【数学】2020届一轮复习北师大版参数方程作业
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程Error!(t 为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
解析：选 A 由 ρ＝cos θ，得 x2＋y2＝x，∴ρ＝cos θ 表示一个圆．由Error!得到 3x＋y＝－1，
表示一条直线．
2．设 r>0，那么直线 xcos θ＋ysin θ＝r(θ 是常数)与圆Error!(φ 是参数)的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视 r 的大小而定
解析：选 B 圆心到直线的距离 d＝
|0＋0－r|
cos 2θ＋sin 2θ＝|r|＝r，故相切．
3．双曲线Error!(θ 为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选 C 由Error!⇒y 2－
x2
3＝1，两条渐近线的方程是 y＝±
3
3 x，所以两条渐近线所夹的
锐角是 60°.
4．若动点(x，y)在曲线
x2
4＋
y2
b2＝1(b>0)上变化，则 x2＋2y 的最大值为( )
A.Error! B.Error!
C.b2
4 ＋4 D．2b
解析：选 A 设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入 x 2＋2y＝4cos2θ＋2bsin θ＝－(2sin θ－b
2)2
＋4＋
b2
4 ，
当 0
0,故 x 不可取得一切实数,不满足题意.
选项 D 中,同理可知结合正弦函数的有界性可知 x 不能取得一切实数,故不满足题意.
答案:B
9.已知过曲线{푥 = 3cos휃,
푦 = 4sin휃 (θ 为参数,π≤θ≤2π)上一点 P 与原点 O 的直线 PO,倾斜角为π
4,则点 P 的极
坐标为 ( )
A.(3,π
4) B.(3 2
2 ,π
4)
C.( - 12
5 ,π
4) D.(12 2
5 ,5π
4 )
解析:将曲线化成普通方程为푥2
9 + 푦2
16=1(y≥0),与直线 PO:y=x 联立可得点 P 的坐标为( - 12
5 , - 12
5 ).利用
直角坐标与极坐标转化公式即可得到点 P 的极坐标.
答案:D
10.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为{푥 = 푡,
푦 = 4 + 푡(t 为参数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4 2sin(휃 + π
4),则直线 l 和曲线 C 的公共点有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个
答案:B
11.参数方程{푥 = 1
푡,
푦 = 1
푡 푡2 - 1
(t 为参数)所表示的曲线是( )
解析:将参数方程进行消参,则有 t=1
푥,把 t=1
푥代入 y=1
푡 푡2 - 1中得 x2+y2=1,当 x>0 时,y≥0;当 x<0
时,y≤0.对照选项,可知 D 正确.
答案:D
12. 导学号 73144044 参数方程{푥 = 2 + sin2휃,
푦 = -1 + cos2휃(θ 为参数)化成普通方程是( )
A.2x-y+4=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y+4=0,x∈[2,3]
D.2x+y-4=0,x∈[2,3]
解析:∵x=2+sin2θ=5
2 ― cos2휃
2 ,cos 2θ=y+1,
∴x=5
2 ― 푦 + 1
2 ,即 2x+y-4=0.
又∵0≤sin2θ≤1,∴x∈[2,3].故选 D.
答案:D
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知椭圆 C 的参数方程为{푥 = cos휃,
푦 = 2sin휃(θ 为参数),且椭圆 C 经过点(푚,1
2),则 m= ,离心率
e= .
解析:椭圆的参数方程化为普通方程为 x2+푦2
4 =1.
把(푚,1
2)代入,得 m2+
1
4
4=1,得 m=±
15
4 .
∵a=2,b=1,∴c= 22 - 12 = 3,∴e=푐
푎 = 3
2 .
答案:±
15
4 3
2
14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1 为{푥 = 2푠 + 1,
푦 = 푠 (s 为参数),直线 l2 为{푥 = 푎푡,
푦 = 2푡 - 1(t 为参数),若
直线 l1 与 l2 平行,则常数 a 的值为 .
解析:l1 的普通方程为 x=2y+1,l2 的普通方程为 x=a·푦 + 1
2 ,即 x=푎
2y+푎
2,∵l1∥l2,∴2=푎
2.∴a=4.
答案:4
15. 导学号 73144045 若过点 P(-3,3),且倾斜角为5π
6 的直线交曲线{푥 = 2cos휑,
푦 = sin휑 (φ 为参数)
于 A,B 两点,则|AP|·|PB|= .
解析:直线的参数方程为{푥 = -3 + 푡cos5π
6 ,
푦 = 3 + 푡sin5π
6
(t 为参数),依题意得{ -3 -
3
2 푡 = 2cos휑,
3 + 1
2푡 = sin휑,
消去 φ,得 7
16t2+12 + 3 3
4 t+41
4 =0,
设其两根为 t1,t2,则 t1t2=164
7 ,
故|AP|·|PB|=|t1||t2|=|t1·t2|=164
7 .
答案:164
7
16.已知圆 C 的圆心是直线{푥 = 푡,
푦 = 1 + 푡(t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切.则圆 C 的
方程为 .
解析:直线{푥 = 푡,
푦 = 1 + 푡(t 为参数)与 x 轴的交点为(-1,0),
则 r=| - 1 + 3|
12 + 12 = 2,
故圆 C 的方程为(x+1)2+y2=2.
答案:(x+1)2+y2=2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,θ∈[0,π
2].
(1)求曲线 C 的参数方程.
(2)设点 D 在曲线 C 上,曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,
确定点 D 的坐标.
解(1)曲线 C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得曲线 C 的参数方程为{푥 = 1 + cos푡,
푦 = sin푡 (t 为参数,0≤t≤π).
(2)设 D(1+cos t,sin t),由(1)知曲线 C 是以(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,因为曲线 C 在点 D 处的
切线与直线 l 垂直,所以 tan t= 3,t=π
3.
故点 D 的直角坐标为(1 + cosπ
3,sinπ
3),
即(3
2,
3
2 ).
18.(本小题满分 12 分)已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为{푥 = 3 + 2cos휃,
푦 = -4 + 2sin휃(θ 为参数).
(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程;
(2)已知点 A(-2,0),B(0,2),圆 C 上任意一点 M(x,y),求△ABM 面积的最大值.
解(1)圆 C 的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.
所以圆 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.
(2)因为点 M(x,y)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d=|2cos휃 - 2sin휃 + 9|
2 ,
所以△ABM 的面积 S=1
2×|AB|×d
=|2cos θ-2sin θ+9|
=|2 2sin(π
4 - 휃) + 9|.
所以△ABM 面积的最大值为 9+2 2.
19.(本小题满分 12 分)已知直线 l{푥 = 푚 + 푡cos훼,
푦 = 푡sin훼 (t 为参数,α≠kπ,k∈Z)经过椭圆 C{푥 = 2cos휑,
푦 = 3sin휑(φ 为参
数)的左焦点 F.
(1)求 m 的值;
(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|·|FB|的最小值.
解(1)∵椭圆 C{푥 = 2cos휑,
푦 = 3sin휑的普通方程为푥2
4 + 푦2
3 =1,
∴F(-1,0).
直线 l{푥 = 푚 + 푡cos훼,
푦 = 푡sin훼 的普通方程为 y=tan α(x-m),
∵α≠kπ,k∈Z,tan α≠0,
∴0=tan α(-1-m),∴m=-1.
(2)将直线 l 的参数方程{푥 = -1 + 푡cos훼,
푦 = 푡sin훼 代入椭圆 C 的普通方程푥2
4 + 푦2
3 =1 中,并整理,
得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcos α-9=0.
设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2.
则|FA|·|FB|=|t1t2|
= 9
3cos2훼 + 4sin2훼 = 9
3 + sin2훼.
当 sin α=±1 时,|FA|·|FB|取最小值9
4.
20.
(本小题满分 12 分)如图,已知椭圆푥2
16 + 푦2
4 =1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1,B2 的连线分
别交 x 轴于 P,Q 两点.求证:|OP|·|OQ|为定值.
证明设点 M(4cos φ,2sin φ),φ 为参数,B1(0,-2),B2(0,2).
则 MB1 的方程为 y+2=2sin휑 + 2
4cos휑 x=sin휑 + 1
2cos휑 x,
令 y=0,得 x= 4cos휑
sin휑 + 1,
即|OP|=| 4cos휑
sin휑 + 1|.
MB2 的方程为 y-2=2sin휑 - 2
4cos휑 x=sin휑 - 1
2cos휑 x,
令 y=0,得 x= -4cos휑
sin휑 - 1,
即|OQ|=| 4cos휑
sin휑 - 1|.
故|OP|·|OQ|=| 4cos휑
sin휑 + 1|·| 4cos휑
sin휑 - 1|
=|16cos2휑
sin2휑 - 1|=16.
21.(本小题满分 12 分)已知直线 l 为{푥 = 5 + 3
2 푡,
푦 = 3 + 1
2푡
(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|·|MB|的值.
解(1)ρ=2cos θ 等价于 ρ2=2ρcos θ. ①
将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. ②
(2)将{푥 = 5 + 3
2 푡,
푦 = 3 + 1
2푡
代入②,得 t2+5 3t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几
何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
22. 导学号 73144046(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(-1,0),其
倾斜角为 α.以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标
系.设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcos θ+5=0.
(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 a 的取值范围;
(2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.
解(1)将曲线 C 的极坐标方程 ρ2-6ρcos θ+5=0 化为直角坐标方程为 x2+y2-6x+5=0.
直线 l 的参数方程为{푥 = -1 + 푡cos훼,
푦 = 푡sin훼 (t 为参数).
将{푥 = -1 + 푡cos훼,
푦 = 푡sin훼 (t 为参数)代入 x2+y2-6x+5=0 整理得,t2-8tcos α+12=0.
∵直线 l 与曲线 C 有公共点,
∴Δ=64cos2α-48≥0,
∴cos α≥ 3
2 或 cos α≤-
3
2 .
又∵α∈[0,π),∴α 的取值范围是[0,π
6] ∪ [5π
6 ,π).
(2)曲线 C 的方程 x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3)2+y2=4,
其参数方程为{푥 = 3 + 2cos휃,
푦 = 2sin휃 (θ 为参数).
∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点,
∴x+y=3+2cos θ+2sin θ=3+2 2sin(휃 + π
4),
∴x+y 的取值范围是[3-2 2,3+2 2].
