【数学】2021届一轮复习人教A版不含参数的极值点问题学案

【数学】2021届一轮复习人教A版不含参数的极值点问题学案

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.‎ 例.（2018天津理）已知函数 ，如果，且.‎ 证明：‎ 构造函数，‎ 则，所以在上单调递增，，‎ 也即对恒成立.由，则，‎ 所以，‎ 即，又因为，且在上单调递减，‎ 所以，即证 ‎ 法三：由，得，化简得…，‎ 不妨设，由法一知，.‎ 令，则，代入式，得，反解出，‎ 则，故要证，即证，‎ 又因为，等价于证明：…‚，‎ 构造函数，则，‎ 故在上单调递增，，‎ 从而也在上单调递增，，‎ 构造，则，‎ 又令，则，‎ 由于对恒成立，故，在上单调递增，‎ 所以，从而，故在上单调递增，‎ 由洛比塔法则知：，‎ 即证，即证ƒ式成立，也即原不等式成立.‎ ‎【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.‎ 例.（2018湖南文）已知函数，证明：当时，‎ ‎【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减. ‎ 招式演练：‎ ‎★已知函数，正实数满足.‎ 证明：.[‎ ‎【解析】由，得 从而，令，构造函数，‎ 得，可知在上单调递减，在上单调递增，学&科网 所以，也即，解得：.‎ ‎★已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若方程 有两个相异实根，，且，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在(0,1)递增， 在(1,+ 递减；（Ⅱ）见解析 ‎（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足 且，，由题意可知 ‎ 又有(1)可知在递减，故，所以，令 ‎ ‎ ‎ ‎