2020年高中数学第二章平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2020年高中数学第二章平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

‎2.4.2‎‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．以下选项中，不一定是单位向量的有(　　)‎ ‎①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(，)；③c＝(2x,2－x)；④d＝(1－x，x)．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ ≥≠1，‎ ‎|d|＝＝＝ ≥.故选B.‎ 答案：B ‎2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，设下列结论中正确的是(　　)‎ A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．(a－b)⊥b D．a∥b 解析：因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，‎ 所以|a|＝2，|b|＝，故|a|≠|b|，A错误；‎ a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；‎ 因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确．‎ 因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误．‎ 答案：C ‎3．(2014年高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(‎2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C．3 D. 解析：因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以‎2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．‎ 因为(‎2a－3b)⊥c，‎ 所以(‎2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.‎ 答案：C ‎4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则‎2a＋b与a－b的夹角等于(　　)‎ A．－ B. 5‎ C. D. 解析：‎2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)．‎ a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(‎2a＋b)·(a－b)＝9，‎ ‎|‎2a＋b|＝3，|a－b|＝3，‎ 设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，所以α＝.‎ 答案：C ‎5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别 为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 解析：＝(－1，－3)，＝(3，－1)．∵·＝－3＋3＝0，∴AC⊥A B.‎ 又∵||＝，||＝，∴AC＝AB.∴△ABC为等腰直角三角形．‎ 答案：C ‎6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ 解析：由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，‎ ‎|a＋b|＝＝.‎ 答案：B ‎7．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cos θ＝________.‎ 解析：设b＝(x，y)，则由a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)可得(3x＋2,3y＋1)＝(5,4)，即⇒所以b＝(1,1)，故a·b＝2×1＋1×1＝3且|a|＝＝，|b|＝＝，所以cos θ＝＝＝.‎ 答案： ‎8．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点的坐标为________．‎ 解析：设P(x,0)，所以·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x 5‎ ‎＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，此时P(3,0)．‎ 答案：(3,0)‎ ‎9．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．‎ 解析：设c＝(x，y)，则a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.①‎ 由b·c＝－9，得b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9.②‎ 联立①②得解得∴c的坐标为(3，－2)．‎ ‎10．在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：‎ ‎(1)，的坐标；‎ ‎(2)|－|的值；‎ ‎(3)cos ∠BAC的值．‎ 解析：(1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．‎ ‎(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|－|＝＝2.‎ ‎(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，||＝，||＝，‎ cos ∠BAC＝＝＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．(2014年高考山东卷)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)‎ A．2 B. C．0 D．－ 解析：a·b＝|a||b|cos ，则3＋m＝2··.(＋m)2＝9＋m2，解得m＝.‎ 答案：B ‎2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A. B．2 C．5 D．10‎ 5‎ 解析：依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.‎ 答案：C ‎3．已知a＝(2,1)，b＝(m,6)，向量a与向量b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：因为向量a与向量b的夹角θ是锐角，‎ 所以cos θ＝>0，‎ 所以a·b＝‎2m＋6>0，得m>－3，‎ 又当a与b同向时，＝，所以m＝12.‎ 所以m>－3且m≠12.‎ 答案：m>－3且m≠12‎ ‎4．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值为________．‎ 解析：＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．‎ ‎∵∠C＝90°，即⊥，∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.‎ 答案：5‎ ‎5．已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．‎ 解析：设D点坐标为(x，y)，‎ 则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，‎ ＝(x－3，y－2)，‎ ‎∵D在直线BC上，‎ 即与共线，‎ ‎∴存在实数λ，使＝λ，(0<λ<1)‎ 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．‎ ‎∴，‎ ‎∴x－3＝2(y－2)，‎ 即x－2y＋1＝0.①‎ 又∵AD⊥BC，‎ 5‎ ‎∴·＝0，‎ 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，‎ ‎∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.‎ 即2x＋y－3＝0.②‎ 由①②可得，‎ ‎∴||＝＝，‎ 即||＝，点D的坐标为(1,1)．‎ ‎6．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．‎ ‎(1)当·取最小值时，求的坐标；‎ ‎(2)当点M满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AMB的值．‎ 解析：(1)设＝(x，y)，因为点M在直线OP上，所以向量与共线，又＝(2,1)．‎ ‎∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.‎ ‎∴＝(2y，y)，又＝－，＝(1,7)，‎ ‎∴＝(1－2y,7－y)．‎ 同理＝－＝(5－2y,1－y)．‎ 于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)‎ ‎＝5y2－20y＋12.‎ 由二次函数的知识，可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．‎ ‎(2)当＝(4,2)，即y＝2时，‎ 有＝(－3,5)，＝(1，－1)，‎ ‎||＝，||＝，‎ ·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.‎ cos ∠AMB＝＝＝－.‎ 5‎