2017年高考试题——数学理（新课标Ⅱ卷）原卷版

2017年高考试题——数学理（新课标Ⅱ卷）原卷版

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹 清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. （ ） A． B． C． D． 2.设集合 ， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将 一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 3 1 i i   1 2i 1 2i 2 i 2 i  1,2,4A   2 4 0x x x m      1A      1, 3  1,0  1,3  1,5 90 63 42 36 5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好， 我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知 道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得 的弦长为 2，则 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直 线 与 所成角的余弦值为（ ） A ． B ． C ． D． 11.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ） A. B. C. D.1 12.已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二等 品件数，则 ． x y 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y           2z x y  15 9 1 9 1a   S  C: 2 2 2 2 1x y a b  0a  0b   2 22 4x y   C 3 2 2 3 3 1 1 1C CA  A  C 120A   2A  1C CC 1   1A 1C 3 2 15 5 10 5 3 3 2x   2 1`( ) ( 1) xf x x ax e    ( )f x 1 32e 35e ABC ( )PA PB PC    2 3 2 4 3 1 0.02 100  D  14.函数 （ ）的最大值是 ． 15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 ． 16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中点， 则 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题为必做题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 的内角 的对边分别为 ,已知 ． (1)求 (2)若 , 面积为 2,求 18.（12 分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测 量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产 量不低于 50kg,估计 A 的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）   2 3sin 3 cos 4f x x x   0, 2x      na n nS 3 3a  4 10S  1 1n k kS  F C: 2 8y x  C F y   F F  ABC , ,A B C , ,a b c 2sin( ) 8sin 2 BA C  cos B 6a c  ABC .b P（ ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19.（12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， E 是 PD 的中点. （1）证明：直线 平面 PAB （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值 20. （12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 . (1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 设点 Q 在直线 x=-3 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 21.（12 分） 已知函数 且 . （1）求 a； （2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC      / /CE o45 2 2 12 x y  2NP NM  1OP PQ   3( ) ln ,f x ax ax x x   ( ) 0f x  ( )f x 0x 2 3 0( ) 2e f x   1C ． （1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标方 程； （2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值． 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 ，证明： （1） ； （2） ． cos 4   1C | | | | 16OM OP  2C (2, )3  2C OAB 3 30, 0, 2a b a b    3 3( )( ) 4a b a b   2a b  绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 一、选择题 1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 13. 1.96 14. 1 15. 16. 6 三、解答题 17.解： （1）由题设及 ，故 上式两边平方，整理得 解得 （2）由 ，故 又 由余弦定理学 科&网及 得 所以 b=2 18.解： （1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 ” ， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 ” 由题意知 旧养殖法的箱产量低于 的频率为 2n 1n  2sin 8sin 2A B C B    得 sin 4 -cosBB  （1 ） 217cos B-32cosB+15=0 15cosB= cosB 171（舍去）， = 15 8cosB sin B17 17= 得 1 4a sin2 17ABCS c B ac   17=2 2ABCS ac ，则 a 6c  2 2 2 2 b 2 cos a 2 (1 cosB) 17 1536 2 (1 )2 17 4 a c ac B ac             （ +c） 50kg C 50kg        P A P BC P B P C  50kg 故 的估计值为 0.62 新养殖法的箱产量不低于 的频率为 故 的估计值为 0.66 因此，事件 A 的概率估计值为 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 由于 故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 的直方图面积为 ， 箱产量低于 的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ． 19.解： （1）取 中点 ，连结 ， ． 因为 为 的中点，所以 , ,由 得 ，又 所以 ．四边形 为平行四边形， ． 又 ， ，故 （2） 0.040 0.034 0.024 0.014 0.012 5=0.62    （ ）  P B 50kg 0.068 0.046 0.010 0.008 5=0.66   （ ）  P C 0.62 0.66 0.4092  50kg 50kg≥  2 2 200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104K        15.705 6.635 99% 50kg  0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5     55kg  0.004 0.020 0.044+0.068 5 0.68 0.5     0.5-0.3450+ 2.35 kg0.068 （ ）≈ 5 PA F EF BF E PD EF AD 1 2EF AD= 90BAD ABC     BC AD∥ 1 2BC AD EF BC∥ BCEF CE BF∥ BF PAB 平面 CE PAB 平面 CE PAB∥平面 由已知得 ,以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直 角坐标系 A-xyz,则 则 ， ， ， ， , 则 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45°，而 是底面 ABCD 的法向量，所以 ， 即（x-1）²+y²-z²=0 又 M 在棱 PC 上，学|科网设 由①，②得 所以 M ，从而 设 是平面 ABM 的法向量，则 BA AD AB AB (0 0 0)A ， ， (1 0 0)B ， ， (1 1 0)C ， ， (0 1 3)P ， ， (1 0 3)PC   ，， (1 0 0)AB  ，， (x 1 ), (x 1 3)BM y z PM y z     ， ， ， ， (0 0 )n ，，1 0cos , sin 45BM n 2 2 2 z 2 2(x 1) y z     ,PM PC  则 x , 1, 3 3y z     x x y y                 2 2=1+ =1-2 2 =1 ( 舍去)， =1 6 6z z2 2 2 61- , 1， 2 2       2 61- , 1， 2 2        AM  0 0 0, ,x y zm =   0 0 0 0 2- 2 2 6 00即 0 0           x y zAM AB x    m m 所以可取 m=（0，- ，2）.于是 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 20.解 （1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）, 由 得 因为 M（x0,y0）在 C 上，所以 因此点 P 的轨迹方程为 （2）由题意知 F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则 ， 由 得 ，又由（1）知 ，故 3+3m-tn=0 所以 ，即 .学.科网又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直 线 l 过 C 的左焦点 F. 21.解： （1） 的定义域为 设 ，则 等价于 因为 若 a=1，则 .当 0＜x＜1 时， 单调递减；当 x＞1 时， ＞0， 单调递 增.所以 x=1 是 的极小值点，故 综上，a=1 （2）由（1）知 设 6 cos 10 5 m nm, n m n 10 5    0 0, , 0,  NP x x y NM y  2NP NM  0 0 2= , 2x x y y 2 2 12 2 x y 2 2 2 x y    3, 1 , , 3 3t        OQ , PF m n OQ PF m tn        , 3 ,    OP m, n PQ m, t n  1OP PQ   2 2- 3 1   m m tn n 2 2+ =2m n 0OQ PF   OQ PF   f x  0，+  g x = ax - a - lnx       f x = xg x , f x 0   0g x          11 =0， 0, 故 1 =0, 而 , 1 = 1, 得 1    g g x g' g' x a g' a ax   11 g' x = x    ＜0,g' x g x  g' x  g x  g x    1 =0g x g   2 l n , ' ( ) 2 2 l nf x x x x x f x x x        12 2 l n , 则 ' ( ) 2h x x x h x x     当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单 调递增 又 ，所以 在 有唯一零点 x0 ，在 有唯一零点 1，且当 时， ；当 时， ，当 时， . 因为 ，所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点 由 由 得 因为 x=x0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由 得 所以 22.解： （1）设 P 的极坐标为 ，M 的极坐标为 ，由题设知 由 得 的极坐标方程 因此 的直角坐标方程为 （2）设点 B 的极坐标为 ,由题设知 ,于是△OAB 面积 当 时，S 取得最大值 10, 2x       ' ＜0h x 1 , +2x       ' ＞0h x  h x 10, 2      1 , +2        2 1＞0, ＜0, 1 02h e h h       h x 10, 2      1 , +2     00,x x   ＞0h x  0, 1x x   ＜0h x  1, +x     ＞0h x    'f x h x    0 0 0 0 0 0' 0得 l n 2( 1) , 故 = (1 )f x x x f x x x     0 0, 1x   0 1' ＜ 4f x    1 10, 1 , ' 0e f e      1 2 0 ＞f x f e e   2 - 2 0＜ ＜2e f x    ， ＞0      1 1， ＞0   cos1 4= ， =  OP OM = 16OM OP = 2C  cos=4 ＞0   2C    2 22 4 0x y x       ， ＞0B B   cos=2， =4B OA 1= si n2 4 cos si n 3 32 si n 2 3 2 2 3 BS OA AOB                     =- 12  2+ 3 所以△OAB 面积的最大值为 23.解： （1） （2）因为 所以 ，因此 a+b≤2. 2+ 3           5 5 6 5 5 6 23 3 3 3 4 4 22 2 2 4 4                a b a b a ab a b b a b a b ab a b ab a b           3 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 + 3 + 3 + 2+ + 24 4 a           b a a b ab b ab a b a b a b a b  3 + 8a b