【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的数量积及应用学案

【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的数量积及应用学案

第3讲　平面向量的数量积及应用 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　数量积的有关概念 ‎1．两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，叫做向量a与b的夹角；范围是0°≤θ≤180°.‎ ‎2．a与b的夹角为90度时，叫a⊥b.‎ ‎3．若a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.‎ ‎4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎5．a在b的方向上的投影为|a|cosθ.‎ ‎6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝，cosθ＝.‎ a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 考点2　数量积满足的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：‎ ‎1．a·b＝b·a.‎ ‎2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；‎ ‎2．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝；‎ ‎3．a·b≤|a||b|.‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个向量的数量积是一个向量．(　　)‎ ‎(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．(　　)‎ ‎(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　　)‎ ‎(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)‎ ‎(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)‎ ‎(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×‎ ‎2．[2018·重庆模拟]已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0 C．3 D. 答案　C 解析　因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.‎ ‎3．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 答案　2 解析　解法一：|a＋2b|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.‎ ‎4．[2018·济南模拟]已知向量|b|＝3，a·b＝－12, 则向量a在向量b方向上的投影是________．‎ 答案　－4‎ 解析　因为向量|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是＝＝－4.‎ ‎5．[2016·北京高考]已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．‎ 答案　 解析　a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.‎ ‎6．[课本改编]已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 答案　1　1‎ 解析　以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以·＝(1‎ ‎，a)·(1,0)＝1，·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故·的最大值为1.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　平面向量数量积的运算 例　1　(1)[2016·山东高考]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－4 C. D．－ 答案　B 解析　因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－，又4|m|＝3|n|，所以cos〈m，n〉＝＝＝－＝，所以t＝－4.故选B.‎ ‎(2)[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ 答案　6‎ 解析　解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．‎ 由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．‎ ·＝||||cosθ，‎ ‎||＝2，||＝，‎ cosθ＝＝，‎ 所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.‎ 点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．‎ 所以·的最大值为2＋4＝6.‎ 解法二：如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，‎ 所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，‎ 所以＝(2,0)，＝(cosα＋2，sinα)，‎ ·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，‎ 当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．‎ 触类旁通 向量数量积的两种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎【变式训练1】　(1)[2018·湖北模拟]已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为＝＝.‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ 答案　2‎ 解析　解法一：·＝·(－)＝2－2＝22－×22＝2.‎ 解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，＝(1,2)，＝(－2,2)，‎ 则·＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.‎ 考向　平面向量数量积的性质 命题角度1　平面向量的垂直 例　2　(1)如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则 ·＝(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　D 解析　·＝(＋)·＝·＋·＝·＝·＝||||cos∠BDA＝||2＝.‎ ‎(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.‎ 答案　7‎ 解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，‎ ‎∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．‎ 又a＋b 与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，‎ 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，‎ 解得m＝7.‎ 命题角度2　平面向量的模 例　3　(1)[2018·济南模拟]设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 答案　B 解析　∵a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝3，∴b2＝4，∴|2a＋b|＝＝＝2.故选B.‎ ‎(2)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于 ‎(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．1‎ 答案　B 解析　|a＋b|2＝(a＋b)2‎ ‎＝a2＋2a·b＋b2‎ ‎＝|a|2＋2|a||b|cos120°＋|b|2‎ ‎＝32＋2×3×|b|×＋|b|2‎ ‎＝9－3|b|＋|b|2＝13，‎ 即|b|2－3|b|－4＝0，‎ 解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．‎ 命题角度3　平面向量的夹角 例　4　(1)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π 答案　B 解析　由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选B.‎ ‎(2)[2017·山东高考]已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．‎ 答案　 解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，‎ ‎|e1－e2|＝ ＝ ‎＝＝2.‎ 同理|e1＋λe2|＝.‎ 所以cos60°＝ ‎＝＝＝，‎ 解得λ＝.‎ 触类旁通 平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；‎ ‎②|a±b|＝＝；‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ 考向　向量运算的最值或取值范围 例　5　[2018·福建质检]平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　)‎ A．[－1,8] B．[－1，＋∞)‎ C．[0,8] D．[－1,0]‎ 答案　A 解析　由题意得·＝||·||·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为 ‎(a，)(1≤a≤5)，则·＝(－a，－)·(4－a，－)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，则当a＝2 时，·取得最小值－1，当a＝5时，·取得最大值8.故选A.‎ 触类旁通 求向量的最值或范围问题 求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．‎ ‎【变式训练2】　在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．‎ 答案　[2,5]‎ 解析　设＝＝λ(0≤λ≤1)，‎ 则＝λ＝λ，‎ ＝(1－λ)＝(1－λ)，‎ 则·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋λ)·[＋(1－λ)]‎ ‎＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)·.‎ 又∵·＝2×1×cos＝1，2＝4，2＝1，‎ ‎∴·＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.‎ ‎∵0≤λ≤1，∴2≤·≤5，‎ 即·的取值范围是[2,5]．‎ 核心规律 ‎1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．‎ ‎2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．‎ ‎3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．‎ 满分策略 ‎1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．‎ ‎2．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.‎ ‎3．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立. ‎ 板块三　启智培优·破译高考 创新交汇系列5——平面几何中的向量数量积运算 ‎[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 解题视点　用平面向量解决平面几何问题时有两种方法：基向量法和坐标系法．‎ 解析　解法一：由＝2得＝＋，‎ 所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，‎ 又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，‎ 所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，‎ ‎ 解得λ＝.‎ 解法二：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，所以B(3，0)，C(1，)，又＝2，所以D，所以＝，而＝λ－＝λ(1，)－(3,0)＝(λ－3，λ)，因此·＝(λ－3)＋×λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.‎ 答案　 答题启示　向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.‎ 跟踪训练 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD 的中点．若·＝1，求AB的长．‎ 解　解法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.‎ 因为·＝1，所以(＋)·＝1，‎ 即2＋·－2＝1.①‎ 因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||，‎ 因此①式可化为1＋||－||2＝1.‎ 解得||＝0(舍去)或||＝，所以AB的长为.‎ 解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，‎ 可知AM＝，DM＝，则D.‎ 设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，C，‎ 因为E是CD的中点，所以E.‎ 所以＝，‎ ＝.‎ 由·＝1可得 ＋＝1，‎ 即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或m＝.‎ 故AB的长为.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎[A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·许昌模拟]设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ 答案　B 解析　由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由b∥c，得＝，解得y＝－2.所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.故选B.‎ ‎2．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 答案　A 解析　＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.故选A.‎ ‎3．[2016·全国卷Ⅲ]已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ 答案　A 解析　cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A.‎ ‎4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，即a·b≤|a|2.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝≤＝，∴θ∈.故选B.‎ ‎5．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·＝(　　)‎ A．18 B．3 C．15 D．12‎ 答案　A 解析　由题意可得△ABC是等腰直角三角形，AB＝3，＝，故·＝(＋)·＝2＋·＝9＋(－)·＝9＋2－·＝9＋9－0＝18.故选A.‎ ‎6．[2018·济宁模拟]平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)‎ A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 答案　C 解析　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C.‎ ‎7．[2018·重庆模拟]已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，‎ ‎∴2|a|2＋a·b＝0，‎ 即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.‎ ‎∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.故选C.‎ ‎8．[2018·南宁模拟]已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________.‎ 答案　 解析　由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.‎ ‎9．[2018·北京东城检测]已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.‎ 答案　8 解析　由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，‎ ‎∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________.‎ 答案　－ 解析　利用向量的加减法法则可知 ·＝(＋)·(－＋)＝(－2＋2)＝－.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·石家庄模拟]在△ABC中，AB＝4，AC＝3，·＝1，则BC＝(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 答案　D 解析　设∠A＝θ，‎ 因为＝－，AB＝4，AC＝3，‎ 所以·＝2－·＝9－·＝1.‎ ·＝8.cosθ＝＝＝，‎ 所以BC＝＝3.故选D.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0,2)．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　由已知得＝(－3,3)，设C(x，y)，‎ 则·＝－3x＋3y＝0，所以x＝y.‎ ＝(x－3，y＋1)．‎ 又＝λ，即(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，‎ 所以由x＝y得，y＝3，所以λ＝2.‎ ‎3．[2018·东营模拟]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝‎ ‎2|a|，则向量a＋b与a的夹角为________．‎ 答案　 解析　由|a＋b|＝|a－b|，得 a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，‎ 所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.‎ 故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为 cosθ＝＝＝.‎ 又0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎4．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．‎ 解　∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，‎ ‎∴a·(a＋λb)＞0，‎ 即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0.‎ ‎∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0.‎ ‎∴λ＞－.‎ 当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，‎ 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，‎ ‎∴解得λ＝0.‎ 即当λ＝0时，a与a＋λb共线，‎ 综上可知，λ＞－且λ≠0.‎ ‎5．[2017·全国卷Ⅱ改编]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·(＋)的最小值．‎ 解　解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有＋＝2‎ ，‎ 则·(＋)＝2· ‎＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．‎ 而2＝2＝，‎ 当P与E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取最小值，‎ 最小值为－22＝－2×＝－.‎ 解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，‎ 则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则 D.·(＋)＝2·＝2(－1－x，－y)·＝2＝2.‎ 因此，当x＝－，y＝时，·(＋)取得最小值，为2×＝－.‎