【数学】2019届一轮复习北师大版导 数学案
第 8 练 导 数
[明考情]
导数的考查频率较高，以“一大一小”的格局呈现，小题难度多为中低档.
[知考向]
1.导数的几何意义.
2.导数与函数的单调性.
3.导数与函数的极值、最值.
4.定积分.
考点一 导数的几何意义
要点重组 (1)f′(x0)表示函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率.
(2)f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处切线的斜率.
1.设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋2
3上的任意一点，在点 P 处的切线的倾斜角为 α，则角 α 的取
值范围是( )
A.[2π
3 ，π]B.(π
2，2π
3 ]C.[0，π
2 )∪[2π
3 ，π)D.[0，π
2 )∪[5π
6 ，π)
答案 C
解析 ∵y′＝3x2－ 3，
∴tanα≥－ 3，
∴0≤α＜π
2或2π
3 ≤α＜π.
2.函数 f(x)＝excosx 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A.x＋y＋1＝0B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0D.x－y－1＝0
答案 C
解析 f(0)＝e0cos0＝1，因为 f′(x)＝excosx－exsinx.
所以 f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0，
即 x－y＋1＝0，故选 C.
3.(2017·广州一模)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y
＝0，则点 P 的坐标为( )
A.(0，0) B.(1，－1)C.(－1，1) D.(1，－1)或(－1，1)
答案 D
解析 由题可知 f′(x)＝3x2＋2ax，
则有 f′(x0)＝3x20＋2ax0＝－1，
又切点为(x0，－x0)，可得 x30＋ax20＝－x0，
两式联立解得Error!或Error!
则点 P 的坐标可为(－1，1)或(1，－1).
故选 D.
4.曲线 y＝e－2x＋1 在点(0，2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为______.
答案 1
3
解析 由题意，得 y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x(－2x)′＝－2e－2x，则在点(0，2)处的切线斜率为
k＝－2e0＝－2，
∴切线方程为 y＝－2x＋2.
联立Error!
得 C(2
3，2
3 ).
∴切线与 y＝0 和 y＝x 围成三角形的面积为
S△OBC＝1
2|OB|×2
3＝1
2×1×2
3＝1
3.
5.(2016·全国Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝lnx＋2 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，
则 b＝________.
答案 1－ln2
解析 y＝lnx＋2 的切线为 y＝1
x1·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为 x1).
y＝ln(x＋1)的切线为 y＝ 1
x2＋1x＋ln(x2＋1)－ x2
x2＋1，(设切点横坐标为 x2)
∴Error!
解得 x1＝1
2，x2＝－1
2，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.
考点二 导数与函数的单调性
要点重组 对于在(a，b)内可导的函数 f(x)，若 f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于 0，
则
(1)f′(x)≥0(x∈(a，b))⇔f(x)在(a，b)上为增函数.
(2)f′(x)≤0(x∈(a，b))⇔f(x)在(a，b)上为减函数.
6.(2017·唐山一模)已知函数 f(x)＝lnx－x＋1
x，若 a＝－f(1
3 )，b＝f(π)，c＝f(5)，则( )
A.c
f(π)>f(5)，
∴a>b>c.故选 A.
7.若函数 f(x)＝2x3－3mx2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数 m 的取值范围为( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2]
C.(－∞，5
2) D.(－∞，5
2]
答案 D
解析 ∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0 恒成立，
即 x2－mx＋1≥0 恒成立，∴m≤x＋1
x恒成立.
令 g(x)＝x＋1
x，g′(x)＝1－1
x2，
∴当 x>2 时，g′(x)>0，即 g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋1
2＝5
2，故选 D.
8.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f′(x)满足 f′(x)＞k＞1，则下列结论中
一定错误的是( )
A.f(1
k )＜1
k B.f(1
k )＞ 1
k－1
C.f( 1
k－1 )＜ 1
k－1 D.f( 1
k－1 )＞ k
k－1
答案 C
解析 ∵导函数 f′(x)满足 f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，1
k－1＞0，可构造函数 g(x)
＝f(x)－kx，
可得 g′(x)＞0，故 g(x)在 R 上为增函数，∵f(0)＝－1，
∴g(0)＝－1，∴g( 1
k－1 )＞g(0)，
∴f( 1
k－1 )－ k
k－1＞－1，∴f( 1
k－1 )＞ 1
k－1，∴选项 C 错误，故选 C.
9.(2017·原创押题预测)已知 f′(x)是定义在 R 上的可导函数 f(x)的导数，对任意 x∈R，x≠3
且 x≠－1，都有(x2－2x－3)f′(x)－ex＝0，f(－1)<0，f(－2)0，则下列结论错误
的是( )
A.f(x)的增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)
B.f(x)在 x＝3 处取极小值，在 x＝－1 处取极大值
C.f(x)有 3 个零点
D.f(x)无最大值也无最小值
答案 C
解析 由 x≠3 且 x≠－1，(x2－2x－3)f′(x)－ex＝0 知，f′(x)＝ ex
x2－2x－3，当 x<－1 或 x>3
时，x2－2x－3>0，∴f′(x)>0，当－10 时，xf′(x)－f(x)＜0，则使
得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1，0)
D.(0，1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 因为 f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以 f(1)＝－f(－1)＝0.当 x≠0 时，令 g(x)＝
f(x)
x ，则 g(x)为偶函数，且 g(1)＝g(－1)＝0.则当 x＞0 时，g′(x)＝[f(x)
x ]′＝xf′(x)－f(x)
x2 ＜
0，故 g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当 0＜x＜1
时，g(x)＞g(1)＝0⇔f(x)
x ＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当 x＜－1 时，g(x)＜g(－1)＝0⇔f(x)
x ＜
0⇔f(x)＞0.综上，使得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选 A.
考点三 导数与函数的极值、最值
方法技巧 (1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解.
(2)含参恒成立问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离.
特别提醒 (1)f′(x0)＝0 是函数 y＝f(x)在 x＝x0 处取得极值的必要不充分条件.
(2)函数 f(x)在[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点.
11.(2017·全国Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1
答案 A
解析 函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].
由 x＝－2 是函数 f(x)的极值点，得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，
所以 a＝－1.
所以 f(x)＝(x2－x－1)ex－1，
f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2).
由 ex－1＞0 恒成立，得当 x＝－2 或 x＝1 时，f′(x)＝0，且当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜
x＜1 时，f′(x)＜0；
当 x＞1 时，f′(x)＞0.
所以 x＝1 是函数 f(x)的极小值点.
所以函数 f(x)的极小值为 f(1)＝－1.
故选 A.
12.若函数 f(x)＝ax2
2 －(1＋2a)x＋2lnx(a＞0)在区间 (1
2，1 )内有极大值，则 a 的取值范围是
( )
A.(1
e，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(1，2) D.(2，＋∞)
答案 C
解析 f′(x)＝ax－(1＋2a)＋2
x＝ax2－(2a＋1)x＋2
x (a＞0，x＞0).
若 f(x)在(1
2，1 )内有极大值，
则 f′(x)在(1
2，1 )内先大于 0，再小于 0，
即Error!解得 1＜a＜2.
13.(2017·全国Ⅲ)已知函数 f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x+1)有唯一零点，则 a 等于( )
A.－1
2B.1
3C.1
2D.1
答案 C
解析 方法一 f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x+1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令 t＝x－1，则 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数 g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.
又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得 a＝1
2.故选 C.
方法二 f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x+1≥2 ex－1·e－x + 1＝2，
当且仅当 x＝1 时取“＝”.
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当 x＝1 时取“＝”.
若 a＞0，则 a(ex－1＋e－x+1)≥2a，
要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a＝1，即 a＝1
2.
若 a≤0，则 f(x)的零点不唯一.
故选 C.
14.设函数 f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记 g(x)＝f(x)
x ，若函数 g(x)至少存在一个零点，则实数 m
的取值范围是________.
答案 (－∞，1
e＋e2]
解析 由题意知 m＝
－x3＋2ex2＋lnx
x 有解，
令 h(x)＝－x2＋2ex＋lnx
x (x＞0)，
则 h′(x)＝－2(x－e)＋1－lnx
x2 ，
∴当 0＜x＜e 时，h′(x)＞0，
当 x＞e 时，h′(x)＜0，
∴h(x)max＝h(e)＝1
e＋e2，
∴m≤1
e＋e2.
15.已知 f(x)＝x3－3x＋3－x
ex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，∃x1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得 f(x1)≤g(x2)
成立，则实数 a 的取值范围是______________.
答案 [10－1
e，＋∞)
解析 ∃x1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得 f(x1)≤g(x2)成立，等价于 f(x)min≤g(x)min，f′(x)＝3x2
－3＋x－1
ex ＝(x－1)(3x＋3＋1
ex)，故当 x∈(0，1)时，f′(x)<0；
当 x∈(1，2)时，f′(x)>0，故 f(x)min＝f(1)＝1－1
e；
当 x＝2 时，g(x)取得最小值 g(2)＝a－9，
所以 1－1
e≤a－9，即实数 a 的取值范围是 a≥10－1
e.
考点四 定积分
要点重组 微积分基本定理：
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么 ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a).
16.(2017·凉山州模拟)ʃ e1(x＋1
x )dx 等于( )
A.e2B.e2＋1
2 C.e2－1
2 D.e2＋3
2
答案 B
解析 ʃe1(x＋1
x )dx＝(1
2x2＋lnx)|e1＝(1
2e2＋1)－(1
2＋0 )＝e2＋1
2 .
17.设 f(x)＝Error!则 ʃ 2－1f(x)dx 的值为( )
A.π
2＋4
3B.π
2＋3C.π
4＋4
3D.π
4＋3
答案 A
解析 根据定积分性质，
可得 ʃ 2－1f(x)dx＝ʃ 1－1( 1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx，
根据定积分的几何意义，ʃ 1－1( 1－x2)dx 是以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的1
2，
∴ʃ 1－1( 1－x2)dx＝π
2，
∴ʃ 2－1f(x)dx＝π
2＋(1
3x3－x)|21＝π
2＋4
3.
18.若 f(x)＝x2＋2ʃ10f(x)dx，则 ʃ10f(x)dx 等于( )
A.－1B.－1
3C.1
3D.1
答案 B
解析 ʃ10f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃ10[2ʃ10f(x)dx]dx＝1
3x3|10＋[2ʃ10f(x)dx]x|10＝1
3＋2ʃ10f(x)dx，
∴ʃ10f(x)dx＝－1
3.故选 B.
19.曲线 y＝cosx (0 ≤ x ≤ 3π
2 )与 x 轴所围图形的面积为( )
A.4B.2C.5
2D.3
答案 D
解析 曲线 y＝cosx (0 ≤ x ≤ 3π
2 )与 x 轴所围图形的面积为
20.由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )
A.10
3 B.4C.16
3 D.6
答案 C
解析 如图，作出 y＝ x和 y＝x－2 的图象易得 A(0，－2).
由Error!得其交点坐标为 B(4，2).
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
ʃ40[ x－(x－2)]dx＝ʃ40( x－x＋2)dx
＝(2
3－1
2x2＋2x)|40＝2
3×8－1
2×16＋2×4＝16
3 .
1.已知 f(x)＝lnx，g(x)＝1
2x2＋mx＋7
2(m<0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)
图象的切点为(1，f(1))，则 m 等于( )
A.－1B.－3C.－4D.－2
答案 D
π 3π π 3π
2 2 2 2
π 0 π0
2 2
cos d cos d sin | sin | 3.S x x x x x x= − = − =∫ ∫
解析 ∵f′(x)＝1
x，
∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1.
又 f(1)＝0，∴切线 l 的方程为 y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝1
2x20＋mx0＋7
2(m<0)，
于是解得 m＝－2.故选 D.
2.(2016·全国Ⅰ)若函数 f(x)＝x－1
3sin2x＋asinx 在(－∞，＋∞)上单调递增，则 a 的取值范围
是( )
A.[－1，1]B.[－1，1
3]C.[－1
3，1
3]D.[－1，－1
3]
答案 C
解析 方法一 (特殊值法)：不妨取 a＝－1，
则 f(x)＝x－1
3sin 2x－sin x，
f′(x)＝1－2
3cos 2x－cos x，但 f′(0)＝1－2
3－1＝－2
3<0，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增，
排除 A，B，D.故选 C.
方法二 (综合法)：∵函数 f(x)＝x－1
3sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝1－2
3cos 2x＋acos x＝1－2
3(2cos2x－1)＋acos x
＝－4
3cos2x＋acos x＋5
3≥0，即 acos x≥4
3cos2x－5
3在(－∞，＋∞)上恒成立.
当 cos x＝0 时，恒有 0≥－5
3，得 a∈R；
当 00，f(x)为增函数；当－11 时，f′(x)>0，f(x)为
增函数.故选项 B 的图象符合.
2.函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A.(－∞，2) B.(0，3)
C.(1，4) D.(2，＋∞)
答案 D
解析 函数 f(x)＝(x－3)ex 的导函数为 f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.
由函数导数与函数单调性的关系，得当 f′(x)>0 时，函数 f(x)单调递增，
此时由不等式 f′(x)＝(x－2)ex>0，解得 x>2.
3.(2017·绵阳模拟)已知函数 f(x)＝1
3x3－1
2mx2＋4x－3 在区间[1，2]上是增函数，则实数 m 的
取值范围为( )
A.4≤m≤5 B.2≤m≤4
C.m≤2 D.m≤4
答案 D
解析 函数 f(x)＝1
3x3－1
2mx2＋4x－3，
可得 f′(x)＝x2－mx＋4，函数 f(x)＝1
3x3－1
2mx2＋4x－3 在区间[1，2]上是增函数，可得 x2－mx
＋4≥0 在区间[1，2]上恒成立，
可得 m≤x＋4
x，x＋4
x≥2 x·4
x＝4，当且仅当 x＝2 时取等号，可得 m≤4.
4.若函数 f(x)＝(x＋1)·ex，则下列命题正确的是( )
A.对任意 m<－1
e2，都存在 x∈R，使得 f(x)－1
e2，都存在 x∈R，使得 f(x)－1
e2，方程 f(x)＝m 总有两个实根
答案 B
解析 ∵f′(x)＝(x＋2)·ex，
∴当 x>－2 时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当 x<－2 时，f′(x)<0，f(x)为减函数.∴f(－2)＝－ 1
e2为 f(x)的最小值，即 f(x)≥－ 1
e2(x∈R)，
故 B 正确.
5.(2017·鹰潭一模)函数 f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为 f′(x)，且满
足 xf′(x)＋2f(x)＞0，则不等式
(x＋2018)f(x＋2018)
5 ＜ 5f(5)
x＋2018的解集为( )
A.{x|x＞－2013}
B.{x|x＜－2013}
C.{x|－2013＜x＜0}
D.{x|－2018＜x＜－2013}
答案 D
解析 构造函数 g(x)＝x2f(x)，
则 g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)].
当 x＞0 时，∵2f(x)＋xf′(x)＞0，
∴g′(x)＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
∵不等式
(x＋2018)f(x＋2018)
5 ＜ 5f(5)
x＋2018，
∴当 x＋2018＞0，即 x＞－2018 时，
∴(x＋2018)2f(x＋2018)＜52f(5)，
∴g(x＋2018)＜g(5)，
∴x＋2018＜5，
∴－2018＜x＜－2013.
6.设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R 有大于零的极值点，则( )
A.a<－1 B.a>－1
C.a>－1
e D.a<－1
e
答案 A
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数 y＝ex＋ax 有大于零的极值点，
则方程 y′＝ex＋a＝0 有大于零的解.
∵当 x>0 时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
7.(2017·贵阳一模)函数曲线 y＝ 与 y＝x2 所围成的封闭区域的面积为( )
A.1
3B. 5
12C.4
5D.5
2
答案 A
解析 函数曲线 y＝ 与 y＝x2 所围成的封闭区域的面积为 ʃ10( x－x2)dx＝(2
3－1
3x3)|10＝1
3.
8.(2017·原创押题预测)若对∀x>0，不等式 ln(1＋x)－x＋x2＋2x＋a
x＋2 >1(a∈R)恒成立，则 a 的
取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
答案 C
解析 若对∀x>0，不等式 ln(1＋x)－x＋x2＋2x＋a
x＋2 >1 (a∈R)恒成立，则 ln(1＋x)＋ a
x＋2>1 恒
成立，即 a>(x＋2)[1－ln(1＋x)]恒成立，令 h(x)＝(x＋2)[1－ln(1＋x)]，则 h′(x)＝1－ln(1＋x)
－x＋2
x＋1＝－ln(1＋x)－ 1
x＋1.当 x>0 时，显然 h′(x)＝－ln(1＋x)－ 1
x＋1<0，
所以 h(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以当 x>0 时，h(x)0，若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图形的面积为 a，则 a＝______.
答案 9
4
解析 S＝ʃa0 xdx＝2
3 |a0＝2
3 ＝a，∴a＝9
4.
11.若在区间[0，1]上存在实数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立，则 a 的取值范围是________.
答案 (－∞，1)
解析 2x(3x＋a)<1 可化为 a<2－x－3x，
则在区间[0，1]上存在实数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立等价于 a<(2－x－3x)max，而 2－x－3x 在[0，1]
上单调递减，
∴2－x－3x 的最大值为 20－0＝1，∴a<1，
故 a 的取值范围是(－∞，1).
12.(2017·原创押题预测)已知函数 f(x)＝(kx＋1
3)ex－x，若 f(x)<0 的解集中只有一个正整数，
则实数 k 的取值范围为______________.
答案 [1
e2－1
6，1
e－1
3)
解析 由 f(x)<0，即 (kx＋1
3)ex－x<0，即 kx＋1
30，当 x>1 时，g′(x)<0，所以 g(x)在(－∞，1)上单调递增，在
(1，＋∞)上单调递减，所以 g(x)max＝g(1)＝1
e，
由图可知，kx＋1
3
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