高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4-4幂函数课件新人教B版必修第二册

高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4-4幂函数课件新人教B版必修第二册

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.4　幂函数 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 必备知识 · 探新知 形如 __ __ __ __ __ 的函数称为幂函数，其中 α 是常数． 思考： (1) 幂函数的解析式有什么特征？ (2) 幂函数与指数函数解析式的区别是什么？ 提示： (1) ① 系数为 1 ； ② 底数为 x 自变量； ③ 指数为常数． (2) ① 自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数． ② 底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数． 幂函数的概念 知识点 一 y ＝ x α 　 (1) 所有幂函数在区间 (0 ，＋∞ ) 上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过 (1,1) ． (2) 如果 α ＞ 0 ，则幂函数的图像通过原点，并且在区间 [0 ，＋∞ ) 上是增函数． (3) 如果 α ＜ 0 ，则幂函数在区间 (0 ，＋∞ ) 上是减函数，且在第一象限内：当 x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方且无限地逼近 y 轴；当 x 趋向于＋∞时，图像在 x 轴上方且无限地逼近 x 轴． 幂函数共同的性质 知识点 二 思考： 当 α ＜ 0 时，幂函数的图像是否过原点？ 提示： α ＜ 0 时， y ＝ x α 在 x ＝ 0 时无意义，图像不过原点． 关键能力 · 攻重难 幂函数的概念 题型探究 题型 一 典例剖析 典例 1 C 　 5 或－ 1 　 [ 分析 ] 　 (1) 根据幂函数的定义去判断，只有形如 y ＝ x α 的函数才是幂函数． (2) 根据幂函数的特征，系数等于 1 求解． 规律方法：判断一个函数是否为幂函数的方法 (1) 幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种 “ 形式定义 ” 的函数，也就是说必须完全具备 y ＝ x α ( α ∈ R ) 结构特征的函数才是幂函数． (2) 如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断． 对点训练 B 　 B 　 幂函数的图像及应用 题型 二 典例剖析 典例 2 B 　 (2) 已知函数 f ( x ) ＝ x k ( k 为常数 ) ，在下列函数图像中，不是函数 y ＝ f ( x ) 的图像的是 ( 　　 ) [ 分析 ] 　 (1) 根据各个函数的图像特征选取． (2) 根据幂函数图像所在的象限判断． C 　 2 ．在同一坐标系中，函数 f ( x ) ＝ x a ( x ＞ 0) ， g ( x ) ＝ log a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 的图像可能是 ( 　　 ) 对点训练 D 　 [ 解析 ] 　 对 A ，没有幂函数的图像；对 B ， f ( x ) ＝ x a ( x ＞ 0) 中 a ＞ 1 ， g ( x ) ＝ log a x 中 0 ＜ a ＜ 1 ，不符合题意；对 C ， f ( x ) ＝ x a ( x ＞ 0) 中 0 ＜ a ＜ 1 ， g ( x ) ＝ log a x 中 a ＞ 1 ，不符合题意；对 D ， f ( x ) ＝ x a ( x ＞ 0) 中 0 ＜ a ＜ 1 ， g ( x ) ＝ log a x 中 0 ＜ a ＜ 1 ，符合题意． 幂函数性质的应用 题型 三 典例剖析 典例 3 A 　 角度 2 　探究幂函数的图像及性质 　　　　讨论函数 y ＝ x － 2 的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性． 典例 4 因此函数 y ＝ x － 2 是偶函数，因此函数图像关于 y 轴对称．通过列表描点，可以先画出 y ＝ x － 2 在 x ∈ (0 ， ＋ ∞ ) 时的函数图像，再根据对称性，作出它在 x ∈ ( － ∞， 0) 时的图像，如图所示． 由图像可以看出，函数 y ＝ x － 2 在区间 (0 ， ＋ ∞ ) 上是单调递减函数，在 ( － ∞， 0) 上是单调递增函数． 规律方法： 1. 关于指数式比较大小 (1) 变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小． (2) 变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小． 2 ． 关于函数图像、性质的探究 (1) 探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究． (2) 几点说明： ① 奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇遇性的函数可先描点作出 y 轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像； ② 作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确； ③ 此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习． 对点训练 A 　 典例剖析 典例 5 易错警示 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能