程0．那么（ex+2）2＝16（t+x），t，通过求导研究单调区间，求极值即可求出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由f（x1）＝g（x2），‎ 可得，‎ 设x2﹣x1＝t，（t＞0）‎ 可得x2＝t+x1，‎ 即方程0．‎ 那么（ex+2）2＝16（t+x）‎ ‎∴t，‎ 令y，（x≥0）‎ 可得y′‎ 令y′＝0，‎ 可得x＝ln2，‎ ‎∴在区间（0，ln2）时函数y递减，（ln2，+∞）时函数y递增；‎ 当x＝ln2，可得y的最小值为1﹣ln2．‎ 即t的最小值为1﹣ln2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，考查换元法及减元思想，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，则_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，‎ 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．‎ 可得：8＝﹣1+3d，d＝3，a2＝2；‎ ‎8＝﹣q3，解得q＝﹣2，∴b2＝2．‎ 可得1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．‎ ‎14．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.‎ 又＝＋λ，∴ λ＝.‎ ‎15．已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n 为_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列中，，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．‎ ‎16．已知△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且bcosC﹣ccosBa2，tanB＝3tanC，则a＝_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据题意，由tanB＝3tanC可得3，变形可得sinBcosC＝3sinCcosB，结合正弦定理可得sinBcosC﹣sinCcosBsinA×a，变形可得：sinBcosC﹣sinCcosBsin（B+C）×a，由和角公式分析可得sinBcosC﹣sinCcosBa×（sinBcosC+sinCcosB），将sinBcosC＝3sinCcosB代入分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，△ABC中，tanB＝3tanC，即3，变形可得sinBcosC＝3sinCcosB，‎ 又由bcosC﹣ccosBa2，由正弦定理可得：sinBcosC﹣sinCcosBsinA×a，‎ 变形可得：sinBcosC﹣sinCcosBsin（B+C）×a，‎ 即sinBcosC﹣sinCcosBa×（sinBcosC+sinCcosB），‎ 又由sinBcosC＝3sinCcosB，则2sinCcosB＝sinCcosB×a，‎ 由题意可知：，即sinCcosB≠0，‎ 变形可得：a＝2；‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知f（x）sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）当x∈[]时，求函数f（x）的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2)．‎ ‎【解析】（1）先化简f（x）＝2sin（）﹣1，由函数f（x）的最小正周期为3π即可求出ω的值；‎ ‎（2）由（1）可知f（x）＝2sin（x）﹣1，在由x∈[]，求出，从而当，即x时，f（x）min＝21．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）sinωx﹣22sin（）﹣1，‎ ‎∵函数f（x）的最小正周期为3π，‎ ‎∴ω，‎ ‎（2）由（1）可知f（x）＝2sin（）﹣1，‎ ‎∵x∈[]，∴，‎ ‎∴当，即x时，f（x）min＝21．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题．‎ ‎18．已知△内角，，的对边分别为，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得，解得A;（2）根据正弦定理得，再根据余弦定理得，最后根据三角形面积公式得结果.‎ 详解： （1）由于，所以，．因为，故． ‎ ‎（2）根据正弦定理得， ，．‎ 因为，所以． ‎ 由余弦定理得得．‎ 因此△的面积为． ‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎19．已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N，且n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．‎ ‎【解析】（1）根据题意，有an＝Sn﹣Sn﹣1，结合分析可得1，则数列{}是以 ‎1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得1+（n﹣1）＝n，则Sn＝n2，据此分析可得答案；‎ ‎（2）由（1）的结论可得cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；进而可得Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，由错位相减法分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）数列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N，且n≥2）①‎ ‎，（n∈N，且n≥2）②‎ ‎①÷②可得：1，‎ 则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，‎ 则1+（n﹣1）＝n，‎ 则Sn＝n2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，‎ a1＝1也符合该式，‎ 则an＝2n﹣1；‎ ‎（2）有（1）的结论，an＝2n﹣1，‎ 则cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；‎ 则Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；‎ 则4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；‎ ‎③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，‎ 变形可得：Tn．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{an}的通项公式，考查学生的计算能力．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0．‎ ‎（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）当λ＝2时，求数列{}的前n项和．‎ ‎【答案】(1)证明见解析 ，an• (2)1．‎ ‎【解析】（1）数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0．n＝1时，a1＝1+λa1，λ≠1，解得a1．n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，化为：．即可证明{an}是等比数列，进而得出其通项公式．‎ ‎（2）当λ＝2时，an＝﹣2n﹣1．2．利用裂项求和方法即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0．‎ n＝1时，a1＝1+λa1，λ≠1，解得a1．‎ n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1+λan﹣（1+λan﹣1），化为：．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为：．‎ ‎∴an•，‎ ‎（2）解：当λ＝2时，an＝﹣2n﹣1．‎ ‎2．‎ ‎∴数列{}的前n项和＝2[＝2（）1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx，a∈R．‎ ‎（1）若x＝2是函数f（x）的极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f ‎（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若x＞1时，f（x）＞0，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) x+8y﹣1＝0，(2) （﹣∞，2]．‎ ‎【解析】（1）由x＝2是函数f（x）的极值点，可得，f′（2）＝0，代入可求a，然后结合导数的几何意义即可求解，‎ ‎（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f′（x），‎ 由x＝2是函数f（x）的极值点，可得，f′（2）＝0，‎ ‎∴a，‎ ‎∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1），‎ 又f（1）＝0‎ 故y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y即x+8y﹣1＝0，‎ ‎（2）若a≤2，x＞1时，f′（x）0，‎ ‎∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）＝0，符合题意，‎ 若a＞2，方程x2+（2﹣2a）+1＝0的△＝4a2﹣8a＞0，‎ ‎∴x2+（2﹣2a）+1＝0有两个不等的根，设两根分别为x1，x2，且x1＜x2，‎ ‎∵x1+x2＝2a﹣2，x1•x2＝1，‎ ‎∴0＜x1＜1＜x2，＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 当x∈（1，x2）时，x2+（2﹣2a）+1＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ f（x）＜f（1）＝0，不符合题意，‎ 综上可得，a的范围（﹣∞，2]．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极值存在条件的应用，导数的几何意义的应用及函数恒成立问题的求解，体现了分类讨论思想的应用．‎ ‎22．设函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a＞0时，证明f（x）≥ln（ae2）﹣2a（e为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 ‎【解析】（1）先求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，分别求出函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，利用导数得到g（a）的最小值为g（1）＝0，所以g（a）≥0，即证得f（x）≥ln（ae2）﹣2a．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f'（x）＝2ax+（1﹣2a），x＞0，‎ ‎①当a≥0时，令f'（x）＞0得：x＞1；令f'（x）＜0得：0＜x＜1，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），‎ ‎②当a＜0时，若1，即a时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），‎ 若1即a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，1），（，+∞），单调递增区间为（1，），‎ 若1即a时，f（x）的单调递减区间为（0，），（1，+∞），单调递增区间为（，1）；‎ ‎（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，‎ 令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，‎ ‎∴g'（a）＝1，‎ ‎∴当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；‎ 当a∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，‎ ‎∴g（a）的最小值为g（1）＝0，‎ ‎∴g（a）≥0，‎ ‎∴1﹣a≥lnae2﹣2a，‎ 即f（x）≥ln（ae2）﹣2a．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查了分类讨论思想与转化思想，是中档题．‎