【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业

【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业

‎ 2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课 时作业 ‎1、若某线性方程组对应的增广矩阵是，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是________ ．‎ ‎2、圆：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线，曲线的矩阵对应的变换作用下得到了曲线，则曲线的方程为__________．‎ ‎3、已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为__________． 4、已知，为矩阵的两个特征向量.‎ ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎5、若圆：在矩阵对应的变换下变成椭圆：.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵.‎ ‎6、已知矩阵，.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.‎ ‎7、将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质.‎ ‎（Ⅰ）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：①，②数列是公差为2的等差数列，③数列是公比为的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵.试判断数阵是否具有性质A，并说明理由.‎ ‎8、已知矩阵，向量.‎ ‎（1）求的特征值、和特征向量、；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎9、已知点P(3，1)在矩阵变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵．‎ ‎10、已知矩阵，A的逆矩阵.‎ ‎（1）求a，b的值；（2）求A的特征值.‎ ‎11、直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.‎ ‎(I)求矩阵的逆矩阵；‎ ‎(Ⅱ)求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.‎ ‎12、已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，是非零的平面列向量，，，求矩阵．‎ ‎13、已知矩阵的一个特征值为3，求的另一个特征值．‎ ‎14、已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．‎ ‎15、已知矩阵．‎ ‎（1）求的逆矩阵；‎ ‎（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．‎ ‎16、已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.‎ ‎17、已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．‎ ‎18、[选修4-2：矩阵与变换]‎ 若二阶矩阵满足，.‎ 求曲线在矩阵所对应的变换作用下得到的曲线的方程.‎ ‎19、已知矩阵A＝，满足A＝，求矩阵A的特征值．‎ ‎20、已知矩阵，，求．‎ 参考答案 ‎1、答案：m ≠ ？2‎ 因为方程组有唯一解，所以，即，所以填.‎ ‎2、答案：‎ 分析：‎ 详解：，‎ 设为曲线上任意一点，是圆：上与P对应的点，，得，，‎ 是圆上的点，‎ ‎ 的方程为，即.‎ 故答案为：.‎ 名师点评：本题考查了几种特殊的矩阵变换，体现了方程的数学思想.‎ ‎3、答案：‎ 分析：直接计算即可.‎ 详解：矩阵，‎ 矩阵的逆矩阵.‎ 故答案为：.‎ 名师点评：本题考查了逆矩阵，注意解题方法的积累.‎ ‎4、答案：（1）（2）‎ 试题分析：分析：（1）矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，由求出，，，，即可得到答案；‎ ‎（2），即可求出.‎ 详解：（1）设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则由，得，即，‎ 可解得，，，，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 名师点评：本题考查矩阵乘法的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵变换、矩阵相乘的性质的合理运用. 5、答案：（1），.（2）‎ 试题分析：先根据矩阵运算得，再运用转移法求轨迹与重合得，最后根据逆矩阵公式求得 试题设点为圆C：上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为，‎ 则，所以 因为点在椭圆：上，所以，‎ 又圆方程为，故，即，‎ 又，，所以，．所以，‎ 所以．‎ 考点：逆矩阵 6、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：分析：(1)直接根据逆矩阵公式计算即可(2)由，即解得，即.‎ 详解：(1)由题知，所以，‎ 根据逆矩阵公式,得.‎ ‎(2)设由上的任意一点在作用下得到上对应点.‎ 由，即解得，‎ 因为,所以，‎ 即.‎ 即直线的方程为.‎ 名师点评：(1)逆矩阵计算公式是解第一问关键，要会掌握其运算公式(2)一直线在对应的变换作用下所得直线的方程计算不难，不要算错一般都可以解决. 7、答案：（Ⅰ）（答案不唯一）；（Ⅱ）见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的定义以及“性质”的定义写出即可；（Ⅱ）数阵具有性质A，只需证明，对于任意的，都有，其中用反证明法证明，假设存在，则都大于，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾，假设不成立，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）（答案不唯一）.‎ ‎（Ⅱ）数阵具有性质A.‎ 只需证明，对于任意的，都有，其中.‎ 下面用反证明法证明：‎ 假设存在，则都大于，‎ 即在第列中，至少有个数大于，且.‎ 根据题意，对于每一个，都至少存在一个，‎ 使得，即在第列中，至少有个数小于.‎ 所以，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾.‎ 所以假设不成立.‎ 所以数阵具有性质A.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查矩阵的性质、新定义问题以及反证法的应用，属于中档题.‎ 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 8、答案：(1)当时，解得,当时，解得;(2)见解析.‎ 试题分析：分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；‎ ‎（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为3和-1，然后根据特征向量线性表示出向量，利用矩阵的乘法法则求出，从而即可求出答案.‎ 详解（1）矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得，，‎ 当时，解得；‎ 当时，解得.‎ ‎(2)令，得，求得.‎ 所以 名师点评：考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量. 9、答案：．‎ 试题分析：由列方程求出a和b的值，求得矩阵A,|A|及,由即可求得.‎ 详解：依题意得 所以 所以A＝．‎ 因为|A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，‎ 所以＝．‎ 名师点评：本题主要考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力. ‎ ‎10、答案：（1）a＝1，b＝－；（2）λ1＝1，λ2＝3；‎ 试题分析：‎ 利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和1‎ 试题 则解之得 的特征多项式 令，解之得 的特征值为3和1 11、答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ 试题分析：（I）求出，，即可求矩阵的逆矩阵；‎ ‎（Ⅱ）求出，可得坐标之间的关系，代入方程整理，即可求曲线的方程.‎ ‎（Ⅰ），，.‎ ‎（Ⅱ），，‎ 代入中得：.‎ 故所求的曲线方程为:.‎ 名师点评：本题给出矩阵变换，求曲线在矩阵对应变换作用下得到新的曲线方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识. 12、答案：.‎ 试题分析：先写出方程f（λ）=0得到ab=1，再根据题意令i=2得到λ2的值，从而求得矩阵M.‎ 详解：由题意，是方程的两根 因为，所以 又因为，所以，从而 所以 因为，所以，从而，‎ 故矩阵 名师点评：本题考查简单的矩阵计算，属于基础题. 13、答案：‎ 试题分析：分析：矩阵的特征多项式为,由是方程的一个根可得结果.‎ 详解：矩阵的特征多项式为 因为是方程的一个根，‎ 所以，解得，‎ 由，得或3，所以.‎ 名师点评：本题主要考查矩阵的特征值，意在考查学生对基本概念与性质掌握的熟练程度，属于简单题. ‎ ‎14、答案：-1‎ 试题分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1.‎ 解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.‎ 因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，‎ 所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1.‎ 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.‎ 名师点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值，属于基础题. 15、答案：（1）‎ ‎（2）点P的坐标为(3，–1)‎ 试题分析：分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P点坐标.‎ 详解：（1）因为，，所以A可逆，‎ 从而．‎ ‎（2）设P(x，y)，则，所以，‎ 因此，点P的坐标为(3，–1)．‎ 名师点评：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 16、答案：.‎ 试题分析：先由和求得和求得，从而求得，可得.‎ 试题 由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，‎ ‎，即；‎ 得，‎ 由矩阵属于特征值的一个特征向量为，‎ 可得，即；‎ 得，‎ 解得.即， 17、答案：-1‎ 试题分析：分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1.‎ 解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.‎ 因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，‎ 所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1.‎ 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.‎ 名师点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值，属于基础题. 18、答案：.‎ 试题分析：求出，利用变换的公式求出变换矩阵，然后求出曲线方程 记矩阵，则行列式，‎ 故，所以，‎ 即矩阵.‎ 设曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点.‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 又点在曲线上，代入整理得，‎ 由点的任意性可知，所求曲线的方程为. 19、答案：1或4‎ 试题分析：由矩阵的乘法首先求得实数a，b的值，然后求解矩阵的特征值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵∴‎ 矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得矩阵的特征值为1或4.‎ 名师点评：‎ 本题考查矩阵的乘法运算，矩阵的特征值的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 20、答案：‎ 试题分析：先求出，进而得到.‎ ‎【详解】‎ 易得，‎ 所以．‎ 名师点评：‎ 本题考查矩阵乘积的求法，考查逆矩阵、矩阵与矩阵相交等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． ‎