高中数学2_2_1向量的加法导学案苏教版必修4

高中数学2_2_1向量的加法导学案苏教版必修4

2.2.1 向量的加法 学习目标 重点难点 1．能说出向量加法在物理学中的背景知识． 2．能记住向量的运算法则，理解向量加法的 几何意义． 3．会推导向量加法的交换律与结合律. 重点：掌握向量加法的运算法则，理解向量 加法的几何意义． 难点：向量加法的交换律与结合律的推导. 1．向量加法的定义 已知向量 a 和 b，如图，在平面内任取一点 O，作OA→＝a，AB→＝b，则向量OB→叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a＋b＝OA→＋AB→＝OB→.求两个向量和的运算叫做向量的加法．对于零向量 与任一向量 a，有 a＋0＝0＋a＝a.对于相反向量，有 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 预习交流 1 如何理解向量加法的定义？ 提示：(1)两个向量的和仍是一个向量． (2)当两个非零向量 a 与 b 不共线时，则 a＋b 的方向与 a，b 的方向都不相同，且|a＋ b|＜|a|＋|b|，这是三角形两边之和大于第三边的向量表示． 2．向量求和法则及运算律 (1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则：根据向量加法的定义得出的求向量和的 方法称为向量加法的三角形法则．如图，对于两个不共线的非零向量 a，b，分别作OA→＝a， OC→＝b，以 OA，OC 为邻边作 OABC，则以 O 为起点的对角线OB→就是向量 a 与 b 的和．这种 方法叫做向量加法的平行四边形法则．即OA→＋OC→＝a＋b＝OB→. (2)向量加法的运算律： ①交换律：a＋b＝b＋a. ②结合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c. 预习交流 2 两个向量相加就是把两个向量的模相加吗？ 提示：不是．两个向量相加，和仍是一个向量，并不是两个向量的模相加．因此运算时 不仅要考虑其大小，而且要考虑其方向． 预习交流 3 (1)化简AB→＋BC→＋CA→＝__________. (2)已知|a|＝5，|b|＝4，则|a＋b|的取值范围是__________． (3)小船在静水中的速度是每分钟 30 m，水流速度是每分钟 15 m，如果船从岸边点 A 处出发，沿着垂直河岸的航线到达对岸，那么船的行进方向为__________． 提示：(1)0 (2)1≤|a＋b|≤9 (3)与水流方向成 120°角 一、向量的加法运算 化简下列各式： (1)PB→＋OP→＋OB→； (2)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→； (3)AB→＋BC→＋CD→＋DE→. 思路分析：多个向量相加，可利用向量加法的三角形法则求解，也可直接运算． 解：(1)PB→＋OP→＋OB→＝(OP→＋PB→)＋OB→＝OB→＋OB→＝2OB→； (2)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→ ＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→； (3)AB→＋BC→＋CD→＋DE→＝AC→＋CD→＋DE→＝AD→＋DE→＝AE→. 1．下列各式中结果为 0 的个数是__________． ①AB→＋BC→＋CA→；②OA→＋OC→＋BO→＋CO→；③AB→＋CA→＋BD→＋DC→. 答案：2 解析：①原式＝AC→＋CA→＝0； ②原式＝(BO→＋OA→)＋(CO→＋OC→)＝BA→＋0＝BA→； ③原式＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0. 故①③符合． 2．已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量： (1)OA→＋OE→； (2)AO→＋AB→； (3)AE→＋AB→. 解：(1)由图知，OAFE 为平行四边形．∴OA→＋OE→＝OF→； (2)由图知，OABC 为平行四边形，∴AO→＋AB→＝AC→； (3)由图知，AEDB 为平行四边形，∴AE→＋AB→＝AD→. 求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则，求和的关键是利用 向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第 一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终 点．此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾 相连． 二、向量加法法则的应用 如图所示，在正六边形 OABCDE 中，若OA→＝a，OE→＝b，试用向量 a，b 将OB→，OC→，OD→表示 出来． 思路分析：用向量 a，b 表示OB→，OC→，OD→，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向 量的知识和向量加法的运算法则求解，结合图形，适当地选取法则是解决此类问题的关键． 解：设正六边形的中心为 P， 则四边形 ABPO，AOEP 均为平行四边形． 由向量加法的平行四边形法则，知 OP→＝OA→＋OE→＝a＋b.∵AB→＝OP→，∴AB→＝a＋b. 在△AOB 中，根据向量的三角形法则，OB→＝OA→＋AB→＝a＋(a＋b)＝2a＋b， ∴OC→＝OB→＋BC→＝2a＋b＋b＝2a＋2b， OD→＝OE→＋ED→＝OE→＋AB→＝b＋a＋b＝a＋2b. 已知向量 a，b，求作向量 a＋b. 解：作法：方法一：(三角形法则)如图①所示，在平面内取一点 O，作OA→＝a，AB→＝b， 则OB→＝a＋b. 方法二：(平行四边形法则)如图②所示，先在平面内取一点 O，作OA→＝a，OB→＝b，然后 以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC→即为所求向量 a，b 的和向量 a＋b. 用三角形法则求两个向量和的步骤是： 第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重 合； 第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和． 三、向量加法的实际应用 一艘船从 A 点出发以 2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为 2 km/h，求船实际航行的速度的大小与方向． 思路分析：该问题属于实际应用题，其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确—— 垂直，因此解答本题可借助向量知识及平面直角三角形的边角关系求解． 解：如图，设AD→表示船垂直于对岸的速度，AB→表示水流的速度，以 AD，AB 为邻边作平 行四边形 ABCD，则AC→就是船实际航行的速度． 在 Rt△ABC 中，|AB→|＝2，|BC→|＝2 3， 所以|AC→|＝ |AB→|2＋|BC→|2＝4. 因为 tan∠CAB＝2 3 2 ＝ 3， 所以∠CAB＝60°. 所以船实际航行的速度大小为 4 km/h，方向为垂直于对岸偏水流方向 30°. 一自行车以 6 m/s 的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方向吹来，但站在地面上 测得风自南偏西π 3 方向吹来，试求：(1)风相对于车的速度；(2)风相对于地的速度． 解：如图，设 v 风车，v 车地，v 风地分别是风对车、车对地、风对地的相对速度，则 v 风车＋v 车地＝v 风地． 其中|v 车地|＝6 m/s，方向正北，v 风车，v 风地的夹角为π 6 . (1)风相对车的速度大小为|v 风车|＝ |v 车地| tan π 6 ＝6 3(m/s)，方向为正东； (2)风相对地面的速度大小为|v 风地|＝ |v 车地| sin π 6 ＝12(m/s)，方向为东偏北π 6 . 平面向量在中学数学里扮演着极为重要的角色，而且与物理学中的力的 合成与分解、速度的合成与分解、电流的合成等内容相互呼应．用向量方法解决此类问题， 先要根据题意把物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，转化为数学 中向量的加法，然后由已知条件进行计算(常用到三角函数知识)．另外，学科交叉题往往要 求较高，除了要懂得将各科知识融会贯通外，认真掌握各科的知识也是非常重要的． 1．在四边形 ABCD 中，CB→＋AD→＋BA→等于__________． 答案：CD→ 解析：CB→＋AD→＋BA→＝CB→＋BA→＋AD→＝CA→＋AD→＝CD→. 2．化简OB→＋AO→＋BA→＝__________. 答案：0 解析：OB→＋AO→＋BA→＝OB→＋BA→＋AO→＝OA→＋AO→＝0. 3．小明在游泳池中先向东游了 30 米，然后又向北游了 30 米，那么小明相对于起点实 际游泳的结果是向__________方向游了__________米． 答案：东北 30 2 解析：小明两次游泳的路径，既有大小，又有方向，故可用向量来表示，小明两次游泳 相当于两个向量的和．如图所示，游泳的距离为 30 2米，方向北偏东 45°. 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，BC→＋DC→＋BA→等于__________． 答案：BC→ 解析：由图易知DC→＝－CD→＝BA→， ∴DC→＋BA→＝0. ∴BC→＋DC→＋BA→＝BC→＋0＝BC→. 5．已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且AO→＝OC→，OB→＝DO→，求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 证明：如图，AB→＝AO→＋OB→，DC→＝DO→＋OC→， 又∵AO→＝OC→，OB→＝DO→， ∴AB→＝DC→，即 AB∥CD 且|AB→|＝|DC→|. ∴四边形 ABCD 是平行四边形．