2020高中数学 模块综合测评 新人教A版选修2-2
模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)
1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
B [由题意知，∴m＝0.]
2．演绎推理“ 因为对数函数y＝logax(a>0且a≠ 1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数” 所得结论错误的原因是( )
【导学号：31062245】
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大前提和小前提都错误
A [对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当a>1时是增函数，当0
0，故选项D正确．故选D.]
8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>1，n∈ N*)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时左边需增加的代数式是( ) 【导学号：31062246】
8
A. B.－
C.＋ D.
B [从n＝k到n＝k＋1左边增加了＋减少了，∴需增加的代数式为＋－＝－.]
9．已知结论：“ 在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”. 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，＝2类比＝3，故选C.]
10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
D [由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D.]
11．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点个数为 ( )
图2
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
8
C．n2 D．n
B [第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．]
12．已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则当a＞0时，f(a)和eaf(0)的大小的关系为( )
【导学号：31062247】
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．f(a)≤eaf(0)
B [令g(x)＝e－xf(x)，则g′(x)＝e－x[f′(x)－f(x)]>0.
所以g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，g(a)>g(0)．e－af(a)>e0f(0)，即f(a)>eaf(0)，故选B.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则|a＋bi|＝________.
[解析] 由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi＝1＋2i.
∴|a＋bi|＝＝.
[答案]
14．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是
________．
[解析] 如图所示，S＝
[答案]
15．观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________．
[解析] 左边的式子的通项是1＋＋＋…＋
8
，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.
[答案] 1＋＋＋＋＋＜
16．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)
【导学号：31062248】
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；
③a＝－3，b＞2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
[解析] 令f(x)＝x3＋ax＋b，求导得f ′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f ′(x)
≥0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一个零点，即方程x3＋ax＋b＝0仅有一根，故④⑤正确；当a<0时，若a＝－3，则f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大＝b＋2<0或者f(x)极小＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.
[答案] ①③④⑤
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0用分析法证明：≥.
[证明] 因为a>0，b>0，
要证≥，
只要证，(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立．
18．(本小题满分12分)已知z∈C，且|z|－i＝＋2＋3i(i为虚数单位)，求复数的虚部．
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入方程|z|－i＝＋2＋3i，
得出－i＝x－yi＋2＋3i＝(x＋2)＋(3－y)i，
故有，解得，
8
∴z＝3＋4i，复数＝＝2＋i，虚部为1.
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
【导学号：31062249】
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
[解] (1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m,1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
20．(本小题满分12分) 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则当该商品零售价定为多少元时利润最大，并求出利润的最大值．
[解] 设商场销售该商品所获利润为y元，则
y＝(p－20)(8 300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，
则y′＝－3p2－300p＋11 700.
令y′＝0得p2＋100p－3 900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
则p，y，y′变化关系如下表：
p
(20,30)
30
(30，＋∞)
8
y′
＋
0
－
y
极大值
故当p＝30时，y取极大值为23 000元．
又y＝－p3－150p2＋11 700p－166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.
【导学号：31062250】
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此a的取值范围是(0,1)．
22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
【导学号：31062251】
[解] (1)由S1＝a1＝得a＝1，
8
∵an>0，∴a1＝1.
由S2＝a1＋a2＝得a＋2a2－1＝0.
∴a2＝－1.
由S3＝a1＋a2＋a3＝得a＋2a3－1＝0.∴a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N*)．
证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立．
②假设n＝k时，ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
即ak＋1＝－－＋＝－
∴a＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1时，命题成立，
由①②知，n∈N*，an＝－.
8
