专题03 立体几何（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校好题精选系列

专题03 立体几何（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校好题精选系列

好题1. 【河南省安阳市2017届高三第二次模拟】北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共层，上底由个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【推荐理由】本题旨在三视图的识读和理解及类比推理思维方法等知识的综合运用，求解时先借助三视图的有关知识识读出，再类比题设中的计算公式并代入计算可求得，使得问题获解.‎ 好题2. 【江西省百校联盟2017届高三2月联考】在底面是菱形的四棱锥中，‎ 底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，延长交的延长线于点，则由可得，又，则，故，应选答案A.‎ ‎【推荐理由】本题旨在考查空间的点线面之间的位置关系与点面距离的计算问题，求解时先运用平面的性质，计算出线段的长度，再求进行求解，从而使得问题获解.‎ 好题3.【贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试（一）】已知球的半径为2，四点均在球 的表面上，且， ，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【推荐理由】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ 好题4.【山东省淄博市2017届高三3月模拟】已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【推荐理由】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键；先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积.‎ 好题5.【2017届贵州省黔东南州高三下学期高考模拟】已知三棱锥中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AC=2,且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球的表面积为 A. 4π B. 8π C. 16π D. 20π ‎【答案】B ‎【解析】因为底面，所以，又因为，所以底面，则，即均为直角三角形，所以该外接球的球心是的中点，外接球的半径为 ‎，表面积为.故选B.‎ ‎【推荐理由】处理球和多面体的组合问题，关键在于确定外接球或内切球的球心，往往将多面体补成长方体进行求解.‎ 好题6.【2017届浙江省温州市高三第二次模拟】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【推荐理由】解答本题的关键是建立空间直角坐标系，将题设中的异面直线所成角这一条件翻译出来，因为这是求解线段长度范围的先决条件与前提，也是解答本题是突破口.求解由于变量较多，因此运用消元思想和整体代换的数学思想，使得问题的求解有章可循，进而获得答案，本题对计算能力要求较高，具有一定的难度.‎ 好题7.【2017届河北省张家口市高三上学期期末】三棱柱中，为等边三角形，平面，，，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【推荐理由】空间中求异面直线所成角的方法有.直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一.‎ 好题8.【2017届山西省临汾一中等五校高三第五次联考】已知三棱锥内接与球，且，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，当三棱锥的体积最大值为 ，即 ，解得： ，点在如图所示的位置时，三棱锥的体积最大，即,并且在如图所示的三角形中，, , ,所以在直角三角形中， ,解得 ,球的表面积为 ,故选B.‎ ‎【推荐理由】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ 好题9.【湖南省2017届高三长郡中学等十三校重点中学第一次联考】已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，且，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【推荐理由】解答本题的难点在于如何找到该几何体的外接球的球心与求出该外接球的半径.求解时充分运用空间想象能力将三棱锥拓展成长方体，进而将长方体的外接球与该三棱锥的外接球进行联系，从而使得问题获解.‎ 好题10.【河北省石家庄市2017届高三第二次质量检】设二面角的大小为45°，点在平面内，点在上，且，则与平面所成的角的大小为__________．‎ ‎【答案】30°‎ ‎【推荐理由】做二面角的平面角主要有：（1）定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）三垂线法：过一个半平面内一点（记为）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为）再做棱的垂线，记垂足为，连接，则即为该二面角的平面角．‎ 好题11.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可得.‎ ‎【推荐理由】本题考查组合体、球的性质、侧面积，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先观察图像可得，从而求得.解决本题的关键是要求考生具有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.‎ 好题12.【河南省安阳市2017届高三第二次模拟】如图，在几何体中，四边形与均为直角梯形，且底面，四边形为正方形，其中，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【推荐理由】立体几何不仅是高中数学的重要内容和知识点，也是高考重点考查的内容之一.解答这类问题的关键是充分借助题设条件，灵活运用空间直线与平面的位置关系的判定定理，以及空间向量的有关知识，进行合理的计算、推理和论证.‎ 好题13.【河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测】如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且.四棱锥的体积为2，点在平面内的正投影为，且在上，点是在线段上，且.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【推荐理由】本题主要考查直线与平面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用，以三棱柱为载体，考查借助空间想象能力、逻辑推证、转化能力、运算能力．线面平行的判定方法一是线面平行的判定定理，二是证面面平行，其解题的关键是在面内找到一线与面外一线平行，或由线面平行导出面面平行，性质的运用一般要利用辅助平面；求二面角通常通过建立空间直角坐标系利用空间夹角公式求解．‎