人教A版数学必修二1-1-2简单组合体的结构特征

人教A版数学必修二1-1-2简单组合体的结构特征

§1.1.2 简单组合体的结构特征 一、教材分析 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅 速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础.简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是 构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结 构特征来描述简单组合体的结构特征. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征. （2）能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型. 2．过程与方法 让学生通过下观感觉空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式. 3．情感态度与价值观 培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识. 三、重点难点 描述简单组合体的结构特征. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这 些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单几何体的结构特征. 思路 2.现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几 何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单几何体的结构 特征. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的. 图 1 ②观察图 1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？ ③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系？ 活动：让学生仔细观察图 1，教师适当时候再提示. ①略. ②图 1 中的三个组合体分别代表了不同形式. ③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示. 讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中，我们看到的物体大多由具 有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图 1（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是 多面体与多面体的组合体；图 1（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图 1（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体. ②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合. 其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图 1（1）和（3）所示的组合 体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图 1（2）所示的组合体. ③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个球面上，此时 长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的对角线是球的直径；2°一球与正方体 的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°一球与正方体的所有面相切，则正方体 的棱长等于球的直径. （二）应用示例 思路 1 例 1 请描述如图 2 所示的组合体的结构特征. 图 2 活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特 征依次作出判断. 解：图 2（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体； 图 2（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体； 图 2（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体. 点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力. 变式训练 如图 3 所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线 l 旋转 180°，想象并说出它形成的几何体的 结构特征. 图 3 答案：一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球. 例 2 连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几 何体是几面体？并画图表示该几何体. 活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图 4(1)， 再作出判断. (1) (2) 图 4 解：如图 4(1)，正方体 ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6 分别是各表面的中心.由点 O1、O2、 O3、O4、O5、O6 组成了一个八面体，而且该八面体共有 6 个顶点，12 条棱.该多面体的图形如图 4（2）所 示. 点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一 端，都有相同数目的棱.由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且 中间一个四边形 O2O3O4O5 还是正方形，当然其他的如 O1O2O6O4 等也是正方形.为了增强立体效果，正方 体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中 的 O1O5、O6O5、O5O2、O5O4 应画成虚线. 变式训练 连接上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？ 答案：六面体（正方体）. 思路 2 例 1 已知如图 5 所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＜BC，当梯形 ABCD 绕 BC 所在直线旋转一周 时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征. 图 5 图 6 活动：让学生思考 AB、AD、DC 与旋转轴 BC 是否垂直，以此确定所得几何体的结构特征. 解：如图 6 所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体. 点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体. 变式训练 如图 7 所示，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＜BC，当梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周时， 其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征. 图 7 图 8 答案：如图 8 所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体. 例 2 如图 9（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？ 图 9 活动：让学生分组讨论和思考，教师及时点拨和评价学生. 解：图 9（1）所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的 组合体；而图 9（2）所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体. 点评：考查空间想象能力和组合体的概念. 变式训练 如图 10，说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？ 图 10 答案：图 10（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成；图 10（2）中的螺帽可以 近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体. （三）知能训练 1.（2005 湖南数学竞赛，9）若干个棱长为 2、3、5 的长方体，依相同方向拼成棱长为 90 的正方体，则正 方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（ ） A.64 B.66 C. 68 D.70 分析：由 2、3、5 的最小公倍数为 30，由 2、3、5 组成的棱长为 30 的正方体的一条对角线穿过的长 方体为整数个，所以由 2、3、5 组成棱长为 90 的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为 3 的倍 数. 答案：B 2.图 11 是一个奖杯，可以近似地看作由哪几种几何体组成？ 图 11 答案：奖杯的底座是一个正棱台，底座的上面是一个正四棱柱，奖杯的最上部，在正棱柱上底面的中 心放着一个球. （四）拓展提升 1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？ 活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面.用运动的观点看几何问题的形成，容易建 立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的. 明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系， 对于我们正确的割补图形也是有好处的. 对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割 所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状. 探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案： （1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形. （2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形. （3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时， 这个四边形至少有一组对边平行. （4）截面不能是直角梯形. （5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不 可能是正五边形. （6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等. （7）截面六边形可以是等角（均为 120°）的六边形，即正六边形. 截面图形如图 12 中各图所示： 图 12 （五）课堂小结 本节课学习了简单组合体的概念和结构特征. （六）作业 习题 1.1 A 组 第 3 题；B 组 第 2 题.