2012年文数高考试题答案及解析-广东

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科) 本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 参考公式： 锥体的体积公式 1 3V Sh ，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高. 球的体积 34 3V R ，其中 R 为球的半径。 一组数据 1 2, , , nx x x 的标准差 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        ，其中 x 表示这组数据的平均数。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 设i 为虚数单位，则复数 3 4i i  =( ) ( )A 4 3i  ( )B 4 3i  ( )C i   ( )D i   2．设集合 {1,2,3,4,5,6}, {1,3,5}U M  ；则 UC M  ( ) ( )A { , , }   ( )B {1,3,5} ( )C { , , }   ( )D U 3. 若向量 (1,2), (3,4)AB BC   ；则 AC  ( ) ( )A (4,6) ( )B ( 4, 6)  ( )C ( , )  ( )D ( , )  4. 下列函数为偶函数的是( ) ( )A siny x ( )B 3y x ( )C xy e ( )D lny x  5. 已知变量 ,x y 满足约束条件 1 1 0 1 x y x x y         ，则 2z x y  的最小值为( ) ( )A 3 ( )B 1 ( )C 5 ( )D 6 6. 在 ABC 中，若 60 , 45 , 3 2A B BC      ，则 AC  ( ) ( )A 4 3 ( )B 2 3 ( )C  ( )D   7．某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为( ) ( )A 72 ( )B 48 ( )C  ( )D  8. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线3 4 5 0x y   与圆 2 2 4x y  相交于 ,A B 两点，则弦 AB 的长等于( ) ( )A 3 3 ( )B 2 3 ( )C  ( )D  9. 执行如下图所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 s 的值为( ) ( )A 105 ( )B 16 ( )C  ( )D  10.对任意两个非零的平面向量 和  ，定义        ；若两个非零的平面向量 ,a b   满足， a  与 b  的夹角 ( , )4 2    ，且 ,a b b a       都在集合 }2 n n Z  中，则 a b    ( ) ( )A 1 2 ( )B 1 ( )C   ( )D   二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 11. 函数 1xy x  的定义域为_________。 12. 等比数列{ }na 满足 2 4 1 2a a  ，则 2 1 3 5a a a  _____ 。 13. 由正整数组成的一组数据 1 2 3 4, , ,x x x x ，其平均数和中位数都是 2 ，且标准差等于1，则这组数据为_________。 (从小到大排列) (二)选做题(14 - 15 题，考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 和 2C 的参数方程分别为 2 5 cos: 5 sin xC y      ( 是参数， 0 2   )和 2 21 2: 2 2 x t C y t       (t 是参数)，它们的交点坐标为_______. 15.(几何证明选讲选做题)如图 3 所示，直线 PB 与圆 O 想切于点 B ， D 是弦 AC 上的点， PBA DBA   ， 若 ,AD m AC n  ，则 AB  _______。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)已知函数 ( ) cos( )( )4 6 xf x A x R   ，且 ( ) 23f   。 (1)求 A 的值；(2)设 , [0, ]2    ， 4 30 2 8(4 ) , (4 )3 17 3 5f f       ；求 cos( )  的值 17.(本小题满分 13 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是： [50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 a 的值； (2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成绩相应分数段的人数( y )之比如下表所示，求数学 成绩在[50，90)之外的人数。 18.(本小题满分 13 分)如下图 5 所示，在四棱锥 P ABCD 中，AB  平面 PAD ， / / ,AB CD PD AD ，E 是 PB 中点， F 是 DC 上的点，且 1 2DF AB ， PH 为 PAD 中 AD 边上的高。 (1)证明： PH  平面 ABCD ； (2)若 1, 2, 1PH AD FC   ，求三棱锥 E BCF 的体积； (3)证明： EF  平面 PAB ． 19.(本小题满分 14 分)设数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nS 的前 n 项和为 nT ，满足 2 *2n nT S n n N  ， ． (1)求 1a 的值；(2)求数列 na 的通项公式。 20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左焦点为 1( 1 0)F  ， ， 且点 (0 1)P ， 在 1C 上。(1)求 1C 的方程；(2)设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2 2 : 4C y x 相切，求直线l 的方程。 21.(本小题满分 14 分)设 0 1a  ，集合 { | 0}A x R x   ， 2{ | 2 3(1 ) 6 0}B x R x a x a      ， D A B  。(1)求集合 D (用区间表示)；(2)求函数 3 2( ) 2 3(1 ) 6f x x a x ax    在 D 内的极值点。 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C B C B C A 1. 【解析】选 D 依题意： 2 3 4 (3 4 ) 4 3i i i ii i     2．【解析】选 A UC M  { , , }   3. 【解析】选 A (4,6)AC AB BC     4. 【解析】选 D siny x 与 3y x 是奇函数,， xy e 是非奇非偶函数 5. 【解析】选C 约束条件对应 ABC 边际及内的区域： (1,0), ( 1,2), 1, 2)A B C   ，则 2 [ 5,3]z x y    6. 【解析】选 B 由正弦定理得： 3 2 2 3sin sin sin 60 sin 45 BC AC AC ACA B       7．【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成，它的体积为 3 2 2 21 4 13 3 5 3 302 3 3V            8. 【解析】选 B 圆 2 2 4x y  的圆心 (0,0)O 到直线3 4 5 0x y   的距离 5 15d   ，弦 AB 的长 2 22 2 3AB r d   9. 【解析】选C s 1 1 3 15 i 1 3 5 7 10. 【解析】选 A 2 1cos 0, cos 0 ( ) ( ) cos (0, )2 a b a b b a a b b a b a                          ,a b b a       都在集合 }2 n n Z  中得： *1 2 1 2 1( ) ( ) ( , )4 2 n na b b a n n N a b             。 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 9. 【解析】定义域为[ 1,0) (0, )  ， 1xy x  中的 x 满足： 1 0 1 00 x xx        或 0x  10. 【解析】 2 1 3 5a a a  1 4 ， 2 2 4 2 4 3 1 3 5 3 1 1 1,2 2 4a a a a a a a     11. 【解析】这组数据为1,1,3,3 ，不妨设 1 2 3 4x x x x   得： 2 3 1 2 3 4 1 44, 8 4x x x x x x x x         2 2 2 2 2 1 2 3 41 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 4 2 0,1,2is x x x x x             ①如果有一个数为 0 或 4 ；则其余数为 2 ，不合题意；②只能取 2 1ix   ；得：这组数据为1,1,3,3 (二)选做题(14 - 15 题，考生只能从中选做一题) 14.【解析】它们的交点坐标为 (2,1) ， 2 2 1 2: 5( , 0), : 1C x y x y C y x     解得：交点坐标为 (2,1) 15.【解析】 AB  mn ， ,PBA DBA ACB BAD CAB BAD CAB           得： 2AB AD AB AC AD mn AB mnAC AB        。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.解：(1) ( ) 2 cos 2 23 4f A A      。 (2) 4 30 15 15(4 ) cos( ) sin3 17 2 17 17f             ， [0, ]2   ， 8cos 17   。 2 8 4(4 ) cos3 5 5f      ， [0, ]2   ， 3sin 5   ，  4 8 3 15 13cos( ) cos cos sin sin 5 17 5 17 85               17.解：(1) (2 0.02 0.03 0.04) 10 1 0.005a a       。 (2)平均分为55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73          。 (3)数学成绩在 [50,90) 内的人数为 1 4 5(0.005 0.04 0.03 0.02) 10 100 902 3 4          人，数学成绩在 [50,90) 外的人数为100 90 10  人。 答：(1) 0.005a  ；(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为 73；(3)数学成绩在[50,90) 外的人数为10人。 18.(1)证明： AB  平面 PAD ， PH  面 PAD PH AB  ，又 ,PH AD AD AB 、 平面 ABCD ， AD AB A PH   平面 ABCD 。 (2) E 是 PB 中点 点 E 到面 BCF 的距离 1 1 2 2h PH  ， 三棱锥 E BCF 的体积 1 1 1 1 1 21 23 3 2 6 2 12BCFV S h FC AD h            。 (3)取 PA 的中点为G ，连接 ,DG EG 。 PD AD DG PA   ，又 AB  平面 PAD ， AB  平面 PAB  平面 PAD  平面 PAB ， 又平面 PAD  平面 PAB PA ， DG  平面 PAD DG  面 PAB ， 点 ,E G 是棱 ,PB PA 的中点 1/ / 2EG AB ，又 1/ / / / / /2DF AB EG DF DG EF  ，得：EF  平面 PAB 。 19.解:(1)在 2 *2n nT S n n N  ， 中，令 1 1 1 1 11 2 1 2 1 1n T S a a a         。 (2) 2 2 1 12 2 ( 1)n n n nT S n T S n      ， ，相减得： 1 2 (2 1)n nS S n    ， 2 12 (2 3)n nS S n    ， 相减得： 2 12 2n na a   ， 1 2 1 21 2 3 4a S S a      ， 2 12 2a a   ，得 1 2 2n na a   ， 1 12 2 2 2( 2)n n n na a a a       ，得：数列{ 2}na  是以 1 2 3a   为首项， 2 为公比的等比数列，  1 12 3 2 3 2 2n n n na a        。 20.解：(1)由题意得： 2 21, 1 2b c a b c      ，故椭圆 1C 的方程为： 2 2 12 x y  。 (2)①当直线l 的斜率不存在时，设直线 :l x m ，直线l 与椭圆 1C 相切 2m   ，直线与抛物线 2 2 : 4C y x 相切 0m  ，得： m 不存在。 ②当直线l 的斜率存在时，设直线 :l y kx m  ，直线l 与椭圆 1C 相切 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m      两根 相等 2 2 1 0 2 1m k      ；直线与抛物线 2 2 : 4C y x 相切 2 2 22( 2) 0k x km x m     两根相等 2 0 1km     ，解得： 2 , 22k m  或 2 2, 2 : ( 2)2 2k m l y x        。 21.解：(1)对于方程 22 3(1 ) 6 0x a x a    ，判别式 29(1 ) 48 3( 3)(3 1)a a a a       。 因为 0 1a  ，所以 3 0a   。 当 1 13 a  时， 0  ，此时 B R ，所以  0,D A   ； 当 1 3a  时， 0  ，此时 { | 1}B x x  ，所以 (0,1) (1, )D   ； 当 10 3a  时， 0  ，设方程 22 3(1 ) 6 0x a x a    的两根为 1 2,x x 且 1 2x x ， 则 1 3(1 ) 3( 3)(3 1) 4 a a ax     ， 2 3(1 ) 3( 3)(3 1) 4 a a ax     ， 1 2{ | }B x x x x x  或 1 2 3 (1 ) 02x x a    ， 1 2 3 0x x a  ，所以 1 20, 0x x  ，此时， 1 2(0, ) ( , )D x x  3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)(0, ) ( , )4 4 a a a a a a         综上可知，当 10 3a  时， 3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)(0, ) ( , )4 4 a a a a a aD          ； 当 1 3a  时， (0,1) (1, )D   ；当 1 13 a  时，  0,D   。 (2) 2( ) 6 6(1 ) 6 6( 1)( )f x x a x a x x a        (0 1)a  ，由 ( ) 0 1f x a x     ， 由 ( ) 0f x x a    或 1x  ，所以函数 ( )f x 在区间 ,a 和 1, 上为递增，在区间 ,1a 上为递减。 当 1 13 a  时，因为  0,D   ，所以 ( )f x 在 D 内有极大值点 a 和极小值点1； 当 1 3a  时， (0,1) (1, )D   ，所以 ( )f x 在 D 内有极大值点 1 3a  ； 当 10 3a  时， 3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)(0, ) ( , )4 4 a a a a a aD           3(1 ) 3( 3)(3 1) 3(1 ) 3( 3)(3 1)14 4 a a a a a aa           ， ( )f x 在 D 内有极大值点 a 。 综上可知：当 10 3a  时， ( )f x 在 D 内有极大值点 a ；当 1 13 a  时， ( )f x 在 D 内有极大值点 a 和极小值 点1。