高中数学必修2教案:2_2_3平面与平面平行的性质

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高中数学必修2教案:2_2_3平面与平面平行的性质

第三课时 平面与平面平行的性质 一、教学目标:‎ ‎1、知识与技能 掌握两个平面平行的性质定理及其应用 ‎2、过程与方法 学生通过观察与类比,借助实物模型理解及其应用 ‎3、情感、态度与价值观 ‎(1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力;‎ ‎(2)进一步体会类比的作用;‎ ‎(3)进一步渗透等价转化的思想。‎ 二、教学重点、难点 重点:平面与平面平等的性质定理 难点:平面与平面平等的运用 三、教学方法 讲录结合 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 ‎1.直线和平面平行的性质 ‎2.平面和平面平行的性质 ‎3.线线平等线面平行→面面平行 师生共同复习. 教师点出主题.‎ 复习巩固 探索新知 平面和平面平行的性质 ‎1.思考:(1)两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个面具有什么关系?‎ ‎(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么关系?‎ ‎(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一平面内的直线在什么条件下不平行?‎ ‎2.例1 如图,已知平面,,满足,,,证:a∥b. ‎ 师:请同学们思考:两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系?‎ 生:借助长方体模型可以发现,若平面AC和平面A′C′ 平行,则两面无公共点,那么出就意味着平面AC内任一直线BD和平面A′C′ 也无公共点,即直线BD和平面A′C′ 平行.‎ 师:用式子可表示为,.‎ 用语言表述就是:‎ 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面.(板书)‎ 生:由问题知直线BD与平面 新教材常常要将面面平行转化为线面平行讨论,但没有给出结论,故补充,只是不作太多强调.‎ ‎ 加深对知识的理解 证明:因为,‎ ‎,‎ 所以,.‎ 又因为,‎ 所以a、b没有公共点,‎ 又因为a、b同在平面内,‎ 所以a∥b.‎ ‎3.定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.‎ 上述定理告诉我们,可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.‎ A′C′ 平行. BD与平面A′C′ 没有公共点. 也就是说,BD 与平面A′C′ 内的所有直线没有公共点. 因此,直线BD 与平面A′C′ 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线.‎ 生:由问题2知要两条直线平行,只要他们共面即可.‎ 师:我们把刚才这个结论用符号表示,即是例5的证明.‎ 师生共同完成并得出性质定理.‎ 师引导学生得出结论:两个平行平面的判定定理与性质定理的作用,要害都集中在“平行”二字上,判定定理解决的问题是:在什么样的条件下两个平面平行.性质定理说明的问题是:在什么样的条件下两条直线平行,前者给出了判定两个平面平行的一种方法,后者给出了判定两条直线平行的一种方法.‎ 师下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.‎ 典例分析 例2 夹在两个平行平面间的平行线段相等,如图∥,AB∥CD,且A∈,C∈,B∈,D∈,求证:AB = CD.‎ 证明:如图,AB∥CD,AB、CD确定一个平面 ‎,‎ 例3如图,已知平面,AB、CD是异面直线,且AB分别交 师投影例2并读题,学生写出已知求证并作图(师投影)师生共同讨论,边分析边板书.‎ 师:要证两线段相等,已知给的条件又是平行关系,那么证两线段所在四边形是平行四边形,进而说明两线段相等是解决问题常选用的一条途径.‎ 师投影例3并读题 分析:满足怎样的条件的直线与平面平行(线线平行或面面平),我们能在平面内找到一条直线与MN平行吗?能找一个过MN且与 巩固所学知识,培养学生书写表达能力和分析问题解决问题的能力.‎ 于A、B两点,CD分别交于C、D两点.M、N分别在AB、CD上,且.‎ 求证:MN∥‎ 证明:如图,过点A作AD′∥CD,交于D′,再在平面AB D′内作ME∥B D′,交AD′于E.则, ‎ 又 ‎∴.‎ 连结EN、AC、D′D,平行线AD′与CD确定的平面与、的交线分别是AC、D′D.‎ ‎∵,∴AC∥D′D 又 ‎∴EN∥AC∥D′D ‎∵,‎ ‎∴EN∥,又MN∥.‎ ‎∴平面MEN∥‎ ‎∴MN∥.‎ 平行的平面吗?这样的直线和平面有何特征!‎ 证明二:利用过MN的平面AMN在平面找与MN平行的直线(如图)‎ 连AN设交于E,连结DE,AC为相交直线AE、DC确定的平面与、的交线.‎ ‎∵‎ ‎∴AC∥DE ‎∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴在△ABC中MN∥BE 又,‎ ‎∴MN∥‎ 证明三:利用过MN的平面CMN在平面中找出MN平行的直线.‎ 构建知识体系,培养学生思维的灵活性.‎ 随堂练习 ‎1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”号,错误的画“×”号.‎ ‎(1)如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面. ( )‎ 学生独立完成 巩固所学知识 ‎(2)如果直线a和平面满足a∥,那么a与内的任何直线平行. ( )‎ ‎(3)如果直线a,b和平面满足a∥,b∥,那么a∥b.‎ ‎( )‎ ‎(4)如果直线a,b和平面满足a∥b,a∥,,那么b∥. ( )‎ ‎2.如图,正方体ABCD – A′B′C′D′中,AE = A1E1,AF =A1F1,求证EF∥E1F1,且EF = E1F1.‎ 参考答案:‎ 1. ‎(1)×(2)×‎ ‎(3)×(4)√‎ 2. 提示:连结E E1, FF1,证明四边形EFF1E1为平行四边形即可.‎ 归纳总结 ‎1.平面和平面平行的性质 ‎2.线线平行线面平行面面平行 学生先归纳,教师给予补充完善 回顾、反思、归纳知识,提高自我整合知识能力.‎ 课后作业 ‎2.2 第三课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 备选例题 例1 如图,设平面a∥平面,AB、CD是两异面直线,M、N分别是AB、CD的中点,且A、C,B、D.求证:MN∥ .‎ ‎【证明】连接BC,取BC的中点E,分别连接ME、NE,‎ 则MN∥AC,∴ME∥平面,‎ 又NE∥BD,∴NE∥,‎ 又ME∩NE = E,∴平面MEN∥平面,‎ ‎∵MN平面MEN.∴MN∥.‎ ‎【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”,要证“线面平行”,只要证“‎ 线线平面”,故问题最终转化为证线与线的平行.‎ 例2 ABCD是矩形,四个顶点在平面内的射影分别为A′、B′、C′、D′,直线A′B′与C′D′不重合,求证:A′B′C′D′是平行四边形.‎ ‎【证明】如图.‎ ‎∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面内的射影.‎ ‎∴BB′⊥,CC′⊥,‎ ‎∴BB′∥CC′.‎ ‎≠ ‎ ‎≠‎ ‎∵CC′ 平面CC′D′D,BB′ 平面CC′D′D,‎ ‎∴BB′∥平面CC′D′D.‎ 又∵ABCD是矩形,‎ ‎≠‎ ‎∴AB∥CD,CD 平面CC′D′D,‎ ‎∴AB∥平面CC′D′D ‎∵AB,BB′是平面ABB′A′ 内的两条相交直线,‎ ‎∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D.‎ 又∩平面ABB′A′=A′B′,∩平面CC′D′D = C′D′,∴A′B′∥C′D′.‎ 同理,B′C′∥A′D′,∴A′B′C′D′是平行四边形.‎ ‎【评析】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后,空间平等问题的证明,紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明.‎
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