2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古杭锦后旗奋斗中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为(　　)‎ A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查，此项调查的总体数目较多，而且差异不大，符合系统抽样的适用范围。‎ ‎②一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90∼100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围。‎ ‎③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道，此项抽查，的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围。‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．‎ 二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，‎ ‎2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型求法，依次求得四个图形中阴影部分占总面积的比值，再比较大小即可。‎ ‎【详解】‎ 选项A，阴影部分面积占总面积的比值为 ‎ 选项B，阴影部分面积占总面积的比值为 ‎ 选项C，阴影部分面积占总面积的比值为 ‎ 选项D，阴影部分面积占总面积的比值为 ‎ 比较几个值可得最大，因而A中奖机会最大 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型的相关问题，属于基础题。‎ ‎3．点的直角坐标是，则点的极坐标为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，‎ 由ρcosθ=x得：cosθ=-，结合点在第二象限得：θ=则点M的极坐标为故选A．‎ 考点：极坐标和直角坐标的互化 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得 ‎4．极坐标方程所表示的曲线是（ ）‎ A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：极坐标方程的两边同乘以可得，因为，所以上述方程化为直角坐标方程为，它表示的是一条抛物线，故选C.‎ 考点：抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，把给出的极坐标方程化成直角坐标方程，就可以判断方程表示的曲线形状，属于基础题.直角坐标和极坐标的关系是，同时，转化时常常根据互化的需要对原有的方程进行变形，本题中在给出的极坐标方程两边同乘以极径就可以达到化为直角坐标方程的目的.‎ ‎5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( )‎ A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0‎ C．对任意的x∈R, 2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：“存在,”的否定是:对任意,.故D正确.‎ 考点：特称命题的否定.‎ ‎6．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由条件知，，‎ 设回归直线方程为，‎ 则.‎ ‎∴回归直线的方程是 故选：C ‎【点睛】‎ 求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎7．有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（ ）‎ A．5, 17, 29, 41, 53 B．5, 12, 31, 39, 57‎ C．5, 15, 25, 35, 45　　　　　　　　 D．5, 10, 15, 20, 25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，总体是60个，从中抽取5个，那么可知间隔是 60:5=12，∴只有D符合要求，即后面的数比前一个数大12．故选A．‎ 考点：本题主要考查了系统抽样，是一个基础题，解题时抓住系统抽样的特点，找出符合题意的编号，这种题目只要出现一定是我们必得分的题目．‎ 点评：解决该试题的关键是根据题意可知，本题所说的用系统抽样的方法所确定的抽样编号间隔应该是60:5=12，观察所给的四组数据，只有最后一组符合题意．‎ ‎8．“a>0”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】‎ 当a>0时,a2>0一定成立;a2>0时,a>0或a<0,故“a>0”是“a2>0”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 根据充分条件的定义和必要条件的定义判断，首先要分清条件p与结论q，若，则p是q的充分条件.若q不能推出p,则p是q的不必要条件.‎ ‎9．双曲线x2－4y2＝4的焦点坐标为(　　)‎ A．(±，0) B．(0，±)‎ C．(0，±) D．(±，0)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线方程，化为标准方程，然后求双曲线的焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 双曲线x2﹣4y2=4，标准方程为： ，‎ 可得a=2，b=1，c=，‎ 所以双曲线的焦点坐标：（±，0）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的焦点坐标的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.‎ ‎10．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型事件概率，依次列举出所有可能，根据符合要求的事件占所有事件的比值即为概率。‎ ‎【详解】‎ 设五件正品分别为A、B、C、D、E，次品为1，则取出两件产品的所有可能为 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,A1,B1,C1,D1,E1共15种可能 符合要求的事件为A1,B1,C1,D1,E1共5种可能，‎ 所以取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是 ‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型事件概率的求法，当事件数量不多时，可全部列举出来，属于基础题。‎ ‎11．在长为10 cm的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π~64π cm2的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,以AG为半径作圆,圆面积介于36π~64π cm2,则AG的长度应介于6~8 cm之间.‎ 所以所求概率=.‎ 故答案为：D.‎ ‎12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.‎ 详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,‎ 由斜率为得，，‎ 由正弦定理得,‎ 所以，选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为______________‎ ‎【答案】31. ‎ ‎【解析】分析：根据中位数相同求出的值，从而根据平均数公式可求出甲的平均数.‎ 详解：因为乙的数据是 所以其中位数是，‎ 所以，‎ ‎，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于中档题.（1）中位数，如果样本容量是奇数，中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）平均数公式为 .‎ ‎14．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．‎ ‎【详解】‎ 一组数据2，4，5，6，8，‎ 这组数据的平均数==5，‎ 这组数据的方差S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，则输出的S为________．‎ ‎【答案】86‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，将每一次T值代入循环结构进行判断，直到不满足循环条件为止.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，S＝21－0＝2，T＝2；S＝22－2＝2，T＝3；S＝23－2＝6，T＝4；S＝24－6＝10，T＝5；S＝25－10＝22，T＝6；S＝26－22＝42，T＝7；S＝27－42＝86>50，T＝8，结束循环．故输出结果为86.‎ 故答案为：86.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是框图中的循环结构，计算输出结果，对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.‎ ‎16．设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件：‎ ‎①y＝f(x)为偶函数．‎ ‎②y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．‎ ‎③T＝2为y＝f(x)的一个周期．‎ 如果将上面的①②③中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一考查所有的可能的组合是否成立即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)①②⇒③，由②知f(x)＝f(2－x)，‎ 又f(x)＝f(－x)，所以f(－x)＝f(2－x)．‎ 所以T＝2为y＝f(x)的一个周期．‎ ‎(2)①③⇒②，由③知f(x)＝f(2＋x)，‎ 又f(x)＝f(－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．‎ 所以y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．‎ ‎(3)②③⇒①，由②知f(x)＝f(2－x)，‎ 所以f(－x)＝f(2＋x)．‎ 由③知f(x)＝f(2＋x)，‎ 所以f(x)＝f(－x)，即y＝f(x)为偶函数．‎ 综上可得：真命题有3个.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的判定，分类讨论的数学思想，函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.‎ ‎(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；‎ ‎(2)求射击一次，至少命中8环的概率；‎ ‎(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．‎ ‎【答案】（1）P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31；（2）0.41；（3）0.59.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用互斥事件概率的加法公式求解，即可得到答案；‎ ‎（2）利用互斥事件概率的加法公式，即可求解；‎ ‎（3）利用对立事件的概率计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．‎ 由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.‎ ‎(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.‎ ‎(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.‎ ‎(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，‎ ‎∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件和对立事件的概率的计算问题，其中明确互斥事件和对立的事件的概念和互斥事件和对立时间的概率计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎18．设方程（为参数）表示曲线．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程，并说明它的轨迹；‎ ‎（Ⅱ）求曲线上的动点到坐标原点距离的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），表示以为圆心，为半径的圆；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）借助于三角函数中同角关系式中平方关系，消去参数得到普通方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；（Ⅱ）设圆上的动点，则得，根据的范围，得时，.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，两式平方相加，得，‎ ‎∴曲线的普遍方程是 它表示以为圆心，1为半径的圆.‎ ‎（Ⅱ）设圆上的动点，‎ 则 ‎∴当时，‎ 考点：参数方程与普通方程的互化运用；两点间的距离公式.‎ ‎19．某研究机构对某校高二文科学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据．‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 参考公式：‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎【答案】（1）见解析（2）＝0.7x－2.3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表中数据，描在坐标系中即可得到散点图。‎ ‎（2）根据公式，依次算出、，代入公式求得，再代入＝－ 即可求得回归直线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)散点图如图所示．‎ ‎(2)＝＝9，＝＝4，‎ ‎＝(－3) ×(－2)＋(－1) × (－1)＋1×1＋3×2＝14‎ ‎ ＝(－3)2＋(－1)2＋1＋32＝20，‎ 所以＝＝0.7，‎ ‎＝－ ＝4－0.7×9＝－2.3，‎ 故线性回归方程为＝0.7x－2.3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的简单应用，回归方程的求法，注意计算，属于基础题。‎ ‎20．某中学为弘扬优良传统，展示80年来的办学成果，特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者，在众多候选人中选取100名志愿者，为了在志愿者中选拔出节目主持人，现按身高分组，得到的频率分布表如图所示 ‎（1）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；‎ ‎（2）为选拔出主持人，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、5组每组各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵，求第3组至少有一人被抽取的概率？‎ ‎【答案】（1）直方图见解析；（2）3,2,1；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根第二组的频率计算第二组的频数，再根据总人数得到第三组的频数和频率，从而可补全频率分布表并制作频率分布直方图.‎ ‎（2）按比例计算各组抽取人数.‎ ‎（3）用枚举法列出所有的基本事件后用古典概型的概率公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 第二组的频数为，故第三组的频数为，故第三组的频率为，第五组的频率为，补全后频率分布表为：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第二组 ‎ ‎ ‎ ‎ 第三组 ‎ ‎ ‎ ‎ 第四组 ‎ ‎ ‎ ‎ 第五组 ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ 频率分布直方图为：‎ ‎（2）第三组、第四组、第五组的频率之比，故第三组、第四组、第五组抽取的人数分别为.‎ ‎（3）设第三组中抽取的三人为，第四组中抽取的两人为，第五组中抽取的一人为，则6人中任意抽取两人，所有的基本事件如下：‎ ‎，‎ 故第三组中至少有1人被抽取的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 根据频率分布表绘制频率分布直方图时，注意小矩形的高是频率除以组距，各小矩形的面积和为.计算古典概型的概率时，可用枚举法列出所有的基本事件以便于概率的计算.‎ ‎21．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直线A1B与B1C1所成的角为60°.‎ ‎(1)求该三棱柱的体积;‎ ‎(2)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.利用异面直线A1B与B1C1所成的角为60°求得h=1即得该三棱柱的体积.(2)利用向量法求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.‎ 设AA1=h,则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),‎ 则=(-1,0,h),=(-1,1,0).‎ 因为直线A1B与B1C1所成的角为60°,‎ 所以|cos<>|=,‎ 解得h=1.‎ 于是三棱柱体积V=Sh=×1×1=.‎ ‎(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),=(-1,1,1).‎ 设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),‎ 则可取n=(1,0,1).‎ 又因为D.‎ 于是sin θ=|cos<,n>|=,‎ 所以DC1与平面A1BC1所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查异面直线所成的角，考查直线和平面所成的角，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.‎ ‎22．如右图所示，直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．‎ ‎(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；‎ ‎(2)求线段AB的长的最小值．‎ ‎【答案】(1) (3,2)或(3，－2)．‎ ‎(2) 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据定义及|AF|＝4可得 ‎，再代入抛物线方程可得，于是可得点A的坐标．（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况分别求出弦长|AB|，进而可得|AB|≥4，于是得到所求的最小值．‎ ‎【详解】‎ 由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．‎ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点A′，B′.‎ ‎（1）由抛物线的定义可知，．‎ ‎∵|AF|＝4，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴点A的坐标为或．‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由消去y，整理得，‎ 因为直线与抛物线相交于A，B两点，‎ 所以k≠0.‎ 设方程的两根为x1，x2，则，‎ 由抛物线的定义可知，．‎ ‎②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为x＝1，与抛物线相交于点A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.‎ 综上可得|AB|≥4，‎ 所以线段AB的长的最小值为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义的应用，利用定义求抛物线的过焦点的弦长可避免较为复杂的运算，直接根据根与系数的关系求解即可．另外，在设直线方程时要根据题意对斜率是否存在进行讨论．‎