高考数学模拟试卷 2 (5)

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- 1 - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学（七）(21) 本试题卷共 8 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域 均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集  1,2,3,4U  ，若  1,3A  ，  3B  ，则   U UA B痧 等于（ ） A． 1,2 B． 1,4 C． 2,3 D． 2,4 2．已知复数 z 满足  3 4i 3 4iz    ， z 为 z 的共轭复数，则 z  （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4 3．如果数据 1x ， 2x ，…， nx 的平均数为 x ，方差为 28 ，则 15 2x  ， 25 2x  ，…，5 2nx  的平均数和方差分别为（ ） A． 2,8x B． 25 2,8x  C． 25 2,25 8x   D． 2,25 8x  4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺， 第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） - 2 - A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知 0.41.9a  ， 0.4log 1.9b  ， 1.90.4c  ，则（ ） A． a b c  B． b c a  C． a c b  D． c a b  6．如图，在圆心角为直角的扇形 O A B 区域中， M ， N 分别为OA，OB 的中点， 在 M ，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA，OB 为直径 的圆，在扇形 O A B 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ） A． 21  B． 1 1 2   C． 42   D． 1  7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A． 2 3 B．1 C． 4 3 D． 8 3 8．已知函数   20172017 logxf x    2 1 2017 3xx x     ，则关于 x 的不等式    1 2 6f x f x   的解集为（ ） A． ,1 B． 1, C． 1,2 D． 1,4 9．在如图所示的程序框图中，若输入的 2s  ，输出的 2018s  ，则判断框内可以 填入的条件是（ ） - 3 - A． 9i  B． 10i≤ C． 10i≥ D． 11i≥ 10．已知关于 x 的方程  sin sin 2x x m       在区间 0,2 上有两个根 1 2,x x ， 且 1 2x x ≥ ，则实数m的取值范围是（ ） A． 5,1 B． 5,1  C． 1, 5 D． 0,1 11．已知  f x 是函数  f x 的导函数，且对任意的实数 x 都有      e 2 3xf x x f x    （e 是自然对数的底数），  0 1f  ，若不等式   0f x k  的解集中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围是（ ） A． 2 1 ,0e     B． 2 1 ,0e     C． 2 1 ,0e     D． 2 1 ,0e     12．已知椭圆 2 2 15 y x  与抛物线 2x ay 有相同的焦点 F ，O 为原点，点 P 是抛物 线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且 4AF  ，则 PA PO 的最小值为（ ） A．2 13 B．4 2 C．3 13 D．4 6 第Ⅱ卷 本 卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 - 4 - 13．已知变量 ,x y 满足约束条件 1 0 3 1 0 1 0 x y x y x y            ，则 2 3z x y  的最大值为 ___________． 14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位 歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我 没有获奖”．在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是 __________． 15．在面积为 2 的平行四边形 A B C D 中，点 P 为直线 A D 上的动点，则 2 PB PC BC    的最小值是__________． 16．已知 a ，b ， c 是锐角 ABC△ 的内角 A ， B ，C 所对的边， 3b  ，且满足 2 cos cosc a B Ab   ，则 a c 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设正项等比数列 na ， 4 81a  ，且 2a ， 3a 的等差中项为  1 2 3 2 a a ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 3 2 1logn nb a  ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，数列 nc 满足 1 4 1n n c S   ， nT 为数 列 nc 的前 n 项和，求 nT ． - 5 - 18．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000 名男生的身高服从正态分 布  170.5 16N ， ，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测 学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 一组[157.6 162.5)， ，第二组 162.5 167.5， ，…，第六组 182.5 187.5， ，下图是按照 上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）求该学校高三年级男生的平均身高； （2）求这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数； （3）从这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取 2 人，该 2 中身高排名（从高到低）在全省前1 3 0 名的人数记为 ，求 的数学期望． （附：参考数据：若 服从正态分布  2N  ， ，则 ( ) 0.6826P        ≤ ， ( 2 2 ) 0.9544P        ≤ ， ( 3 3 ) 0.9974P        ≤ ．） - 6 - 19．棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的三视图与直观图如图所示． （1）求证：平面 1 1ACC A  平面 1 1BDD B ； （2）在线段 1DD 上是否存在一点Q，使C Q 与平面 1 1BDD B 所成的角的正弦值为 2 6 9 ？若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由． 20．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的离心率为 1 2 ，圆 2 2 2: ( 0)O x y r r   与 x 轴 交于点 M 、N ，P 为椭圆 E 上的动点， 2PM PN a  ， PMN△ 面积最大值为 3 ． （1）求圆O 与椭圆 E 的方程； （2）圆O 的切线 l 交椭圆于点 A B、 ，求 AB 的取值范围． - 7 - 21．已知定义在区间 0, 上的函数    1 ln 11 xf x txx     0t  ． （1）求函数的单调区间； （2）若不等式  e 2 0f x   恒成立，求 t 的取值范围． - 8 - 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的 极坐标方程为 2 sin 3 06         ，曲线C 的参数方程是 2cos 2sin x y      （ 为参数）． （1）求直线 l 和曲线C 的普通方程； （2）直线 l 与 x 轴交于点 P ，与曲线C 交于 A ， B 两点，求 PA PB ． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数   1 2018f x x   ． （1）解关于 x 的不等式   2018f x x  ； （2）若     24 3 4 1f a f a     ，求实数 a 的取值范围． - 9 - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学（七）答案(21) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．C 12．A 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．4 14．甲 15． 2 3 16．3,2 3 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【答案】（1） 3n na  ；（2） 2 1n nT n   ． 【解析】（1）设等比数列 na 的公比为  0q q  ， 由题意，得   3 4 1 2 1 1 1 1 81 3 a a q a q a q a a q         ，········3 分 解得 1 3 3 a q      ，········5 分 所以 1 1 3n n na a q   ．········6 分 （2）由（1）得 2 1 3log 3 2 1n nb n   ，········7 分    1 21 2 1 2 2 n n n nn b bS n        ，········9 分 ∴ 2 1 1 1 1 4 1 2 2 1 2 1nc n n n         ，········10 分 ∴ 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n                              ．········12 分 18．【答案】（1）1715cm． ；（2）10 人；（3） 1E  ． - 10 - 【解析】（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为 160 0.1 165 0.2 170 0.3 175 0.2 180 0.1 185 0.1 171.5cm            ．·····3 分 （2）由频率分布直方图知，后两组频率为 0.2 ，人数为 0.2 50 10  ，即这50名男生 身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数为10人．········5 分 （3）∵ (170.5 3 4 170.5 3 4) 0.9974P      ≤ ， ∴   1 0.9974182.5 0.00132P   ≥ ，而 0.0013 100000 130  ，·····6 分 所以全省前1 3 0 名的身高在182.5cm 以上（含182.5cm ），这50人中182.5cm 以上（含 182.5cm ）的有 5 人．········7 分 随机变量 可取 0 ，1 ， 2 ，········8 分 于是   2 5 2 10 10 20 45 9 Cp C      ，   1 1 5 5 2 10 25 51 45 9 C CP C     ，   2 5 2 10 10 22 45 9 CP C      ；·11 分 ∴ 2 5 20 1 2 19 9 9E        ．········12 分 19．【答案】（1）见解析；（2）点Q在 1DD 的中点位置，理由见解析． 【解析】（1）根据三视图可知 1AA  平面 A B C D ， A B C D 为正方形， 所以 A C B D ．········1 分 因为 B D  平面 A B C D ，所以 1AA BD ，········2 分 又因为 1AA AC A ，所以 B D  平面 1 1ACC A ．········4 分 因为 B D  平面 1 1BDD B ，所以平面 1 1ACC A  平面 1 1BDD B ．········5 分 （2）以 A 为坐标原点， AB ， AD ， 1AA 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直 角坐标系，如图所示， 根据三视图可知 A B C D 为边长为 2 的正方形， 1 1 1 1A B C D 为边长为 1 的正方形， - 11 - 1AA  平面 A B C D ，且 1 1AA  ． 所以  1 1,0,1B ，  1 0,1,1D ，  2,0,0B ，  0,2,0D ，  2,2,0C ． 因为Q在 1DD 上，所以可设  1 0 1DQ DD   ≤ ≤ ． 因为  1 0, 1,1DD   ， 所以 1AQ AD DQ AD DD             0,2,0 0, 1,1 0,2 ,       ． 所以  0,2 ,Q   ，········7 分  2, ,CQ     ．········8 分 设平面 1 1BDD B 的法向量为  , ,x y zn ， 根据        1 , , 2,2,0 00, , , 0, 1,1 00 x y zBD x y zDD                  n n ， 令 1x  ，可得 1y z  ，所以  1,1,1n ．········9 分 设C Q 与平面 1 1BDD B 所成的角为 ， 所以 sin cos , CQ CQ CQ            n n n    2 2 22 2 2 2 6 93 4 23 2                ． 所以 1 2   ，即点Q在 1DD 的中点位置．········12 分 20．【答案】（1）圆O 的方程为 2 2 1x y  ，椭圆 E 的方程为 2 2 14 3 x y  ；（2） 4 63 3       ， ． 【解析】（1）由题意得 2 2 1 2 c a be a a    ，解得： 3 2b a ①········1 分 因为 2PM PN a  ，所以，点 M N、 为椭圆的焦点，所以， 2 2 21 4r c a  ；···2 分 设  0 0,P x y ，则 0b y b   ，所以 0 0 1 2PMNS r y a y  △ ，当 0y b 时，  max 1 32PMNS ab △ ，代入①解得 2a  ，所以 3b  ， 1c  ，········4 分 所以，圆O 的方程为 2 2 1x y  ，椭圆 E 的方程为 2 2 14 3 x y  ．········5 分 - 12 - （2）①当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y kx m  ，  1 1,A x kx m ，  2 2,B x kx m ， 因为直线 l 与圆相切，所以 2 1 1 m k   ，即 2 21m k  ， 联立 2 2 1 4 3 x y y kx m       ，消去 y 可得 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m     ，    2 2 248 4 3 48 3 2 0k m k       ， 1 2 2 8 4 3 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k   ，···7 分   2 222 2 1 2 1 2 2 4 31 4 4 3 1 4 3 k mAB k x x x x k k               2 2 2 2 2 2 3 1 3 13 34 3 1 3 2 4 4 4 4 34 3 4 k kk k k k                       2 22 1 1 1 13 3316 23 44 kk             ；········9 分 令 2 1 3 4 t k   ，则 2 1 40 3 3 4 t k    ≤ ，所以 21 13 316 2AB t t     ， 40 3t  ， 所以  213 4 416AB t     ，所以 4 63 3AB ≤ ．········10 分 ②当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 1x   ，解得 3 31, , 1, , 32 2A B AB           ，····11 分 综上， AB 的取值范围是 4 63 3       ， ．········12 分 21．【答案】（1）见解析；（2） 1, ． 【解析】（1）         2 2 2 2 2 11 1 1 t tx tf x txx x tx         ，·······1 分 - 13 - ①当 2t≥ 时，  f x ≥0 ．即  f x 是 0, 上的增函数．·······3 分 ②当0 2t  时，      2 2 2 1 1 t tt x xt tf x x tx              ，令   0f x  得 2 tx t  ， 则  f x 的增区间为 2 ,t t       ，减区间为 20, t t      ．·······5 分 （2）由不等式  e 2 0f x  ≥ ，  0,x  恒成立，得不等式   ln 2f x ≥ ，  0,x  恒 成立． ①当 2t≥ 时，由（1）知  f x 是 0, 上的增函数，    min 0 1 ln 2f x f      ， 即当 2t≥ 时，不等式   ln 2f x ≥ ，  0,x  恒成立．·······7 分 ②当0 2t  时， 20, tx t      ，   0f x  ， 2 ,tx t       ，   0f x  ．···8 分 令 2 t ut   ，则 0u  ， 2 2 1t u   ．        2 min 1 2ln 1 ln 11 uf x f u u uu           ，·······9 分 要使不等式   ln 2f x ≥ ，  0,x  恒成立， 只要    21 2ln 1 ln 1 ln 21 u u uu      ≥ ． 令      21 2ln 1 ln 1 ln 21 ug u u uu       ，  0,u  ．      2 22 2 2 2 2 2 2 01 1 11 1 u u ug u u u uu u           ．  g u 是 0, 上的减函数，又  1 0g  ，    0 1g u g ≥ ，则0 1u ≤ ，即 2 1t t  ≤ ，解得 1t≥ ，故1 2t ≤ ，····11 分 综合①，②得 1t≥ ，即t 的取值范围是 1, ．·······12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．【答案】（1）C 的普通方程为 2 2 4x y  ， l 的普通方程为 3 3 0x y   ； - 14 - （2）3 3 ． 【解析】（1） 2 sin 3 06         ， 化为 3 sin cos 3 0      ，即l 的普通方程为 3 3 0x y   ， 2cos 2sin x y        消去 ，得C 的普通方程为 2 2 4x y  ．········5 分 （2）在 3 3 0x y   中，令 0y  得  3,0P ， ∵ 3 3k   ，∴倾斜角 5 6   ， ∴ l 的参数方程可设为 53 cos 6 50 sin 6 x t y t       ，即 33 2 1 2 x t y t         ， 代入 2 2 4x y  得 2 3 3 5 0t t   ， 7 0   ，∴方程有两解， 1 2 3 3t t  ， 1 2 5 0t t   ，∴ 1t ， 2t 同号， 1 2PA PB t t   1 2 3 3t t   ．········10 分 23．【答案】（1） 1| 2x x    ；（2） 2 6， ． 【解析】（1）   2018f x x  可化为 1x x  ，所以 2 21x x  ， 所以 1 2x  ，所以所求不等式的解集为 1| 2x x    ．········5 分 （2）因为函数   1 2018f x x   在 1  ， 上单调递增， 4 3 1a    ， 24 1 1a   ≥ ，     24 3 4 1f a f a     ． 所以  24 3 4 1a a     ， 所以  4 1 4 2 0a a     ，所以 4 2a   ，所以 2 6a  ． 即实数 a 的取值范围是 2 6， ．········10 分