陕西省商洛市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析

陕西省商洛市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析

商洛市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学试卷（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．请将各题答案填写在答题卡上．‎ ‎3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合、进行并集运算，即可得答案.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 则．‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.‎ ‎2. 复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 故选A - 20 -‎ ‎3. 函数最小正周期是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数的周期公式求解.‎ ‎【详解】由题得函数的最小正周期．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4. 一球的体积为，则其表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用球的体积公式求出球的半径，再根据表面积公式计算可得；‎ ‎【详解】解：设该球的半径为，由，解得，所以其表面积为．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查球的体积、表面积的计算，属于基础题.‎ ‎5. 已知双曲线的方程为，其离心率为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 根据双曲线方程直接求出、、，即可求出双曲线的离心率；‎ ‎【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，离心率．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.‎ ‎6. 已知向量，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的坐标，然后由向量垂直的坐标表示计算出．‎ ‎【详解】由题意，∵，∴，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，掌握向量数量积的坐标表示是解题关键．‎ ‎7. 设各项均不相等的等比数列的前项和是，若，，则（ ）‎ A. B. C. 27 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断，再根据等比数列求和公式求公比，最后再利用等比数列求和公式求结果.‎ ‎【详解】由已知得，公比，所以，知，‎ 所以或（舍去），‎ 所以．‎ - 20 -‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8. 高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由系统抽样的方法，可求出抽到的每个同学的学号之间的间隔为：，而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即可得分别写出5个同学的学号，即可得出剩余的两个同学的学号.‎ ‎【详解】解：由题可知，该班共有45人，按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，‎ 则抽到的每个同学的学号之间的间隔为：，‎ 而已知学号为6、24、33的同学在样本中，‎ 即抽到的第一个学号为6，则第二个学号为：6+9=15，‎ 第三个学号为：15+9=24，则第四个学号为：24+9=33，‎ 第五个学号为：33+9=42，‎ 所以样本中还有两个同学的学号应为：15，42.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查对系统抽样的理解，属于基础题.‎ ‎9. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义和点在抛物线上得到关于的方程，联立方程组即可求解.‎ - 20 -‎ ‎【详解】由抛物线的定义可知，，‎ 因为点在抛物线上，‎ 所以，即，代入，解得．‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及其方程；考查运算求解能力；属于基础题.‎ ‎10. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 过点D作交于点F，连接，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，过点D作交于点F，连接，‎ 则为异面直线与所成的角，‎ 由题意，在直角中，可得，‎ 在直角中，可得，‎ 在直角中，可得，‎ 在直角中，可得，‎ - 20 -‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.‎ ‎11. 运行如图所示的程序框图，若输出的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．‎ - 20 -‎ ‎【详解】，；，‎ ‎；，‎ ‎；，‎ ‎；，‎ ‎；，‎ ‎，此时输出，即判断框内可填入的条件是“”.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查循环结构程序框图.‎ 解决程序框图填充问题的思路 ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎12. 已知函数，是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令每一段函数都是增函数，且分界点处第一段函数值大于第二段函数值即可得到关于a的不等式，进而可求出a的取值范围 ‎【详解】由题意可得，解得．‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了已知分段函数单调性求参数的值，考查了对数函数的单调性，属于基础题.本题的易错点是忽略了分界点处函数值的大小.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20‎ - 20 -‎ 分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13. 等差数列中，，，则__________．‎ ‎【答案】135‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，可求出，从而可得公差，再由可求得结果 ‎【详解】由已知得，所以，‎ 所以公差，‎ 所以．‎ 故答案为：135‎ ‎【点睛】此题考查等差数列的性质的应用，属于基础题 ‎14. 函数则___________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，再计算得值，由此得出结果.‎ ‎【详解】由，得 所以．‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15. 从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点不在同一条棱上的概率是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数，再求出这两个顶点不在同一条棱上的基本事件个数，可得出答案.‎ ‎【详解】从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点的情况有:‎ ‎，共15种，‎ 其中满足条件的情况有，共6种，‎ 故所求概率．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用古典概型概率公式求概率，考查运算求解能力，属于基础题型.‎ ‎16. 函数的最小值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，得出单调性，从而得到最小值.‎ ‎【详解】因为，定义域为 由，得，，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21‎ - 20 -‎ 题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17. 在中，角所对的边分别为．已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角函数的恒等变换求得角的值；‎ ‎（2）根据题意，利用余弦定理和三角形面积公式求得结果．‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，‎ 所以，所以．‎ 因为，所以，所以．‎ 因为，所以，所以，‎ 所以，则．‎ ‎（2）由余弦定理可得，‎ 因为，所以，‎ 即，解得或（舍去）．‎ 故的面积为．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与面积公式的应用问题，属于中档题．‎ ‎18. 某运动品牌商为了得出高中毕业生中女生的身高数据随机调查某市高中毕业生中女生100人，根据所得数据分为6‎ - 20 -‎ 组，得到她们身高的频率分布直方图如图所示（女生身高普遍在至之间），记“高中毕业生中女生身高不低于”为事件，根据直方图得到的估计值为0.49．‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）由频率分布直方图估计该市高中毕业生中女生身高的中位数（精确到0.1）．‎ ‎【答案】（1）；；（2）160.9．.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的估计值为0.49可求出，‎ ‎（2）找到将直方图中将小长方形分成0.5的点，即为估计的中位数.‎ ‎【详解】（1）由已知得，‎ 故，‎ 因为，所以，‎ 所以；‎ ‎（2）因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，‎ 设中位数为，则，解得，‎ 故该市高中毕业生中女生身高的中位数约为160.9．‎ ‎【点睛】本题考查直方图中的数值的求法，考查利用频率分布直方图估计中位数，属于基础题.‎ ‎19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形，E，F - 20 -‎ 是以为直径的半圆圆弧的两个三等分点，，．‎ ‎（1））证明：平面 平面．‎ ‎（2）求点D到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知面面垂直得，平面，因此有线线垂直，由圆的性质有，这样就有线面垂直，从而得面面垂直；‎ ‎（2）过点E作，垂足为H，证明平面，由E，F是以为直径的半圆圆弧的两个三等分点，计算出，由（1）的垂直可计算出，又得由勾股定理逆定理可得，由可求得点D到平面的距离．‎ ‎【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以．‎ 因为平面平面，平面平面，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 因为F是以为直径的半圆圆弧上的一个三等分点，所以，即．‎ - 20 -‎ 因为，且平面，平面，所以平面．‎ 因为平面，所以平面平面．‎ ‎（2）解：因为，且E，F是以为直径的半圆圆弧的两个三等分点，所以，．‎ 连接，则．过点E作，垂足为H，则．‎ ‎∵平面平面，平面平面，∴平面，‎ ‎∵平面，所以，，所以，．‎ ‎∵，所以，则．‎ 设点D到平面的距离为h，‎ 因为，所以，解得．‎ ‎【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求点到平面的距离，掌握面面垂直，线面垂直，线线垂直的相互转化是证明垂直的关键．求点面距离的方法是体积法，‎ ‎20. 已知函数的图象在处的切线经过点，且的一个极值点为-1.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）已知方程在上恰有一个实数根，求的取值范围.‎ - 20 -‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出函数的导函数，求出函数在处的切线方程，由点过切线，即可得到，再由函数的一个极值点为则，即可求出函数解析式，最后利用导数求出函数的极值；‎ ‎（2）依题意可得函数的图象与直线在上恰有一个交点，结合函数图象，即可得解；‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴，‎ ‎∴的图象在处的切线方程为.‎ ‎∵该切线经过点，∴，即①.‎ 又∵的一个极值点为-1，∴②.‎ 由①②可知，，故.‎ ‎，令，得或.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎-1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故，.‎ - 20 -‎ ‎（2）∵方程在上恰有一个实数根，‎ ‎∴函数的图象与直线在上恰有一个交点.‎ ‎∵，，‎ 结合函数的图象，∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，函数与方程思想，数形结合思想的应用，属于中档题.‎ ‎21. 如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．‎ - 20 -‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出后可得的方程.‎ ‎（2）设直线的方程，设，，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.‎ ‎【详解】（1）解：由题意知，‎ 由于，解得，，故的方程为．‎ ‎（2）证明：由(1)得，，直线的斜率为．‎ ‎（方法一）因为，故可设的方程为．‎ 设，，‎ - 20 -‎ 联立消去，得，‎ 所以，从而．‎ 直线斜率，直线的斜率，‎ 所以 ‎．故为定值．‎ ‎（方法二）设，．‎ 因为，所以的方程为，‎ 联立消去，得，‎ 解得（舍去）或，‎ 所以点的坐标为，‎ 则，即为定值．‎ ‎【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或 - 20 -‎ 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为，（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为．‎ ‎（1）求直线与曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为；曲线C的普通方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的参数方程消去参数t可得直线的普通方程，曲线C的参数方程变形代入可得曲线C的普通方程；‎ ‎（2）首先求出点M的直角坐标，判断出点M在直线l上，联立直线l与曲线C的普通方程得到关于t的一元二次方程，根据直线的参数方程的几何意义进行求解.‎ ‎【详解】（1）因为直线的参数方程为（t为参数），‎ - 20 -‎ 消去参数t可得直线的普通方程为．‎ 因为曲线C的参数方程为（为参数），‎ 由可得曲线C的普通方程为．‎ ‎（2）因为点M的极坐标为，所以M的直角坐标为，‎ 点M的坐标满足直线l的方程，则点M在直线上，‎ 将直线的参数方程代入曲线C的普通方程得，‎ 则，，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的相互转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分界法即可求解.‎ ‎（2）由，则，将问题转化为对恒成立，去绝对值分离参数即可求解.‎ - 20 -‎ ‎【详解】解：（1），．‎ 等价于，或，或，‎ 解得或或．‎ 故不等式的解集为．‎ ‎（2）因为．所以，‎ 则对恒成立等价于对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 则，‎ 因为，所以，即a的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题 - 20 -‎