2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

5.2.1 　三角函数的概念 ( 一 ) 必备知识 · 自主学习 三角函数的定义 ( 单位圆法 ) (1) 定义： 在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角， α∈R ，它的终边 OP 与 _______ 相交于点 P(x ， y) ，那么： __=sin α ； __=cos α ； ___=tan α (x≠0). 单位圆 y x (2) 本质：用单位圆法定义三角函数，是把角与点的坐标有机结合，简单易行，便于记忆，方便运算 . (3) 应用：适用于求任意角的三角函数值，特别是弧度制条件下角的三角函数值 . 【 思考 】 终边在坐标轴的角 α 的三角函数值分别是什么？ 提示： α 终边在 x 轴非负半轴时， sin α=0 ， cos α=1 ， tan α=0 ； α 终边在 y 轴非负半轴时， sin α=1 ， cos α=0 ， tan α 不存在； α 终边在 x 轴非正半轴时， sin α=0 ， cos α=-1 ， tan α=0 ； α 终边在 y 轴非正半轴时， sin α=-1 ， cos α=0 ， tan α 不存在 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1)sin α 表示 sin 与 α 的乘积 . ( 　　 ) (2) 如图所示， sin α=y. ( 　　 ) (3) 终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0. ( 　　 ) 提示： (1)×.sin α 表示角 α 的正弦值，是一个 “ 整体 ” . (2) ×. 图中的圆不是单位圆 . (3) ×. 终边落在 y 轴上的角的正切函数值不存在 . 2.( 教材二次开发：例题改编 ) 已知角 α 的终边上一点 P(5 ， -12) ， 则 sin α= ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为角 α 的终边上一点 P(5 ， -12) ，则 sin α= 3. 已知角 α 的终边经过点 ，则 sin α=_______ ， cos α=_______ ， tan α=_______.  【 解析 】 因为 =1 ， 所以点 在单位圆上，由三角函数的定义知 sin α=- ， cos α=- ， tan α= . 答案： - 　 - 　 关键能力 · 合作学习 类型一　单位圆法求三角函数值 ( 直观想象，数学运算 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 泸州高一检测 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，角 θ 的顶点与原点 O 重 合，它的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边 OP 交单位圆 O 于点 P ， 则 tan θ 的值为 ( 　　 ) 　　 　　　　　 　　　　　 A.- B. C.- D.- 2. 已知 α= ，则 sin α·tan α= ( 　　 ) 3. 设 m<0 ，角 α 的终边与单位圆的交点为 P(-3m ， 4m) ，那么 sin α+2cos α 的值等于 ( 　　 ) 【 解析 】 1. 选 C. 因为平面直角坐标系 xOy 中，角 θ 的顶点与原点 O 重合， 它的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边 OP 交单位圆 O 于点 P ， 所以 tan θ= 2. 选 B. 在平面直角坐标系中，作出 α=∠AOB= ( 如图所示 ) ， 易知 OB 与单位圆相交于点 P 则 sin α= ， tan α=- ， 所以 sin α · tan α=- . 3. 选 A. 因为点 P 在单位圆上， 所以 |OP|=1. 即 =1 ， 解得 m=± . 因为 m<0 ，所以 m=- . 所以点 P 的坐标为 所以 sin α=- ， cos α= . 所以 sin α+2cos α=- +2× = . 【 解题策略 】 单位圆法求三角函数的定义时的注意点 (1) 找点：确定角 α 的终边与单位圆的交点 P(x ， y). (2) 下结论：根据三角函数的定义得 sin α=y ； cos α =x ； tan α = (x≠0). 【 补偿训练 】 　　已知角 α 的终边与单位圆的交点为 (y<0) ， 则 sin αtan α=_______.  【 解析 】 因为 α 的终边与单位圆的交点为 ， 所以 +y 2 =1 ， 即 y 2 = . 又因为 y<0 ， 所以 y=- . 所以 sin α=- ， cos α=- ， tan α= ， 所以 sin αtan α=- 答案： - 类型二　坐标法求三角函数值 ( 数学运算 ) 【 典例 】 已知角 α 的终边过点 P(-3a ， 4a)(a≠0) ，求 2sin α+cos α 的值 . 【 解题策略 】 已知角 α 的终边上一点 P(x ， y) 求三角函数值时， 先求 r =|OP|(O 为原点 ) ， 再根据定义 sin α= ， cos α= ， tan α= 确定三角函数值 . 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论 . 【 跟踪训练 】 (2020· 聊城高一检测 ) 已知角 α 的终边上一点 (1 ， m) ，且 sin α= ， 则 m= ( 　　 ) A.± 　　　 B. C.- D. 【 解析 】 选 B. 由角 α 的终边上一点 (1 ， m) ， 知 r= 所以 sin α= 所以 m>0 ， 解得 m= . 类型三　三角函数概念的综合应用 ( 直观想象，数学运算 ) 角度 1 　三角函数概念的理解  【 典例 】 (2020· 上海高一检测 ) 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P ， Q 从点 A(1 ， 0) 出发在单位圆上运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度， 点 Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 P ， Q 两点在第 2 019 次相遇时，点 P 的 坐标是 ( 　　 ) A.(0 ， 0) 　　 B.(0 ， 1) C.(-1 ， 0) D.(0 ， -1) 【 思路导引 】 1 秒钟两点转的角度之和恰好为 2π ，所以两点每 1 秒相遇一次，第 2 019 次相遇时，用了 2 019 秒 . 【 解析 】 选 B. 因为点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 Q 按顺时针方向每秒钟 转 弧度，两点相遇 1 次的路程是单位圆的周长即 2π ，所以两点相遇一次用了 1 秒， 因此当两点相遇 2 019 次时，共用了 2 019 秒， 所以此时点 P 所转过的角度为 +336π. 由终边相同的角的概念可知， 角与 角的终边相同， 因为 角的终边在 y 轴的非负半轴上， y 轴的非负半轴与单位圆的交点为 (0 ， 1) ， 所以点 P 的坐标为 (0 ， 1). 【 变式探究 】 本例中，若条件不变，求 P ， Q 两点在第 2 021 次相遇时点 P 的坐标 . 【 解析 】 根据典例知， P ， Q 两点相遇 2 021 次时，共用了 2 021 秒， 所以此时点 P 转过的角度为 =336π+ ，所以 角与 角终边相同 . 易知 角的终边与单位圆的交点为 即此时点 P 的坐标为 角度 2 　三角函数概念的综合应用  【 典例 】 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上，求 10sin α+ 的值 . 【 思路导引 】 已知角 α 的终边在一条直线上，需要先讨论角的终边在直线的哪一部分，然后在射线上任取异于原点的一点，最后根据三角函数的概念求解 . 【 解析 】 由题意知， cos α≠0. 设角 α 的终边上任一点为 P(k ， -3k)(k≠0) ，则 x=k ， y=-3k ， r= (1) 当 k>0 时， r= k ， α 是第四象限角， sin α= 所以 10sin α+ (2) 当 k<0 时， r=- k ， α 是第二象限角， sin α= 所以 10sin α+ 综上所述， 10sin α+ =0. 【 解题策略 】 分类讨论的应用 当角的终边在过原点的某一条直线上时，因为角的终边应该是过原点的一条射线，所以要注意将直线从原点处分为两条射线进行讨论 . 【 题组训练 】 1.(2020· 沈阳高一检测 ) 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在射线 y=-2x(x≥0) 上，则 sin α= ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边落在射线 y=-2x(x≥0) 上， 在 α 的终边上任意取一点 (1 ， -2) ， 则 sin α= 2.(2020· 株洲高一检测 ) 圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述 为：质点在以某点为圆心，半径为 r 的圆周上的运动叫“圆周运动” . 如图所 示，圆 O 上的点以点 A 为起点沿逆时针方向旋转到点 P ，若连接 OA ， OP ，形成一 个角 α ，当角 α= 时，则 cos α= ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 角与 角终边相同，三角函数值相等， 所以 cos α=cos =cos = . 3. 已知角 α 的终边在直线 y= x 上，求 sin α ， cos α ， tan α 的值 . 【 解析 】 因为角 α 的终边在直线 y= x 上， 所以可设 P(a ， a)(a≠0) 为角 α 终边上任意一点， 则 r= =2|a|(a≠0). 若 a>0 ，则 α 为第一象限角， r=2a ， 所以 sin α= cos α= 若 a<0 ，则 α 为第三象限角， r=-2a ， 所以 sin α= 【 补偿训练 】 　　已知角 θ 的终边经过点 P(4 ， m) ，且 sin θ= ，则 m=_______.  【 解析 】 角 θ 的终边经过点 P(4 ， m) ， 则 r= 又 sin θ= ，解得 m=3( 负值舍去 ). 答案： 3 课堂检测 · 素养达标 1. 点 A(x ， y) 是 60° 角的终边与单位圆的交点，则 的值为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 tan 60°= ，所以 = . 2. 已知角 α 的终边经过点 (-4 ， 3) ，则 cos α 等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 由题意可知 x=-4 ， y=3 ， r= =5 ， 所以 cos α= 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 某点从 (1 ， 0) 出发，沿单位圆 x 2 +y 2 =1 按逆时针 方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 根据三角函数的概念知点 又因为 4. 代数式 sin 120°cos 210° 的值为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 利用三角函数定义易得 sin 120°= ， cos 210°=- ，所以 sin 120°cos 210°= 5. 已知角 θ 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与射线 y=2x(x≤0) 重合，则 cos θ=_______.  【 解析 】 因为角的终边与射线 y=2x(x≤0) 重合， 所以在终边上取一点 P(-1 ， -2) ， 则 r= 则 cos θ= 答案：