2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 微专题4　古典概型的应用

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 微专题4　古典概型的应用

微专题 4 古典概型的应用 古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样 本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表).注意做 到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率. 一、“放回”与“不放回”问题 例 1 从含有两件正品 a1，a2和一件次品 b1的 3件产品中每次任取 1件，连续取两次. (1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率； (2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率. 解 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)， (a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第 1次取出的产品，右边的字 母表示第 2次取出的产品，由 6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用 A表 示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则 A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1， a2)}.事件 A由 4个样本点组成，所以 P(A)＝4 6 ＝ 2 3 . (2)有放回地连续取出两次，样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)， (a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共 9个样本点.由于每一件产品被取到的机会均等， 因此这些样本点的出现是等可能的.用 B表示“恰有一件次品”这一事件，则 B＝{(a1，b1)， (a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.事件 B由 4个样本点组成，因而 P(B)＝4 9 . 反思感悟 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是 否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是 不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可， 有放回抽样要看作有序抽取. 二、概率模型的多角度构建 例 2 口袋里装有 2个白球和 2个黑球，这 4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从 中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率. 解 方法一 需要找出 4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可 能结果数. 解题过程如下：用 A表示事件“第二个人摸到白球”，把 2个白球编上序号 1,2；2 个黑球 也编上序号 1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直 观地表示出来，如图所示： 由上图可知，试验的所有可能结果数是 24，由于口袋内的 4个球除颜色外完全相同，所以， 这 24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有 12种， 故第二个人摸到白球的概率 P(A)＝12 24 ＝ 1 2 . 方法二 把 2个白球编上序号 1,2，两个黑球也编上序号 1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一 球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示： 由图可知，试验的所有结果数是 12，由于口袋内的 4个球除颜色外完全相同，所以这 12种 结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有 6种， 故第二个人摸到白球的概率 P(A)＝ 6 12 ＝ 1 2 . 反思感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树 状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样 本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.另外，如果试验结果具有对称性，可简化 结果以便于模型的建立与解答. 三、“正难则反”思想，利用对立事件求概率 例 3 有 3 个完全相同的小球 a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的 概率. 解 a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为： 甲盒 a，b，c a，b a a，c b，c b c 空 乙盒 空 c b，c b a c，a a，b a，b，c 两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子 a，b，c，乙盒子 空；甲盒子空，乙盒子 a，b，c，共 2个，故 P＝1－2 8 ＝ 3 4 . 反思感悟 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公 式 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立 事件，再用公式 P(A)＝1－P( A )求得. 四、古典概型的综合应用 例 4 甲、乙二人用 4张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们将扑 克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间； (2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜.你认为此游戏是 否公平？说明你的理由. 解 (1)方片 4用 4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)， (4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为 12. (2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共 5种， 甲胜的概率为 P1＝ 5 12 ，乙胜的概率为 P2＝ 7 12 ，因为 5 12 < 7 12 ，所以此游戏不公平. 反思感悟 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规 则公平，否则就是不公平. (2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.