2007年广东省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
2007年广东省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1. 已知集合M={x|1+x>0},N={x|11-x>0},则M∩N=( )
A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>1}
C.{x|-1
0)的单调递增区间是________.
13. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an=________;若它的第k项满足5β),f'(x)是f(x)的导数,设a1=1,an+1=an-f(an)f'(an)(n=1, 2,…).
(1)求α,β的值;
(2)证明:对任意的正整数n,都有an>α;
(3)记bn=lnan-βan-α(n=1, 2,…),求数列{bn}的前n项和Sn.
21. 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1, 1]上有零点,求a的取值范围.
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参考答案与试题解析
2007年广东省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.C
2.D
3.B
4.B
5.B
6.D
7.C
8.A
9.A
10.B
二、填空题(共5小题,每小题5分,第14-15题,属选做题,任选一题作答,满分20分)
11.y2=8x
12.(1e, +∞)
13.2n-10,8
14.2
15.30∘
三、解答题(共6小题,满分80分)
16.解:(1)由A(3, 4)、B(0, 0)、C(c, 0).
得到:AB→=(-3, -4),AC→=(c-3, -4),则AB→⋅AC→=-3(c-3)+16=0,解得c=253;
(2)当c=5时,C(5, 0),则|AB|=32+42=5,|AC|=(3-5)2+42=25,|BC|=5,
根据余弦定理得:cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=25+20-25205=55,
由A∈(0, π),得到sinA=1-(55)2=255.
17.解:(1)由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,
其底面是长、宽分别为8和6的矩形,
正侧面及其相对侧面均为底边长为8,
高为h1的等腰三角形,
左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形,
如图所示.
几何体的体积为
V=13⋅S矩形⋅h=13×6×8×4=64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:
h1=42+32=5.
左、右侧面的底边上的高为:
h2=42+42=42.
故几何体的侧面面积为:
S=2×(12×8×5+12×6×42)
=40+242.
18.解:(1)根据题意,作图可得,
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(2)由系数公式可知,
x¯=4.5,
y¯=3.5,
b=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=66.5-635=0.7
a=3.5-0.7×92=0.35,
所以线性回归方程为y=0.7x+0.35;
(3)x=100时,y=0.7x+0.35=70.35,
所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤.
19.解:(1)设圆心坐标为(m, n)(m<0, n>0),
则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8,
已知该圆与直线y=x相切,
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则|m-n|2=22,
即|m-n|=4,①
又圆与直线切于原点,将点(0, 0)代入得m2+n2=8,②
联立方程①和②组成方程组,解得m=-2,n=2,
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)由题意得,2a=10,则a=5,a2=25,
则椭圆的方程为x225+y29=1,
c=25-9=4,右焦点为(4, 0),那么|OF|=4.
通过联立两圆的方程(x-4)2+y2=16,(x+2)2+(y-2)2=8,
解得x=45,y=125.
即存在异于原点的点Q(45, 125),
使得该点到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.
20.解:(1)∵ f(x)=x2+x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),
∴ α=-1+52,β=-1-52;
(2)f'(x)=2x+1,an+1=an-an2+an-12an+1=an-12an(2an+1)+14(2an+1)-542an+1
=14(2an+1)+542an+1-12,
∵ a1=1,
∴ 有基本不等式可知a2≥5-12>0(当且仅当a1=5-12时取等号),
∴ a2>5-12>0,同样a3>5-12,an>5-12=α(n=1, 2),
(3)an+1-β=an-β-(an-α)(an-β)2an+1=an-β2an+1(an+1+α)
而α+β=-1,即α+1=-β,an+1-β=(an-β)22an+1,
同理an+1-α=(an-α)22an+1,bn+1=2bn,
又b1=ln1-β1-α=ln3+53-5=2ln3+52sn=2(2n-1)ln3+52
21.解:a=0时,不符合题意,所以a≠0,
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又∴ f(x)=2ax2+2x-3-a=0在[-1, 1]上有解,⇔(2x2-1)a=3-2x在[-1, 1]上有解⇔1a=2x2-13-2x
在[-1, 1]上有解,问题转化为求函数y=2x2-13-2x[-1, 1]上的值域;
设t=3-2x,x∈[-1, 1],则2x=3-t,t∈[1, 5],y=12⋅(t-3)2-2t=12(t+7t-6),
设g(t)=t+7t.g'(t)=t2-7t2,t∈[1,7)时,g'(t)<0,此函数g(t)单调递减,
t∈(7,5]时,g'(t)>0,此函数g(t)单调递增,
∴ y的取值范围是[7-3,1],
∴ f(x)=2ax2+2x-3-a=0在[-1, 1]上有解⇔1a∈[7-3,1]⇔a≥1或a≤-3+72.
故a≥1或a≤-3+72.
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