2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

‎6.1　幂函数 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象．(重点)‎ ‎2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)‎ ‎3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养．‎ 经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：‎ 价格/元 ‎0.6‎ ‎0.65‎ ‎0.7‎ ‎0.75‎ ‎0.8‎ ‎0.85‎ ‎0.9‎ 需求量/t ‎1.216‎ ‎1.179‎ ‎1.146‎ ‎1.117‎ ‎1.089‎ ‎1.064‎ ‎1.041‎ 根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？‎ ‎1．幂函数的概念 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎2．幂函数的图象和性质 - 8 -‎ ‎3．在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)幂函数的图象不经过第四象限． (　　)‎ ‎(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点． (　　)‎ ‎(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． (　　)‎ ‎[提示]　(1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．‎ ‎(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．‎ ‎(3)y＝x，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝　　　　．‎ ‎3　[由题意得所以m＋n＝3．]‎ ‎3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝　　　　．‎ ‎－8　[8＝2α，所以α＝3，‎ 所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8．]‎ 幂函数的概念 ‎【例1】　已知y＝(m2＋‎2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．‎ ‎[思路点拨]　由幂函数的定义列式求解．‎ - 8 -‎ ‎[解]　由题意得解得 ‎∴m＝－3，n＝为所求．‎ ‎1．幂函数y＝xα满足的三个特征 ‎(1)幂xα前系数为1；‎ ‎(2)底数只能是自变量x，指数是常数；‎ ‎(3)项数只有一项．‎ ‎2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α．‎ ‎1．下列函数是幂函数的有　　　　．(填序号)‎ ‎①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝x．‎ ‎③⑥　[根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]‎ ‎2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过，则f(100)＝　　　　 ．‎ 　[由题知2α＝＝2，∴α＝－．‎ ‎∴f(x)＝x，‎ ‎∴f(100)＝100＝＝．]‎ 比较大小 ‎【例2】　比较下列各组数中两个数的大小：‎ ‎(1)与；(2)与；‎ ‎(3)0.25与6.25；(4)1.20．6与0.30．4；‎ ‎(5)(－3)与(－2)．‎ ‎[思路点拨]　可以借助幂函数y＝x2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．‎ ‎[解]　(1)∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且>，‎ ‎∴>．‎ ‎(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，‎ - 8 -‎ 且－<－，‎ ‎∴>．‎ ‎(3)0.25＝＝2，‎ ‎6.25＝2.5．‎ ‎∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2<2．5，‎ ‎∴2<2．5，即0．25<6．25．‎ ‎(4)由幂函数的单调性，知1．20．6>10．6＝1,0．30．4<10．4＝1，从而0．30．4<1．20．6．‎ ‎(5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0，‎ 所以(－3) >(－2)．‎ 比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：‎ ‎(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；‎ ‎(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．‎ ‎3．比较下列各组中两个数的大小：‎ ‎(1)3，3.1；‎ ‎(2)a1．5，(a＋1)1．5(a＞0)；‎ ‎(3)(－0.88)，0.89．‎ ‎[解]　(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)内是减函数，所以3＞3.1．‎ ‎(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，‎ 所以(a＋1)1．5＞a1．5．‎ ‎(3)函数y＝x为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，‎ 所以(－0．88)＝ 0．88<0．89．‎ ‎【例3】　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：‎ ‎(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；‎ ‎(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；‎ ‎(3)当x∈(0,1)时，f(x)0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．‎ ‎(2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．‎ ‎3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 ‎(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；‎ ‎(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．‎ ‎4．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)‎ A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c - 8 -‎ ‎(2)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)‎ A　　　　B　　　　C　　　　D ‎(1)B　(2)B　[(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．‎ 在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．‎ ‎(2)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B．]‎ 幂函数的图象与性质的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．幂函数y＝x的图象应该怎么作？‎ ‎[提示]　①因为0<<1，故幂函数y＝x＝的定义域为R，且为偶函数，‎ ‎②函数y＝x在第一象限的图象恒过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．‎ ‎③利用偶函数的图象关于y轴对称，得到第二象限的图象．(图略)‎ ‎2．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？‎ ‎[提示]　①先求定义域，判定函数的奇偶性；‎ ‎②再看α，按α<0，α>0来分类确定在第一象限的图象的形状；‎ ‎③结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．‎ ‎3．作出y＝x的图象(草图)，并说明若x>y时，x，y与0的大小关系有多少种？‎ ‎[提示]　y＝x在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，‎ 从图象可以看出，若x>y，则有以下情况：‎ ‎①00>y．‎ ‎【例4】　已知幂函数y＝x‎3m－9(m∈N*)的图象关于y - 8 -‎ 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1) <(3－‎2a) 的a的取值范围．‎ ‎[思路点拨]　→→→→→ ‎[解]　∵函数在(0，＋∞)上递减，‎ ‎∴‎3m－9<0，解得m<3．‎ 又m∈N*，∴m＝1,2．‎ 又函数图象关于y轴对称，∴‎3m－9为偶数，故m＝1．‎ ‎∴有(a＋1) <(3－‎2a) ．‎ ‎∵y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，‎ ‎∴a＋1>3－‎2a>0或0>a＋1>3－‎2a，或a＋1<0<3－‎2a，解得x，则x的取值范围是　　　　．‎ ‎(－∞，0)∪(1，＋∞)　[作出函数y＝x2和y＝x的图象(如图所示)，易得x<0或x>1．]‎ ‎1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，只有一项，系数为1．‎ - 8 -‎ ‎2．简单幂函数的图象与性质的探究策略 ‎(1)先求幂函数的定义域，若对称，判定其奇偶性(一定具有奇偶性)．‎ ‎(2)研究幂函数位于第一象限的图象与性质 ‎①α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)上是增函数．‎ ‎②α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．‎ ‎(3)结合幂函数的奇偶性，得到第三或第二象限的图象与性质，幂函数的图象一定不经过第四象限．‎ ‎1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)‎ A．y＝x－3 B．y＝－x3‎ C．y＝2x3 D．y＝x3－1．‎ A　[幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数．]‎ ‎2．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，)，则f(4)的值是　　　．‎ ‎2　[将点(2，)代入幂函数可得f(2)＝2α＝，解得α＝，即幂函数为f(x)＝x，可得f(4)＝4＝2．]‎ ‎3．下列幂函数中，过点(0,0)，(1,1)且为偶函数的是　　．(填序号)‎ ‎(1)y＝x；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3．‎ ‎(2)　[(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]‎ ‎4．比较下列各组数的大小：‎ ‎(1)3与3.1；‎ ‎(2)4.1，3.8，(－1.9)．‎ ‎[解]　(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，‎ 又3<3．1，所以3>3．1．‎ ‎(2)4.1>1＝1,0<3.8<1＝1，而(－1.9) <0，所以4.1>3.8>(－1．9)．‎ - 8 -‎