浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数含解析

浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数含解析

第 1 节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意 角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝l r (弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ π 180 rad；②1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 弧长 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝1 2 lr＝1 2 |α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 y 叫做α的正弦，记 作 sin α x 叫做α的余弦，记作 cos α y x 叫做α的正切， 记作 tan α 各象限 符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段 MP 为正弦 线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为 正切线 [常用结论与易错提醒] 1.象限角 2.轴线角 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)小于 90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30°.( ) (4)若α∈ 0，π 2 ，则 tan α＞α＞sin α.( ) (5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是 0，π 2 . (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (5)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2.角－870°的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和 210°角的终边相同，在第三象限. 答案 C 3.下列与9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋9 4 π(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋5π 4 (k∈Z) 解析 与9π 4 的终边相同的角可以写成 2kπ＋9π 4 (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所 以只有 C 正确. 答案 C 4.已知角α的终边经过点(－4，3)，则 cos α＝( ) A.4 5 B.3 5 C.－3 5 D.－4 5 解析 ∵角α的终边经过点(－4，3)， ∴x＝－4，y＝3，r＝5.∴cos α＝x r ＝－4 5 ，故选 D. 答案 D 5.(必修 4P10A6 改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度. 解析 该弦与两条半径构成等边三角形，故圆心角为 60°，即π 3 . 答案 π 3 6.弧长为 3π，圆心角为 135°的扇形半径为________，面积为________. 解析 135°＝135× π 180 ＝3π 4 (弧度)，由α＝l r ，得 r＝ l α ＝ 3π 3π 4 ＝4，S 扇形＝1 2 lr＝1 2 ×4×3π ＝6π. 答案 4 6π 考点一 角的概念及其集合表示 【例 1】 (1)若角α是第二象限角，则α 2 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)终边在直线 y＝ 3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π 2 ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π 4 ＋kπ＜α 2 ＜π 2 ＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，α 2 是第一象限角；当 k 为奇数时，α 2 是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是π 3 ，在[0，2π)内，终边 在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π 3 ，4 3 π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2 3 π，－5 3 π， 故满足条件的角α构成的集合为 －5 3 π，－2 3 π，π 3 ，4 3 π . 答案 (1)C (2) －5 3 π，－2 3 π，π 3 ，4 3 π 规律方法 (1)利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的 所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. (2)确定 kα，α k (k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出 kα或α k 的范围，然后根据 k 的可能取值讨 论确定 kα或α k 的终边所在位置. 【 训 练 1 】 (1)( 一 题 多 解 ) 设 集 合 M ＝ x|x＝k 2 ·180°＋45°，k∈Z ， N ＝ x|x＝k 4 ·180°＋45°，k∈Z ，那么( ) A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅ (2)集合 α|kπ＋π 4 ≤α≤kπ＋π 2 ，k∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 解析 (1)法一 由于 M＝ x|x＝k 2 ·180°＋45°，k∈Z ＝{…，－45°，45°，135°， 225°，…}， N＝ x|x＝k 4 ·180°＋45°，k∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有 M⊆N，故选 B. 法二 由于 M 中，x＝k 2 ·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数； 而 N 中，x＝k 4 ·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N， 故选 B. (2)当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π 4 ≤α≤2nπ＋π 2 ，此时α表示的范围与π 4 ≤α≤π 2 表示的范 围一样； 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋5π 4 ≤α≤2nπ＋3π 2 ，此时α表示的范围与5π 4 ≤α≤3π 2 表示 的范围一样，故选 C. 答案 (1)B (2)C 考点二 弧度制及其应用 【例 2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为 R，弧长为 l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积是 4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为 20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π 3 rad，∴l＝α·R＝π 3 ×10＝10π 3 (cm). (2)由题意得 2R＋Rα＝10， 1 2 α·R2＝4， 解得 R＝1， α＝8 (舍去)， R＝4， α＝1 2 . 故扇形圆心角为1 2 . (3)由已知得，l＋2R＝20(cm). 所以 S＝1 2 lR＝1 2 (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当 R＝5 时，S 取得最大值 25(cm2)， 此时 l＝10，α＝2. 规律方法 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练 2】 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为 R. (1)若α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则 α＝90°＝π 2 ，R＝10，l＝π 2 ×10＝5π(cm)， S 弓＝S 扇－S△＝1 2 ×5π×10－1 2 ×102＝25π－50(cm2). (2)扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝ C 2＋α ， ∴S 扇＝1 2 α·R2＝1 2 α· C 2＋α 2 ＝C2α 2 · 1 4＋4α＋α2＝C2 2 · 1 4＋α＋ 4 α ≤C2 16 . 当且仅当α2＝4，即α＝2 时，扇形面积有最大值C2 16 . 考点三 三角函数的概念 【例 3】 (1)已知角α的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－4 5 ，则 m 的值为( ) A.－1 2 B.1 2 C.－ 3 2 D. 3 2 (2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆 x2＋y2＝1 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角α以 Ox 为始边，OP 为终边.若 tan α0，∴ 4m2 64m2＋9 ＝ 1 25 ，即 m＝1 2 ，故选 B. (2)设点 P 的坐标为(x，y)，∵tan αb>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b (3)满足 cos α≤－1 2 的角α的集合为________. 解析 (1)由|OP|2＝1 4 ＋y2＝1，得 y2＝3 4 ，y＝± 3 2 . 当 y＝ 3 2 时，sin α＝ 3 2 ，tan α＝－ 3， 此时，sin α·tan α＝－3 2 . 当 y＝－ 3 2 时，sin α＝－ 3 2 ，tan α＝ 3， 此时，sin α·tan α＝－3 2 . (2)当α∈ π 2 ，3π 4 时，sin α∈ 2 2 ，1 ，cos α∈ － 2 2 ，0 ，tan α∈(－∞，－1)， 所以 sin α>cos α>tan α， 即 a>b>c，故选 A. (3)作直线 x＝－1 2 交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部 分 ) 即 为 角 α 终 边 的 范 围 ， 故 满 足 条 件 的 角 α 的 集 合 为 α|2kπ＋2 3 π≤α≤2kπ＋4 3 π，k∈Z . 答案 (1)C (2)A (3) α|2kπ＋2 3 π≤α≤2kπ＋4 3 π，k∈Z 基础巩固题组 一、选择题 1.已知角θ的终边经过点 P(4，m)，且 sin θ＝3 5 ，则 m＝( ) A.－3 B.3 C.16 3 D.±3 解析 sin θ＝ m 16＋m2 ＝3 5 ，易知 m>0，解得 m＝3. 答案 B 2.已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由题意知 tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B 3.给出下列四个命题： ①－3π 4 是第二象限角；②4π 3 是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象 限角. 其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 －3π 4 是第三象限角，故①错误.4π 3 ＝π＋π 3 ，从而4π 3 是第三象限角，②正确.－400° ＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C 4.点 P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π 3 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为( ) A. －1 2 ， 3 2 B. － 3 2 ，－1 2 C. －1 2 ，－ 3 2 D. － 3 2 ，1 2 解析 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 x＝cos 2π 3 ＝－1 2 ，y＝sin 2π 3 ＝ 3 2 . 答案 A 5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α的弧度数为( ) A.π 3 B.π 2 C. 3 D.2 解析 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3r＝α·r，∴α＝ 3. 答案 C 6.设θ是第三象限角，且|cos θ 2 |＝－cos θ 2 ，则θ 2 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 由θ是第三象限角，知θ 2 为第二或第四象限角， ∵|cos θ 2 |＝－cos θ 2 ，∴cos θ 2 ≤0，综上知θ 2 为第二象限角. 答案 B 7.已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ ＝( ) A.－4 5 B.－3 5 C.3 5 D.4 5 解析 由题意知 tan θ＝2，即 sin θ＝2cos θ，将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1 中可得 cos2θ ＝1 5 ，故 cos 2θ＝2cos2θ－1＝－3 5 . 答案 B 8.给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角 度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若 sin α＝sin β，则α 与β的终边相同；⑤若 cos θ<0，则θ是第二或第三象限角. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 举反例：第一象限角 370°不小于第二象限角 100°，故①错；当三角形的内角为 90° 时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于 sinπ 6 ＝sin5π 6 ，但π 6 与5π 6 的终边不相同，故④错；当 cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象 限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A 二、填空题 9.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________. 解析 由已知 P(cos α，sin α)，则 Q(－cos α，－sin α). 答案 (－cos α，－sin α) 10.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 ________. 解析 在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为 π 4 ，5 6 π ， 所以，所求角的集合为 α|2kπ＋π 4 <α<2kπ＋5π 6 （k∈Z） . 答案 α|2kπ＋π 4 <α<2kπ＋5π 6 （k∈Z） 11.已知扇形的圆心角为π 6 ，面积为π 3 ，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为 r，弧长为 l，则 l r ＝π 6 ， 1 2 lr＝π 3 ， 解得 l＝π 3 ， r＝2. 答案 π 3 12.函数 y＝ 2sin x－1的定义域为________. 解析 ∵2sin x－1≥0，∴sin x≥1 2 . 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x∈ 2kπ＋π 6 ，2kπ＋5π 6 (k∈Z). 答案 2kπ＋π 6 ，2kπ＋5π 6 (k∈Z) 13.在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 为始边的角θ的终边经过点 3 5 ，4 5 ，则 sin θ＝________， tan 2θ＝________. 解析 ∵ 3 5 2 ＋ 4 5 2 ＝1，∴点 3 5 ，4 5 在单位圆 x2＋y2＝1 上，由三角函数的定义知 sin θ＝4 5 ， cos θ＝3 5 ，∴tan θ＝4 3 ，∴tan 2θ＝ 2tan θ 1－tan2θ ＝ 2×4 3 1－ 4 3 2 ＝－24 7 . 答案 4 5 －24 7 14.若θ是第二象限角，则 sin(cos θ)的符号为________，cos(sin θ)的符号为________. 解析 ∵θ是第二象限角，∴－10. 答案 负 正 能力提升题组 15.已知角α的终边与单位圆 x2＋y2＝1 交于点 P 1 2 ，y0 ，则 2cos2α－1＝( ) A.－1 2 B.1 2 C.－ 3 2 D.1 解析 由三角函数的定义知，cos α＝1 2 ，∴2cos2α－1＝2× 1 2 2 －1＝－1 2 . 答案 A 16.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos α＝1 5 x，则 tan α＝( ) A.4 3 B.3 4 C.－3 4 D.－4 3 解析 因为α是第二象限角，所以 cos α＝1 5 x<0，即 x<0. 又 cos α＝1 5 x＝ x x2＋16 ，解得 x＝－3，所以 tan α＝4 x ＝－4 3 . 答案 D 17.已知圆 O：x2＋y2＝4 与 y 轴正半轴的交点为 M，点 M 沿圆 O 顺时针运动π 2 弧长到达点 N， 以 ON 为终边的角记为α，则 tan α＝( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析 圆的半径为 2，π 2 的弧长对应的圆心角为π 4 ，故以 ON 为终边的角为α＝2kπ＋π 4 ，k∈Z， 故 tan α＝1. 答案 B 18.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α>0，则实数 a 的取值范围是 ________. 解 析 ∵cos α≤0 ， sin α>0 ， ∴ 角 α 的 终 边 落 在 第 二 象 限 或 y 轴 的 正 半 轴 上.∴ 3a－9≤0， a＋2>0， ∴－2

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