2012年文数高考试题答案及解析-广东

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2012年文数高考试题答案及解析-广东

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科) 本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 参考公式: 锥体的体积公式 1 3V Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. 球的体积 34 3V R ,其中 R 为球的半径。 一组数据 1 2, , , nx x x 的标准差 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        ,其中 x 表示这组数据的平均数。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求。 1. 设i 为虚数单位,则复数 3 4i i  =( ) ( )A 4 3i  ( )B 4 3i  ( )C i   ( )D i   2.设集合 {1,2,3,4,5,6}, {1,3,5}U M  ;则 UC M  ( ) ( )A { , , }   ( )B {1,3,5} ( )C { , , }   ( )D U 3. 若向量 (1,2), (3,4)AB BC   ;则 AC  ( ) ( )A (4,6) ( )B ( 4, 6)  ( )C ( , )  ( )D ( , )  4. 下列函数为偶函数的是( ) ( )A siny x ( )B 3y x ( )C xy e ( )D lny x  5. 已知变量 ,x y 满足约束条件 1 1 0 1 x y x x y         ,则 2z x y  的最小值为( ) ( )A 3 ( )B 1 ( )C 5 ( )D 6 6. 在 ABC 中,若 60 , 45 , 3 2A B BC      ,则 AC  ( ) ( )A 4 3 ( )B 2 3 ( )C  ( )D   7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( ) ( )A 72 ( )B 48 ( )C  ( )D  8. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线3 4 5 0x y   与圆 2 2 4x y  相交于 ,A B 两点,则弦 AB 的长等于( ) ( )A 3 3 ( )B 2 3 ( )C  ( )D  9. 执行如下图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( ) ( )A 105 ( )B 16 ( )C  ( )D  10.对任意两个非零的平面向量 和  ,定义        ;若两个非零的平面向量 ,a b   满足, a  与 b  的夹角 ( , )4 2    ,且 ,a b b a       都在集合 }2 n n Z  中,则 a b    ( ) ( )A 1 2 ( )B 1 ( )C   ( )D   二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 11. 函数 1xy x  的定义域为_________。 12. 等比数列{ }na 满足 2 4 1 2a a  ,则 2 1 3 5a a a  _____ 。 13. 由正整数组成的一组数据 1 2 3 4, , ,x x x x ,其平均数和中位数都是 2 ,且标准差等于1,则这组数据为_________。 (从小到大排列) (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 和 2C 的参数方程分别为 2 5 cos: 5 sin xC y      ( 是参数, 0 2   )和 2 21 2: 2 2 x t C y t       (t 是参数),它们的交点坐标为_______. 15.(几何证明选讲选做题)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 想切于点 B , D 是弦 AC 上的点, PBA DBA   , 若 ,AD m AC n  ,则 AB  _______。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)已知函数 ( ) cos( )( )4 6 xf x A x R   ,且 ( ) 23f   。 (1)求 A 的值;(2)设 , [0, ]2    , 4 30 2 8(4 ) , (4 )3 17 3 5f f       ;求 cos( )  的值 17.(本小题满分 13 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成绩相应分数段的人数( y )之比如下表所示,求数学 成绩在[50,90)之外的人数。 18.(本小题满分 13 分)如下图 5 所示,在四棱锥 P ABCD 中,AB  平面 PAD , / / ,AB CD PD AD ,E 是 PB 中点, F 是 DC 上的点,且 1 2DF AB , PH 为 PAD 中 AD 边上的高。 (1)证明: PH  平面 ABCD ; (2)若 1, 2, 1PH AD FC   ,求三棱锥 E BCF 的体积; (3)证明: EF  平面 PAB . 19.(本小题满分 14 分)设数列 na 的前 n 项和为 nS ,数列 nS 的前 n 项和为 nT ,满足 2 *2n nT S n n N  , . (1)求 1a 的值;(2)求数列 na 的通项公式。 20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左焦点为 1( 1 0)F  , , 且点 (0 1)P , 在 1C 上。(1)求 1C 的方程;(2)设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2 2 : 4C y x 相切,求直线l 的方程。 21.(本小题满分 14 分)设 0 1a  ,集合 { | 0}A x R x   , 2{ | 2 3(1 ) 6 0}B x R x a x a      , D A B  。(1)求集合 D (用区间表示);(2)求函数 3 2( ) 2 3(1 ) 6f x x a x ax    在 D 内的极值点。 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C B C B C A 1. 【解析】选 D 依题意: 2 3 4 (3 4 ) 4 3i i i ii i     2.【解析】选 A UC M  { , , }   3. 【解析】选 A (4,6)AC AB BC     4. 【解析】选 D siny x 与 3y x 是奇函数,, xy e 是非奇非偶函数 5. 【解析】选C 约束条件对应 ABC 边际及内的区域: (1,0), ( 1,2), 1, 2)A B C   ,则 2 [ 5,3]z x y    6. 【解析】选 B 由正弦定理得: 3 2 2 3sin sin sin 60 sin 45 BC AC AC ACA B       7.【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成,它的体积为 3 2 2 21 4 13 3 5 3 302 3 3V            8. 【解析】选 B 圆 2 2 4x y  的圆心 (0,0)O 到直线3 4 5 0x y   的距离 5 15d   ,弦 AB 的长 2 22 2 3AB r d   9. 【解析】选C s 1 1 3 15 i 1 3 5 7 10. 【解析】选 A 2 1cos 0, cos 0 ( ) ( ) cos (0, )2 a b a b b a a b b a b a                          ,a b b a       都在集合 }2 n n Z  中得: *1 2 1 2 1( ) ( ) ( , )4 2 n na b b a n n N a b             。 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 9. 【解析】定义域为[ 1,0) (0, )  , 1xy x  中的 x 满足: 1 0 1 00 x xx        或 0x  10. 【解析】 2 1 3 5a a a  1 4 , 2 2 4 2 4 3 1 3 5 3 1 1 1,2 2 4a a a a a a a     11. 【解析】这组数据为1,1,3,3 ,不妨设 1 2 3 4x x x x   得: 2 3 1 2 3 4 1 44, 8 4x x x x x x x x         2 2 2 2 2 1 2 3 41 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 4 2 0,1,2is x x x x x             ①如果有一个数为 0 或 4 ;则其余数为 2 ,不合题意;②只能取 2 1ix   ;得:这组数据为1,1,3,3 (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14.【解析】它们的交点坐标为 (2,1) , 2 2 1 2: 5( , 0), : 1C x y x y C y x     解得:交点坐标为 (2,1) 15.【解析】 AB  mn , ,PBA DBA ACB BAD CAB BAD CAB           得: 2AB AD AB AC AD mn AB mnAC AB        。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.解:(1) ( ) 2 cos 2 23 4f A A      。 (2) 4 30 15 15(4 ) cos( ) sin3 17 2 17 17f             , [0, ]2   , 8cos 17   。 2 8 4(4 ) cos3 5 5f      , [0, ]2   , 3sin 5   ,  4 8 3 15 13cos( ) cos cos sin sin 5 17 5 17 85               17.解:(1) (2 0.02 0.03 0.04) 10 1 0.005a a       。 (2)平均分为55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73          。 (3)数学成绩在 [50,90) 内的人数为 1 4 5(0.005 0.04 0.03 0.02) 10 100 902 3 4          人,数学成绩在 [50,90) 外的人数为100 90 10  人。 答:(1) 0.005a  ;(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为 73;(3)数学成绩在[50,90) 外的人数为10人。 18.(1)证明: AB  平面 PAD , PH  面 PAD PH AB  ,又 ,PH AD AD AB 、 平面 ABCD , AD AB A PH   平面 ABCD 。 (2) E 是 PB 中点 点 E 到面 BCF 的距离 1 1 2 2h PH  , 三棱锥 E BCF 的体积 1 1 1 1 1 21 23 3 2 6 2 12BCFV S h FC AD h            。 (3)取 PA 的中点为G ,连接 ,DG EG 。 PD AD DG PA   ,又 AB  平面 PAD , AB  平面 PAB  平面 PAD  平面 PAB , 又平面 PAD  平面 PAB PA , DG  平面 PAD DG  面 PAB , 点 ,E G 是棱 ,PB PA 的中点 1/ / 2EG AB ,又 1/ / / / / /2DF AB EG DF DG EF  ,得:EF  平面 PAB 。 19.解:(1)在 2 *2n nT S n n N  , 中,令 1 1 1 1 11 2 1 2 1 1n T S a a a         。 (2) 2 2 1 12 2 ( 1)n n n nT S n T S n      , ,相减得: 1 2 (2 1)n nS S n    , 2 12 (2 3)n nS S n    , 相减得: 2 12 2n na a   , 1 2 1 21 2 3 4a S S a      , 2 12 2a a   ,得 1 2 2n na a   , 1 12 2 2 2( 2)n n n na a a a       ,得:数列{ 2}na  是以 1 2 3a   为首项, 2 为公比的等比数列,  1 12 3 2 3 2 2n n n na a        。 20.解:(1)由题意得: 2 21, 1 2b c a b c      ,故椭圆 1C 的方程为: 2 2 12 x y  。 (2)①当直线l 的斜率不存在时,设直线 :l x m ,直线l 与椭圆 1C 相切 2m   ,直线与抛物线 2 2 : 4C y x 相切 0m  ,得: m 不存在。 ②当直线l 的斜率存在时,设直线 :l y kx m  ,直线l 与椭圆 1C 相切 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m      两根 相等 2 2 1 0 2 1m k      ;直线与抛物线 2 2 : 4C y x 相切 2 2 22( 2) 0k x km x m     两根相等 2 0 1km     ,解得: 2 , 22k m  或 2 2, 2 : ( 2)2 2k m l y x        。 21.解:(1)对于方程 22 3(1 ) 6 0x a x a    ,判别式 29(1 ) 48 3( 3)(3 1)a a a a       。 因为 0 1a  ,所以 3 0a   。 当 1 13 a  时, 0  ,此时 B R ,所以  0,D A   ; 当 1 3a  时, 0  ,此时 { | 1}B x x  ,所以 (0,1) (1, )D   ; 当 10 3a  时, 0  ,设方程 22 3(1 ) 6 0x a x a    的两根为 1 2,x x 且 1 2x x , 则 1 3(1 ) 3( 3)(3 1) 4 a a ax     , 2 3(1 ) 3( 3)(3 1) 4 a a ax     , 1 2{ | }B x x x x x  或 1 2 3 (1 ) 02x x a    , 1 2 3 0x x a  ,所以 1 20, 0x x  ,此时, 1 2(0, ) ( , )D x x  3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)(0, ) ( , )4 4 a a a a a a         综上可知,当 10 3a  时, 3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)(0, ) ( , )4 4 a a a a a aD          ; 当 1 3a  时, (0,1) (1, )D   ;当 1 13 a  时,  0,D   。 (2) 2( ) 6 6(1 ) 6 6( 1)( )f x x a x a x x a        (0 1)a  ,由 ( ) 0 1f x a x     , 由 ( ) 0f x x a    或 1x  ,所以函数 ( )f x 在区间 ,a 和 1, 上为递增,在区间 ,1a 上为递减。 当 1 13 a  时,因为  0,D   ,所以 ( )f x 在 D 内有极大值点 a 和极小值点1; 当 1 3a  时, (0,1) (1, )D   ,所以 ( )f x 在 D 内有极大值点 1 3a  ; 当 10 3a  时, 3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)(0, ) ( , )4 4 a a a a a aD           3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)14 4 a a a a a aa           , ( )f x 在 D 内有极大值点 a 。 综上可知:当 10 3a  时, ( )f x 在 D 内有极大值点 a ;当 1 13 a  时, ( )f x 在 D 内有极大值点 a 和极小值 点1。
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