【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版1-4基本不等式作业

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课时跟踪检测（四） 基本不等式 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．函数 f(x)＝ x x＋1 的最大值为( ) A.2 5 B.1 2 C. 2 2 D．1 解析：选 B 显然 x≥0.当 x＝0 时，f(x)＝0；当 x>0 时，x＋1≥2 x，∴f(x)≤1 2 ，当且 仅当 x＝1 时取等号，f(x)max＝1 2. 2，若 a，b∈R，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a＋b| 2 ≥ |ab| B.b a ＋a b ≥2 C.a2＋b2 2 ≥ a＋b 2 2 D．(a＋b) 1 a ＋1 b ≥4 解析：选 C 由于 a，b∈R，所以 A、B、D 项不能直接运用基本不等式考察，先考虑 C 项． ∵ a2＋b2 2 － a＋b 2 2 ＝ 2a2＋b2－a2＋2ab＋b2 4 ＝ a2－2ab＋b2 4 ＝ a－b2 4 ≥0 ， ∴ a2＋b2 2 ≥ a＋b 2 2. 3．(2018·东北三省四市一模)已知 x>0，y>0，且 4x＋y＝xy，则 x＋y 的最小值为( ) A．8 B．9 C．12 D．16 解析：选 B 由题意可得4 y ＋1 x ＝1，则 x＋y＝(x＋y)· 4 y ＋1 x ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋2 4x y ×y x ＝ 9，当且仅当4x y ＝y x ，即 x＝3，y＝6 时等号成立，故 x＋y 的最小值为 9. 4．已知 x，y 都为正实数，且 x＋y＋1 x ＋1 y ＝5，则 x＋y 的最大值是( ) A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 解析：选 C 因为 x＋y＋1 x ＋1 y ＝x＋y＋x＋y xy ≥x＋y＋ x＋y x＋y 2 2 ＝x＋y＋ 4 x＋y ，所以 x＋y ＋ 4 x＋y ≤5.令 x＋y＝t.则 t2－5t＋4≤0，解得 1≤t≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若 x，y 均为正数，则3x y ＋12y x ＋13 的最小值是( ) A．24 B．28 C．25 D．26 解析：选 C 因为 x，y 均为正数，所以由基本不等式得3x y ＋12y x ＋13≥2 3x y ·12y x ＋13 ＝25，当且仅当 x＝2y 时等号成立，故3x y ＋12y x ＋13 的最小值是 25，故选 C. [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·郑州外国语学校月考)若 a>b>1，P＝ lg a·lg b，Q＝1 2(lg a＋lg b)，R＝lg a＋b 2 ， 则( ) A．Rb>1，∴lg a>lg b>0，1 2(lg a＋lg b)> lg a·lg b，即 Q>P.∵a＋b 2 > ab， ∴lg a＋b 2 >lg ab＝1 2(lg a＋lg b)，即 R>Q，∴P0，y>0，则“x＋2y＝2 2xy”的一个充分不必要条件 是( ) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2 且 y＝1 D．x＝y 或 y＝1 解析：选 C ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2 2xy，当且仅当 x＝2y 时取等号．故“x＝2 且 y＝1”是“x＋2y＝2 2xy”的充分不必要条件，故选 C. 3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为 2，若 aman＝4a22，则 2 m ＋ 1 2n 的最 小值为( ) A．1 B.1 2 C.3 4 D.3 2 解析：选 C 由题意知 aman＝a212m＋n－2＝4a2122＝a2124， ∴m＋n＝6，则2 m ＋ 1 2n ＝1 6 2 m ＋ 1 2n (m＋n)＝1 6 5 2 ＋2n m ＋m 2n ≥1 6 × 5 2 ＋2 ＝3 4 ， 当且仅当 m＝2n 时取等号， ∴2 m ＋ 1 2n 的最小值为3 4 ，故选 C. 4．(2019·岳阳一中模拟)已知 a>b>0，则 2a＋ 4 a＋b ＋ 1 a－b 的最小值为( ) A．6 B．4 C．2 3 D．3 2 解 析 ： 选 A 因 为 4 a＋b ＋ 1 a－b ＝ 1 2a 4 a＋b ＋ 1 a－b · [a＋b＋a－b] ＝ 1 2a 5＋a＋b a－b ＋4a－b a＋b ≥ 1 2a(5＋4)＝ 9 2a(当且仅当 a＝3b 时取等号)，所以 2a＋ 4 a＋b ＋ 1 a－b ≥2a ＋ 9 2a ≥6(当且仅当 a＝3 2 时后一个不等式取等号)，故选 A. 5．(2019·甘肃诊断)已知向量 a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且 a∥b，若 x，y 均为正数， 则3 x ＋2 y 的最小值是( ) A.5 3 B.8 3 C．8 D．24 解析：选 C 因为 a∥b，故 3(y－1)＝－2x，整理得 2x＋3y＝3，所以3 x ＋2 y ＝1 3(2x＋ 3y) 3 x ＋2 y ＝1 3 12＋9y x ＋4x y ≥1 3 12＋2 9y x ·4x y ＝8，当且仅当 x＝3 4 ，y＝1 2 时等号成立，所 以3 x ＋2 y 的最小值为 8，故选 C. 6．若实数 a，b，c 满足 a2＋b2＋c2＝8，则 a＋b＋c 的最大值为( ) A．9 B．2 3 C．3 2 D．2 6 解析：选 D (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc. ∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc， ∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24， 当且仅当 a＝b＝c 时取等号， ∴a＋b＋c≤2 6. 7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S8－2S4＝5，则 a9 ＋a10＋a11＋a12 的最小值为( ) A．10 B．15 C．20 D．25 解析：选 C 由题意可得 a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由 S8－2S4＝5 可得 S8－S4＝S4 ＋5，由等比数列的性质可得 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列，则 S4(S12－S8)＝(S8－S4)2， 综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝S4＋52 S4 ＝S4＋25 S4 ＋10≥2 S4×25 S4 ＋10＝20，当且 仅当 S4＝5 时等号成立．故 a9＋a10＋a11＋a12 的最小值为 20. 8．(2019·赣州月考)半圆的直径 AB＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，B 的任意一 点，若 P 为半径 OC 上的动点，则( PA―→＋ PB―→ )· PC―→的最小值是( ) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：选 D ∵O 为 AB 的中点， ∴ PA―→＋ PB―→＝2 PO―→，从而( PA―→＋ PB―→ )· PC―→＝2 PO―→ · PC―→＝－2| PO―→ |·| PC―→ |. 又| PO―→ |＋| PC―→ |＝| OC―→ |＝1 2AB＝2≥2 | PO―→ |·| PC―→ |， ∴| PO―→ |·| PC―→ |≤1， ∴－2| PO―→|·| PC―→|≥－2， ∴当且仅当| PO―→ |＝| PC―→ |＝1， 即 P 为 OC 的中点时，( PA―→＋ PB―→ )· PC―→取得最小值－2，故选 D. 9．(2019·玉溪月考)在△ABC 中，若 a2＋b2＝2c2，则内角 C 的最大值为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.2π 3 解析：选 C ∵a2＋b2＝2c2， ∴由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ≥a2＋b2－c2 a2＋b2 ＝2c2－c2 2c2 ＝1 2 ，当且仅当 a＝b 时取等号． ∵C 是三角形的内角，∴角 C 的最大值为π 3 ，故选 C. 10．(2019·淮安学情调研)已知正数 x，y 满足 x＋2y＝3，则y x ＋1 y 的最小值为________． 解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴y x ＋1 y ＝y x ＋ x＋2y 3 y ＝y x ＋ x 3y ＋2 3 ≥2 y x· x 3y ＋2 3 ＝2 3＋2 3 ， 当且仅当y x ＝ x 3y 即 x＝6 3－9，y＝6－3 3时等号成立，∴y x ＋1 y 的最小值为2 3＋2 3 . 答案：2 3＋2 3 11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数 m，n 满足 2m＋n＋6＝mn，则 mn 的最小值是 ________． 解析：由 2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得 2 2mn＋6≤2m＋n＋6＝mn，令 2mn＝t(t>0)， 则 2t＋6≤t2 2 ，即 t2－4t－12≥0，解得 t≤－2(舍)或 t≥6，即 2mn≥6，mn≥18，则 mn 的 最小值是 18. 答案：18 12．(2019·张掖月考)设 a>0，b>1，若 a＋b＝2，则3 a ＋ 1 b－1 的最小值为________． 解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2， ∴3 a ＋ 1 b－1 ＝ 3 a ＋ 1 b－1 (a＋b－1) ＝3＋3b－1 a ＋ a b－1 ＋1 ＝4＋3b－1 a ＋ a b－1 ≥4＋2 3， 当3b－1 a ＝ a b－1 ， 即 a＝3－ 3 2 ，b＝ 3＋1 2 时取等号， 故最小值为 4＋2 3. 答案：4＋2 3 13．(2019·石家庄高三一检)已知直线 l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则 a＋b 的最小值为________． 解析：因为直线 l 经过点(2,3)，所以 2a＋3b－ab＝0， 所以 b＝ 2a a－3 >0，所以 a－3>0， 所以 a＋b＝a＋ 2a a－3 ＝a－3＋ 6 a－3 ＋5≥5＋2 a－3· 6 a－3 ＝5＋2 6， 当且仅当 a－3＝ 6 a－3 ， 即 a＝3＋ 6，b＝2＋ 6时等号成立． 答案：5＋2 6 14．(2018·唐山二模)已知 a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1. (1)求证：a＋b≤2； (2)判断等式 ac＋ bd＝c＋d 能否成立，并说明理由． 解：(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3 a＋b 2 2＋1，当且仅当 a＝b 时取等号． 解得(a＋b)2≤4，又 a，b>0， 所以 a＋b≤2. (2)不能成立． 理由：由均值不等式得 ac＋ bd≤a＋c 2 ＋b＋d 2 ，当且仅当 a＝c 且 b＝d 时等号成立． 因为 a＋b≤2， 所以 ac＋ bd≤1＋c＋d 2 . 因为 c>0，d>0，cd>1， 所以 c＋d＝c＋d 2 ＋c＋d 2 ≥c＋d 2 ＋ cd>c＋d 2 ＋1≥ ac＋ bd，故 ac＋ bd＝c＋d 不能成 立． 15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L)与速度 x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为 y＝ 1 75 x2－130x＋4 900，x∈[50，80， 12－ x 60 ，x∈[80，120]. (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？ (2)已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽车速度为 多少时总耗油量最少？ 解：(1)当 x∈[50,80)时，y＝ 1 75(x2－130x＋4 900)＝ 1 75[(x－65)2＋675]， 所以当 x＝65 时，y 取得最小值，最小值为 1 75 ×675＝9. 当 x∈[80,120]时，函数 y＝12－ x 60 单调递减， 故当 x＝120 时，y 取得最小值，最小值为 12－120 60 ＝10. 因为 9<10，所以当 x＝65， 即该型号汽车的速度为 65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为 l L，由题意可知 l＝y·120 x ， ①当 x∈[50,80)时，l＝y·120 x ＝8 5 x＋4 900 x －130 ≥8 5 2 x×4 900 x －130 ＝16， 当且仅当 x＝4 900 x ，即 x＝70 时，l 取得最小值，最小值为 16； ②当 x∈[80,120]时，l＝y·120 x ＝1 440 x －2 为减函数， 所以当 x＝120 时，l 取得最小值，最小值为 10. 因为 10<16， 所以当速度为 120 km/h 时，总耗油量最少．