【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第8章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系作业

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【数学】2021届一轮复习人教版(文理通用)第8章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系作业

对应学生用书[练案57理][练案53文]‎ 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 A组基础巩固 一、选择题 ‎1.(2019·温州十校联考)对任意的实数k,直线y=kx-1与圆C:x2+y2-2x-2=0的位置关系是( C )‎ A.相离  B.相切 C.相交  D.以上三个选项均有可能 ‎[解析] 直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1,0),半径为,而|AC|=<,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交.‎ ‎2.(2020·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( B )‎ A.2x+y-5=0  B.2x+y-7=0‎ C.x-2y-5=0  D.x-2y-7=0‎ ‎[解析] 由题意,过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则点(3,1)在圆上,圆心与切点连线的斜率为k==,∴切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0,选B.‎ ‎3.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( B )‎ A.-2  B.-4 ‎ C.-6  D.-8‎ ‎[解析] 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.‎ ‎4.(2019·山东济宁期末)圆C1:x2+(y-1)2=1与圆C2:(x+4)2+(y-1)2=4的公切线的条数为( A )‎ A.4  B.3 ‎ C.2  D.1‎ ‎[解析] 两圆的圆心距|C‎1C2|=4>2+1,∴两圆外离,两圆的公切线有4条.‎ ‎5.(2020·河北沧州段考)已知直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( B )‎ A.2  B.6 ‎ C.4  D.2 ‎[解析] ∵圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,即(x-2)2+(y-1)2=4,∴圆心为C(2,1),半径为2.由题意可得,直线l:x+ay-1=0经过圆C的圆心(2,1),故有2+a-1=0,∴a=-1,点A(-4,-1).∵|AC|==2,|CB|=R=2,∴切线的长|AB|==6,故选B.‎ ‎6.(2019·铜川模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).在圆C上存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12,则点P的个数为( B )‎ A.1  B.2 ‎ C.3  D.4‎ ‎[解析] 设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因为|2-2|<<2+2,所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,所以点P的个数为2.选B.‎ ‎7.(2019·四川南充模拟)若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是( D )‎ A.x=0  B.y=1‎ C.x+y-1=0  D.x-y+1=0‎ ‎[解析] 依题意,直线l:y=kx+1过定点P(0,1).圆C:x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4.故圆心为C(1,0),半径为r=2.则易知定点P(0,1)在圆内.由圆的性质可知当PC⊥l时,此时直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短.因为kPC==-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0.‎ ‎8.(2019·唐山模拟)若方程-x-m=0有实数解,则实数m的取值范围( B )‎ A.-4≤m≤4  B.-4≤m≤4 C.-4≤m≤4  D.4≤m≤4 ‎[解析] 由题意知方程=x+m有实数解,分别作出y=与y=x+m的图象,若两图象有交点,需-4≤m≤4.‎ 二、填空题 ‎9.(2020·湖北省宜昌市调研)已知直线x+y+=0与圆C:x2+y2+2x-2y-2=0相交于A、B两点,则∠ACB=60° .‎ ‎[解析] 圆C:x2+y2+2x-2y-2=0的圆心C:(-1,1),半径r=2,‎ 圆心C到直线x+y+=0的距离为 d==,‎ ‎∴|AB|=2=2,‎ ‎∴三角形ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠ACB=60°.故答案为60°.‎ ‎10.自圆外一点P作圆x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是x2+y2=2 .‎ ‎[解析] 由题意知四边形OMPN是正方形,所以|OP|=,于是点P的轨迹是圆心在原点,半径为的圆,其方程是x2+y2=2.‎ ‎11.(2019·安徽安庆五校联盟联考)当圆C:x2+y2-4x+6y-3=0的圆心到直线l:mx+y+m-1=0的距离最大时,m=- .‎ ‎[解析] ∵圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=16,‎ ‎∴圆C的圆心C(2,-3),‎ ‎∵直线l的方程为mx+y+m-1=0,‎ ‎∴直线l过定点A(-1,1),‎ ‎∴圆心到直线l:mx+y+m-1=0的距离最大为圆心C与点A(-1,1),之间的距离 ‎∴kl·kAC=-1,即-m·=-1,‎ ‎∴m=-.‎ ‎12.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=1 .‎ ‎[解析] 两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4⇔y=,又a>0,结合图形,利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形,可知==1⇒a=1.‎ 三、解答题 ‎13.(2019·江西赣州)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.‎ ‎(1)若不经过坐标原点的直线l与圆C相切,且直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;‎ ‎(2)设点P在圆C上,求点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值.‎ ‎[解析] (1)圆C的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=2,即圆心的坐标为(-1,2),半径为,因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点,所以可设直线l的方程为x+y+m=0,于是有=,得m=1或m=-3,‎ 因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.‎ ‎(2)因为圆心(-1,2)到直线x-y-5=0的距离为=4,所以点P到直线x-y ‎-5=0距离的最大值与最小值分别为5和3.‎ ‎14.(2017·课标Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;‎ ‎(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎[解析] (1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:‎ 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,‎ 所以x1x2=-2.‎ 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为· =-,所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ ‎(2)证明:由BC的中点坐标为(,),‎ 可得BC的中垂线方程为y-=x2(x-).‎ 由(1)可得x1+x2=-m,‎ 所以AB的中垂线方程为x=-.‎ 联立又x+mx2-2=0,‎ 可得 所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-,-),‎ 半径r=.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2=3,‎ 即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ B组能力提升 ‎1.(2018·课标Ⅲ卷)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( A )‎ A.[2,6]  B.[4,8]‎ C.[,3]  D.[2,3]‎ ‎[解析] 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有S=|AB|·d.易知|AB|=2,dmax=+=3,dmin=-=,所以2≤S≤6,故选A.‎ ‎2.(2019·山东济宁期末)已知圆M:(x-a)2+y2=4(a>0)与圆N:x2+(y-1)2=1外切,则直线x-y-=0被圆M截得线段的长度为( D )‎ A.1  B. ‎ C.2  D.2 ‎[解析] 由题意,=2+1,‎ ‎∴a=2,圆心M(2,0)到直线x-y-=0的距离d==1,‎ ‎∴直线x-y-=0被圆M截得线段的长度为2=2,故选D.‎ ‎3.(2020·枣庄模拟)已知点A(0,-6),B(0,6),若对圆(x-a)2+(y-3)2=4上任意一点P,都有∠APB为锐角,则实数a的取值范围是( D )‎ A.(-5,5)‎ B.(-,)‎ C.(-∞,-5)∪(5,+∞)‎ D.(-∞,-)∪(,+∞)‎ ‎[解析] 若对圆(x-a)2+(y-3)2=4上任意一点P,都有∠APB为锐角,则圆(x-a)2+(y-3)2=4与圆x2+y2=36外离,即圆心距大于两圆的半径之和,>6+2,解得a2>55,a>或a<-.选D.‎ ‎4.(2020·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0上截得的弦长为,则圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2 .‎ ‎[解析] 解法一:所求圆的圆心在直线x+y=0上,‎ ‎∴设所求圆的圆心为(a,-a).‎ 又∵所求圆与直线x-y=0相切,‎ ‎∴半径r==|a|.‎ 又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为,‎ 圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=,‎ ‎∴d2+()2=r2,即+=‎2a2,‎ 解得a=1,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.‎ 解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),‎ 则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=,‎ ‎∴r2=+,即2r2=(a-b-3)2+3.①‎ 由于所求圆与直线x-y=0相切,∴(a-b)2=2r2.②‎ 又∵圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③‎ 联立①②③,解得 故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.‎ ‎5.(2019·天津市和平区模拟)已知a,b为正数,若直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则a的最大值是 .‎ ‎[解析] 由题意知圆心到直线的距离d==1,∴=1,即‎4a2+b2=4.∴a=·‎2‎a·≤·=(当且仅当a=,b=时取等号).‎ ‎6.(2020·湖南省东部六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)设圆心C(a,0)(a>-),‎ 则=2,解得a=0或a=-5(舍).‎ 所以圆C:x2+y2=4.‎ ‎(2)如图,当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得,(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,‎ 所以x1+x2=,x1x2=.‎ 若x轴平分∠ANB,‎ 则kAN=-kBN⇒+=0‎ ‎⇒+=0‎ ‎⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0‎ ‎⇒-+2t=0‎ ‎⇒t=4.‎ 所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.‎
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