高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-1-第2课时学业分层测评word版含答案

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高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-1-第2课时学业分层测评word版含答案

学业分层测评 (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.5名同学去听同时进行的 4个课外知识讲座,每个同学可自由选择,且必 须选择一个知识讲座,则不同的选择种数是( ) A.54 B.45 C.5×4×3×2 D.5×4 【解析】 5名同学每人都选一个课外知识讲座,则每人都有 4种选择,由分 步乘法计数原理知共有 4×4×4×4×4=45种选择. 【答案】 B 2.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作 为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个 数是( ) A.18 B.17 C.16 D.10 【解析】 分两类. 第一类:M 中的元素作横坐标,N 中的元素作纵坐标,则在第一、二象限内 的点有 3×3=9(个); 第二类:N 中的元素作横坐标,M 中的元素作纵坐标,则在第一、二象限内 的点有 4×2=8(个). 由分类加法计数原理,共有 9+8=17(个)点在第一、二象限. 【答案】 B 3.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年 卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( ) A.12种 B.9种 C.8种 D.6种 【解析】 设四张贺卡分别记为 A,B,C,D.由题意,某人(不妨设 A 卡的供 卡人)取卡的情况有 3种,据此将卡的分配方式分为三类,对于每一类,其他人依 次取卡分步进行,为了避免重复或遗漏,我们用“树状图”表示如下: BADCCDADAC CADBDABDBA DABCCABCBA 所以共有 9种不同的分配方式,故选 B. 【答案】 B 3 4 图 118 4.将 1,2,3,…,9这 9个数字填在如图的 9个空格中,要求每一行从左到右, 每一列从上到下分别依次增大.当 3,4固定在图 118中的位置时,填写空格的方 法为( ) A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 【解析】 因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有 一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后与之相邻的空格可填 6,7,8任一 个;余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有 2×3=6种结果,故选 A. 【答案】 A 5.体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱子中,要求每个箱 子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有( ) 【导学号:97270006】 A.8种 B.10种 C.12种 D.16种 【解析】 首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球, 这样剩下三个足球,这三个足球可以随意放置, 第一种方法,可以在每一个箱子中放一个,有 1种结果; 第二种方法,可以把球分成两份,1和 2,这两份在三个位置,有 3×2=6种 结果;第三种方法,可以把三个球都放到一个箱子中,有 3种结果. 综上可知共有 1+6+3=10种结果. 【答案】 B 二、填空题 6.小张正在玩“QQ农场”游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣 椒、胡萝卜这 5种种子中选出 4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种 植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共 有________种. 【解析】 当第一块地种茄子时,有 4×3×2=24 种不同的种法;当第一块 地种辣椒时,有 4×3×2=24种不同的种法,故共有 48种不同的种植方案. 【答案】 48 7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个不同元素分别作为直线方程 Ax+By+C =0中的 A,B,C,所得直线经过坐标原点的有________条. 【解析】 因为过原点的直线常数项为 0,所以 C=0,从集合中的 6个非零 元素中任取一个作为系数 A,有 6种方法,再从其余的 5个元素中任取一个作为系 数 B,有 5种方法,由分步乘法计数原理得,适合条件的直线共有 1×6×5=30(条). 【答案】 30 8.甲、乙、丙 3位志愿者安排在周一至周五的 5天中参加某项志愿者活动, 要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的 安排方法共有________种. 【解析】 分三类:若甲在周一,则乙丙有 4×3=12种排法; 若甲在周二,则乙丙有 3×2=6种排法; 若甲在周三,则乙丙有 2×1=2种排法. 所以不同的安排方法共有 12+6+2=20种. 【答案】 20 三、解答题 9.如图 119所示,用 6种不同的颜色给图中的 4个格子涂色,每个格子涂 一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,不同的 涂色方法共有多少种(用数字作答). 图 119 【解】 不妨将图中的 4 个格子依次编号为①②③④,当①③同色时,有 6×5×1×5=150种方法;当①③异色时,有 6×5×4×4=480种方法.所以共有 150+480=630种方法. 10.用数字 1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数,然后由小到大排成一个数列. (1)求这个数列的项数; (2)求这个数列中的第 89项的值. 【解】 (1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数,可以先确定百位, 再确定十位,最后确定个位,因此要分步相乘. 第一步:确定百位数,有 6种方法. 第二步:确定十位数,有 5种方法. 第三步:确定个位数,有 4种方法. 根据分步乘法计数原理,共有 N=6×5×4=120个三位数. 所以这个数列的项数为 120. (2)这个数列中,百位是 1,2,3,4的共有 4×5×4=80个, 百位是 5的三位数中,十位是 1或 2的有 4+4=8个, 故第 88个为 526,故从小到大第 89项为 531. [能力提升] 1.(2016·菏泽检测)如图 1110,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1种花,且相邻的 2块种不同的花,则不同 的种法总数为( ) 图 1110 A.96 B.84 C.60 D.48 【解析】 可依次种 A,B,C,D 四块,当 C 与 A 种同一种花时,有 4×3×1×3 =36种种法;当 C 与 A 所种花不同时,有 4×3×2×2=48种种法. 由分类加法计数原理,不同的种法种数为 36+48=84. 【答案】 B 2.两人进行乒乓球比赛,采取五局三胜制,即先赢三局者获胜,决出胜负为 止,则所有可能出现的情形(各人输赢局数的不同视为不同情形)共有( ) A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 【解析】 由题意知,比赛局数最少为 3 局,至多为 5 局.当比赛局数为 3 局时,情形为甲或乙连赢 3局,共 2 种;当比赛局数为 4 局时,若甲赢,则前 3 局中甲赢 2局,最后一局甲赢,共有 3种情形;同理,若乙赢,则也有 3种情形, 所以共有 6种情形;当比赛局数为 5 局时,前 4局,甲、乙双方各赢 2局,最后 一局胜出的人赢,若甲前 4局赢 2局,共有赢取第 1、2局,1、3局,1、4局,2、 3局,2、4局,3、4局六种情形,所以比赛局数为 5局时共有 2×6=12(种),综 上可知,共有 2+6+12=20(种).故选 C. 【答案】 C 3.在一次运动会选手选拔赛上,8名男运动员参加 100米决赛.其中甲、乙、 丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8名运动员比赛 的方式共有________种. 【解析】 分两步安排这 8名运动员. 第一步:安排甲、乙、丙三人,共有 1,3,5,7四条跑道可安排,所以安排方式 有 4×3×2=24种. 第二步:安排另外 5人,可在 2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安 排方式有 5×4×3×2×1=120种. 所以安排这 8人的方式有 24×120=2 880种. 【答案】 2 880 4.(2016·杭州外国语学校检测)给出一个正五棱柱,用 3种颜色给其 10 个顶 点染色,要求各侧棱的两个端点不同色,有几种染色方案? 【解】 分两步,先给上底面的 5 个顶点染色,每个顶点都有 3 种方法,共有 3 5 种方法, 再给下底面的 5 个顶点染色,因为各侧棱两个端点不同色,所以每个顶点有 2 种方法,共有 2 5 种方法,根据分步乘法计数原理,共有 3 5·25 =7 776(种)染色方案.
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