山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12讲第3课时导数与函数的零点或方程的根不等式课件

山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12讲第3课时导数与函数的零点或方程的根不等式课件

第二章 函数、导数及其应用 第十二讲　导数在研究函数中的应用 第三课时　导数与函数的零点或方程的根、不等式 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　利用导数研究函数零点的方法 方法一： (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间和极值． (2) 根据函数 f ( x ) 的性质作出图象． (3) 判断函数零点的个数． 方法二： (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间和极值． (2) 分类讨论，判断函数零点的个数． 知识点二　利用导数解决不等式问题的常见题型及解题策略 (1) 利用导数证明不等式 若证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈( a ， b ) ，可以构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，如果能证明 F ( x ) 在 ( a ， b ) 上的最大值小于 0 ，即可证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈( a ， b ) ． (2) 利用导数解决不等式的恒成立问题 “ 恒成立 ” 与 “ 存在性 ” 问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当 f ( x ) 在 x ∈ D 上存在最大值和最小值时，若 f ( x )≥ g ( a ) 对于 x ∈ D 恒成立，应求 f ( x ) 在 x ∈ D 上的最小值，将原条件转化为 g ( a )≤ f ( x ) min ；若 f ( x )≤ g ( a ) 对于 x ∈ D 恒成立，应求 f ( x ) 在 x ∈ D 上的最大值，将原条件转化为 g ( a )≥ f ( x ) max ；若存在 x ∈ D ，使得 f ( x )≥ g ( a ) 成立，应求 f ( x ) 在 x ∈ D 上的最大值，将原条件转化为 g ( a )≤ f ( x ) max ；若存在 x ∈ D ，使得 f ( x )≤ g ( a ) 成立，应求 f ( x ) 在 x ∈ D 上的最小值，将原条件转化为 g ( a )≥ f ( x ) min . ABD C C 4 ． ( 选修 2 － 2P 32 BT1 改编 ) 求证： ln x ≤ x － 1( x >0) ． 题组三　考题再现 5 ． (2018 · 江苏， 5 分 ) 若函数 f ( x ) ＝ 2 x 3 － ax 2 ＋ 1( a ∈ R ) 在 (0 ，＋∞ ) 内有且只有一个零点，则 f ( x ) 在 [ － 1,1] 上的最大值与最小值的和为 ________. － 3 考点突破 • 互动探究 考点一　利用导数研究函数的零点或方程的根 —— 师生共研 例 1 利用导数研究方程根或函数零点的方法 (1) 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． (2) 根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极 ( 最 ) 值的位置． (3) 通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 例 2 考点二　利用导数研究不等式的有关问题 —— 多维探究 角度 1 　证明不等式 角度 2 　不等式恒成立或有解问题 例 3 (2020 · 湖南五市十校联考 ) 设 f ′( x ) 是奇函数 f ( x )( x ∈ R ) 的导函数，当 x >0 时， x ln x · f ′( x )< － f ( x ) ，则使得 ( x 2 － 2 x － 8) f ( x )>0 成立的 x 的取值范围是 ( 　　 ) A ． ( － 2,0)∪(4 ，＋∞ ) B ． ( －∞，－ 4)∪(0,2) C ． ( －∞，－ 2)∪(0,4) D ． ( －∞，－ 2)∪(4 ，＋∞ ) C 例 4 角度 3 　解不等式 (1) 利用导数解不等式的思路 已知一个含 f ′( x ) 的不等式，可构造和 f ( x ) 有关的函数 g ( x ) ，利用 g ( x ) 的单调性，然后可利用函数单调性解不等式． (2) 利用导数证明不等式的方法 ①构造法：证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈( a ， b ) ， 可以构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ， 如果 F ′( x )<0 ， 则 F ( x ) 在 ( a ， b ) 上是减函数，则只需 F ( a )≤0 ， 由减函数的定义可知， x ∈( a ， b ) 时，有 F ( x )<0 ， 即证明了 f ( x )< g ( x ) ． ② 最值比较法：证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈( a ， b ) 时，若构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 后 ， F ( x ) 的单调性无法确定，可考虑 f ( x ) 的最大值与 g ( x ) 的最小值，如果 f max ( x )< g ( x ) min 可证 ： f ( x )< g ( x ) ． (3) 利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略 ①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围． ②也可分离参数，通过构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． C A 名师讲坛 • 素养提升 赋值法证明正整数不等式 例 5 (1) 函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数 n 的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少 2 问，所证的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到． (2) 已知函数式为指数不等式 ( 或对数不等式 ) ，而待证不等式为与对数有关的不等式 ( 或与指数有关的不等式 ) ，还要注意指、对数式的互化，如 e x > x ＋ 1 可化为 ln( x ＋ 1)< x 等．