2020年高中数学第四章定积分的概念

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2020年高中数学第四章定积分的概念

‎4.5.3 定积分的概念 一、基础达标 ‎1.下列命题不正确的是 ‎(  )‎ A.若f(x)是连续的奇函数,则 ‎ B.若f(x)是连续的偶函数,则 C.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0‎ D.若f(x)在[a,b]上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b]上恒正 答案 D ‎2.直线x=1,x=-1,y=0及曲线y=x3+sin x围成的平面图形的面积可表示为 ‎(  )‎ A. B.2(x3+sin x)dx C. D.(x3+sin x)dx 答案 B ‎3.已知[f(x)+g(x)]dx=18,g(x)dx=10,则f(x)dx等于 ‎(  )‎ A.8 B.‎10 ‎‎ C.18 D.不确定 答案 A ‎4.已知定积分f(x)dx=8,则f(x)为奇函数,则f(x)dx=‎ ‎(  )‎ A.0 B.‎16 ‎‎ C.12 D.8‎ 答案 A ‎5.根据定积分的几何意义,用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积,‎ S=________.‎ 4‎ 答案 [f1(x)-f2(x)]dx(两图积分式相同)‎ ‎6.由定积分的几何意义,定积分sin xdx表示________.‎ 答案 由直线x=0,x=,y=0和曲线y=sin x围成的曲边梯形的面积 ‎7.根据定积分的几何意义推出下列积分的值.‎ ‎(1) xdx;(2) cos xdx.‎ 解 若x∈[a,b]时,f(x)≥0,则f(x)dx的几何意义是表示由直线x=a,x=b y=0和曲线y=f(x)围成的平面图形的面积;若x∈[a,b]时,f(x)≤0,则f(x)dx表示所围成的图形面积的负值.‎ ‎(1)如图①,xdx=-A1+A1=0.‎ ‎(2)如图②,cos xdx=A1-A2+A3=0.‎ 二、能力提升 ‎8.和式++…+,当n→∞时的极限值用定积分式子可表示为 ‎(  )‎ A.dx B.dx C.dx D.dx 4‎ 答案 B ‎9.x2dx=,x2dx=,则x2dx=________.‎ 答案  ‎10.图1,图2用定积分可表示为________,________.‎ 答案 f(x)dx-f(x)dx,f(x)dx ‎11.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为ρ(x)=2x(取细棒所在直线为x轴,细棒的一端为原点),棱长为l,试用定积分表示细棒的质量m,并求出m的值.‎ 解 细棒的质量m=ρ(x)dx=2xdx.而2xdx表示由直线y=2x,x=l,x=0及x轴所围成的图形面积,如图所示.‎ ‎∴2xdx=×l×‎2l=l2.‎ 即m=l2.‎ 三、探究与创新 ‎12.求定积分x2dx的值.‎ 解 将区间[-1,2]等分成n个区间,则每个区间的长度为.‎ 每个小区间的面积ΔSi=(-1+)2.‎ 面积和Sn=(-1+)2 ‎=(1+-) ‎=[n+-×] ‎=3+(1+)(2+)-9(1+)‎ 4‎ 当n→∞时,Sn→3+×2-9=3.‎ ‎∴x2dx=3.‎ 4‎
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