2018-2019学年江苏省如皋中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年江苏省如皋中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 Word版

‎2018-2019学年江苏省如皋中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 第 Ⅰ 卷 (共160分 时间：120分钟)‎ 注意：答卷可能用到的公式：；；；.‎ 一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.复数，其中是虚数单位，则复数的虚部是 ▲ . ‎ ‎2.已知复数，其中，是虚数单位，则 ▲ . ‎ ‎3.若椭圆的一个焦点为，则 ▲ .‎ ‎4.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则此双曲线的方程 ▲ .‎ ‎5.某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有 ▲ 种．(结果用数字作答) ‎ ‎6.从这个数字中取出个数字，能组成 ▲ 个没有重复数字的四位数.(结果用数字作答) ‎ ‎7.已知是不重合的直线，是不重合的平面，以下结论正确的是 ▲ .(将正确的序号均填上)． ‎ ‎①若，则；②若，则；‎ ‎③若，则；　④若，则. ‎ ‎8.若直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为，则线段的长为 ▲ .‎ ‎9.设是球表面上的四个点，且两两垂直，若，，‎ ‎，则球的表面积是 ▲ .‎ ‎10.已知为椭圆上一动点，点，则的最小值为 ▲ .‎ ‎11.如图，在三棱柱中，侧棱平面，，底面 是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为 ▲ .‎ ‎12.在平面直角坐标系中，为椭圆上一点， 是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，若，则的面积为 ▲ .‎ ‎13.已知是椭圆 上的一动点，是椭圆的左、右焦点，延长到使得，点为中点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为 ▲ .‎ ‎14.椭圆的左焦点为，为坐标原点，设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于，则点的纵坐标的取值范围是 ▲ .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎15. (本题满分14分)‎ ‎ 已知椭圆的长轴的左、右端点分别是，右焦点的坐标 为，离心率为，点在椭圆上，且位于轴上方，.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求点的坐标.‎ ‎16. (本题满分14分)‎ 某养路处建造圆锥形仓库(仓库的底面利用地面)用于存放食盐，用来供融化高速公路上的积雪.已建仓库的底面直径为，高为.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐.现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大(高度不变)，二是高度增加(底面直径不变).‎ ‎(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积；‎ ‎(2)分别计算按这两个方案所建仓库的表面积；‎ ‎(3)哪一个方案更经济些？‎ ‎17. (本题满分14分)‎ 如图，四棱锥的底面是菱形，且，又是等边三角形， ‎ 分别是的中点． ‎ ‎ (1)求证：平面；‎ ‎(2)求证：平面.‎ ‎ ‎ ‎18. (本题满分16分)‎ 如图，正方体中，过顶点的平面分别与棱交于两点．‎ A ‎ ‎ B C D ‎ A ‎ A ‎ A M N ‎(1)求证：四边形是平行四边形；‎ ‎(2)求证：平面平面．‎ ‎19. (本题满分16分)‎ 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．‎ ‎(1)求动点所在曲线的方程；‎ ‎(2)过点F的直线与曲线交于不同两点、，求的最小值．‎ ‎20. (本题满分16分)‎ 在平面直角坐标系中，椭圆离心率为，焦点到相应准线 的距离为.动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足.设点在直线上，且满足.‎ ‎ (1)求椭圆的方程； ‎ ‎ (2)证明过点且垂直于的直线经过轴上的一个定点，并求出这个定点； ‎ ‎ (3)设(2)中的定点为，当四边形面积为时，求点的坐标.‎ ‎ 2018-2019学年度第一学期阶段练习 高二数学(理科) ‎ ‎ 第 Ⅱ 卷(附加题) (共40分 时间：30分钟)‎ ‎21. (本题满分10分)‎ 在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线 与极轴的交点．‎ ‎(1)求圆的半径；‎ ‎(2)求圆的极坐标方程．‎ ‎22. (本题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程.若点在直线上，点在曲线上，求的最小值．‎ ‎ ‎ ‎23. (本题满分10分) ‎ 已知，．‎ ‎(1)若展开式中奇数项的二项式系数和为，求展开式中二项式系数最大的项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于，求展开式中系数最大的项．‎ ‎24. (本题满分10分)‎ 已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且．‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)已知点，过点的直线交抛物线于两点，求证：．‎ ‎ ‎ B A C y x O B A C y x O ‎ ‎ 高二数学(理科)参考答案 第Ⅰ卷 ‎ ‎1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ③； 8. ； 9. ；‎ ‎10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14..‎ ‎15.解：(1)由椭圆的右焦点的坐标为，离心率为知，‎ ‎ ，，所以，，‎ ‎ 所以，椭圆的方程为. ---------------------6分 ‎(2)设，，由(1) 知，又，‎ 由得，，故，即，①---10分 又点在椭圆上，所以，②‎ 由①②得，，故，或(舍去)，‎ 由得，， ----------------12分 ‎ 所以，点的坐标为. ----------------------14分 ‎16.解：由题意知，第一个方案中所建仓库的圆锥的底面半径为，高度为，母线长为；第二个方案中所建仓库的圆锥的底面半径为，高度为，母线长为.--------4分 ‎ ‎(1)按方案一所建仓库的体积；‎ 按方案二所建仓库的体积. --------------------------8分 ‎(2)按方案一所建仓库的表面积；‎ 按方案二所建仓库的表面积. -----------------12分 ‎(3)因为，，所以第二个方案更经济些. -------------------14分 注：(1)本题不写单位的扣2分；(2)母线长没有明确计算的扣2分.‎ ‎17. (1) 证明：连结.‎ 因为是菱形，且，且是等边三角形，‎ 因为是的中点，所以.‎ 是等边三角形，是的中点，所以， --------------------4分 因为，平面，平面，‎ 所以平面， -------------------7分 ‎(2) 证明：取中点，连结.‎ 在中，分别为的中点，所以且，‎ 又是菱形，是的中点，所以且，‎ 从而且，故四边形是平行四边形，------------10分 ‎ 所以，又因为平面，平面，‎ 所以平面. ---------------------14分 ‎18.证明：(1) 正方体中，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 平面平面，所以，，‎ ‎ 同理可得 A ‎ ‎ B C D ‎ A ‎ A ‎ A M N ‎ 所以，四边形为平行四边形， ------------------------------6分 ‎(2)连结，.‎ 正方体中，‎ 因为四边形为正方形，所以，‎ 又因为，，所以，‎ 而，‎ 所以，， --------------------------9分 又，故， ‎ ‎ 同理，， ------------------------- 12分 因为，且，，‎ ‎ 所以，， -------------------14分 又因为 ‎ 所以，. ------------------------16分 ‎19. 解：(1)设，由，得，即，‎ ‎ 化简得，，‎ 所以，动点所在曲线的方程为. --------------------6分 ‎(2)①当直线斜率存在时，直线的方程为，设，.‎ ‎ 由得，‎ 故，，，-------------10分 又，， (该步要有推导过程)‎ ‎ 所以，‎ ‎ 设，则，‎ ‎ 所以， -------------------------------‎ ‎ 14分 ‎②当直线斜率不存在时，，，‎ ‎ 所以的最小值为. -----------------------16分 ‎20.(1) 由椭圆离心率为，焦点到相应准线的距离为，得：‎ 解得，，，‎ 所以，求椭圆的方程为. -----------------------4分 ‎(2)设，. 因为点满足，所以，‎ 由得，，即，‎ 又因为，所以，(*) ------------------------- 6分 过点且垂直于的直线的方程为：， ------------------8分 令及(*)，得，‎ 所以，直线经过轴上的一个定点，其坐标为. ----------------------------10分 (1) 由(2)知，，根据四边形知，，， 由(*)得，，‎ ‎ 所以，‎ ‎ ， --------------------12分 ‎ ，‎ ‎ 平方，得，即，解得， ------------------14分 将代入得，，‎ ‎ 所以，所求点的坐标为或. - ---------------------16分 第Ⅱ卷 附加题 ‎21. (1)令得，所以圆心的坐标为，在中，‎ 由余弦定理得圆的半径 ---- --------------5分 ‎(2)设圆上任意一点，如图所示，在中，，‎ 所以，圆的极坐标方程为. --------------------10分 ‎22. 解：因为满足极坐标方程，所以两边同时乘以得，，‎ ‎ 又因为，，所以曲线的直角坐标方程为，‎ ‎ 其圆心坐标为，半径为. ---------------------4分 ‎ 直线的方程为，即. -------------------6分 圆心到直线的距离， ----------------8分 所以，的最小值为，即. ----------------------10分 ‎23.解：(1) 因为展开式中奇数项的二项式系数和为：，‎ 所以， --------------------------2分 故展开式中二项式系数最大的项为，其系数为. --------------4分 ‎(2)由，得，解得，---------6分 设项的系数最大，则解得，‎ 因为，所以或. ---------------------------8分 从而，展开式中系数最大的项为，‎ 其中，. ---------------10分 ‎24.解：(1)点在抛物线上，则，‎ 根据抛物线定义可知，，解得，‎ 所以，抛物线方程为． -------------------- 4分 ‎ (2)设点坐标为，点坐标为，直线的方程为，‎ ‎ 联立方程组，可得，则，‎ ‎ 直线的斜率，‎ 直线的斜率，‎ 因为，所以． ------------------------------10分