山西省2020届高三下学期开学旗开得胜模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 高三开学“旗开得胜”高考模拟摸底考试 数学（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算求得，由此求得对应的坐标，进而求得在复平面内对应的点所在象限.‎ ‎【详解】因为，对应点为，所以 - 20 -‎ 在复平面内对应的点位于第二象限.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.‎ ‎3.数列为递增的等比数列，且，，则公比（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质，由已知条件求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】因为，，且数列为递增教列，所以，，而，，从而.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“分段法”，比较出的大小关系.‎ ‎【详解】因为，，，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查“分段法”比较大小，考查指数函数、对数函数和幂函数的性质，属于基础题.‎ - 20 -‎ ‎5.将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行），‎ 则抽取的第11个个体是（ ）‎ A. 38 B. 13 C. 42 D. 02‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表法，判断出所抽取个体.‎ ‎【详解】随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.‎ ‎6.已知直线平面，则“平面平面”是“直线平面”的（ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.‎ ‎【详解】若直线平面，平面平面，此时直线与平面可能平行，所以充分性不成立；若直线平面，直线平面，则平面平面，所以必要性成立.‎ 故选:B ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间线面、面面的位置关系，属于基础题.‎ ‎7.已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.‎ ‎【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有 共37个，‎ 满足的整数点有7个，则所求概率为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性、某个区间上的函数值的符号、某个区间上的单调性，判断出正确选项.‎ ‎【详解】由题易知函数为偶函数，排除A选项；‎ 当时，，，所以，排除B选项；‎ 当时，，，所以函数在上单调递增，排除D选项.‎ - 20 -‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.‎ ‎9.已知正项数列的前项和为，且，则数列的前999项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据求得数列的通项公式以及前项和，利用裂项求和法求得数列的前项的和.‎ ‎【详解】因为，，所以当时，，解得，‎ 当时，，所以.‎ 因为，从而，‎ 所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，‎ 所以，，，所以，‎ 故数列的前999项的和为.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差数列前项和，考查裂项求和法，属于中档题.‎ - 20 -‎ ‎10.更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”.若执行该程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A. 14 B. 12 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图进行计算，求得输出的的值.‎ ‎【详解】，，；‎ ‎，，；；；‎ ‎；；；.‎ ‎，输出.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，考查中国古代数学文化，属于基础题.‎ ‎11.在直角坐标系中，，分别是双曲线：的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用以及求得，根据的取值范围求得的取值范围，由此求得的取值范围，进而求得双曲线的离心率的取值范围.‎ ‎【详解】，由，可得，又，解得，由于，所以，，，，.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的取值范围的求法，考查向量数量积的坐标表示，属于中档题.‎ ‎12.已知函数是减函数，则正数（ ）‎ A 9 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的单调性，判断出恒成立，利用的导函数研究的最大值，由此列方程求得的值.‎ ‎【详解】由是减函数，得对任意的，都有恒成立.设.‎ ‎∵，，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在 - 20 -‎ 时取得最大值.又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为，∴，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.抛物线的焦点为，则______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的焦点坐标求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】由焦点为，得抛物线开口向左，且，即，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据抛物线的焦点坐标求参数，属于基础题.‎ ‎14.已知向量，，.若，，三点共线，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三点共线，以及向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】，因为，，三点共线，所以，所以，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三点共线求参数，考查向量共线的坐标表示，属于基础题.‎ - 20 -‎ ‎15.已知函数在上的最大值为1且单调递增，则的最大值为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在给定区间上的最大值和单调性，求得的值，由此求得的最小值，进而求得的最大值.‎ ‎【详解】由于，所以，而在上递增，且最大值为，所以，所以，即.由，，.所以，则，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数的单调性和最值求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，‎ 则，所以，所以球的半径，‎ - 20 -‎ 则球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在中，角所对的边分别是，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理到，得到答案.‎ ‎（2）计算，再利用余弦定理计算得到答案 ‎【详解】（1）由，可得 ‎,‎ 因为，所以，所以.‎ - 20 -‎ ‎（2），又因为，所以.‎ 因为，所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作答，满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.‎ ‎（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为000~999的成绩中随机确定的编号为026，求样本中的最大编号.‎ ‎（2）若采用分层抽样法，按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层，已知该校共有600名考生选择了选修4-4，400名考生选择了选修4-5，在选取的样本中，选择选修4-4的平均得分为6分，方差为2，选择选修4-5的平均得分为5分，方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.‎ ‎【答案】（1）（2）估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求得组距，再求得样本中的最大编号.‎ ‎（2）根据样本中选和选的平均得分和得分的方差列方程，由此计算出抽样的人的平均得分和得分的方差，进而估计出该校名考生选做题的平均得分和得分的方差.‎ ‎【详解】（1）组距为，所以最大编号为.‎ ‎（2）样本中选择选修4-4的考生有6人，4-5的考生有4人，所以得分平均数为，‎ 从选择选修4-4的考生中抽取6人，分别记为，，…，，‎ 从选择选修4-5的考生中抽取4人，分别记为，，，，‎ 则，‎ - 20 -‎ 由于，所以 所以，‎ 同理可求得，‎ 所以样本得分的方差为 ‎.‎ 所以估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74.‎ ‎【点睛】本小题主要考查系统抽样，考查分层抽样，考查平均数和方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面为的中点．‎ ‎（1）证明：．‎ ‎（2）若为线段上的一点，且，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明只需证明平面，只需证明和.其中需要通过平面来证明，找到条件矩形可得，条件平面可证得.可以通过等腰底边的中线即为高来证明.‎ ‎（2）利用等体积法，即可求点到平面的距离.‎ - 20 -‎ 详解】解：（1）证明：平面，，‎ ‎ 底面为矩形，，‎ 又，‎ 平面，则，‎ ‎，为的中点，‎ ‎，且，‎ 平面，‎ 则；‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，‎ 设点M到平面PCD的距离为h，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理，线线垂直的证明问题，利用等体积法求点到平面的距离问题，属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求正整数的最小值．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出切线斜率，切点坐标，即可求得切线方程；‎ - 20 -‎ ‎（2）分离参数得对恒成立，构造新的函数，对求导，得，再构造函数.再求，分析的单调性，利用零点存在定理发现在区间上存在一个零点，由得.同时可得时，单调递增，时，单调递减，则，则.又因为，m为正整数，所以的最小值是1.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 切线的斜率为，‎ 又，‎ 所求切线的方程为；‎ ‎（2）当时，整理可得，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 由，得，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎，，‎ 在区间上存在一个零点，‎ 此时，即，‎ 当时，，即，函数单调递增，‎ 当时，，即，函数单调递减，‎ 有极大值，即最大值为 ‎，‎ - 20 -‎ 则，‎ ‎，‎ 正整数的最小值是1.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导函数求切线方程，利用导函数解决不等式恒成立，构造函数求函数的最值的问题，属于难度较大的题.‎ ‎21.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点且与直线平行的直线与椭圆交于，两点，若点满足，且与椭圆的另一个交点为，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意知是以为斜边的等腰直角三角形，从而求得B点坐标，代入椭圆方程求出 ，即可得解；(2)设点，，，直线的方程与椭圆方程联立求出，，，利用计算出点Q的坐标, 因为点在椭圆上，所以，整理得，因为， ，，方程解得，即.‎ ‎【详解】解：（1）因为直线的斜率为1，且，‎ 所以是以为斜边的等腰直角三角形，‎ - 20 -‎ 从而有，‎ 代人椭圆的方程，得，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）得，所以直线的方程为.‎ 设点，，，‎ 将代入，得，‎ 所以，，‎ 所以.‎ 因为，所以，所以.‎ 设，则，，‎ 所以 因为点在椭圆上，所以，‎ 所以，‎ 整理得，.‎ 由上得，且可知，，‎ - 20 -‎ 所以，整理得，‎ 解得或（舍去），即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数方程中的参数，求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得的直角坐标方程.‎ ‎（2）求得曲线的标准参数方程，代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得的值.‎ ‎【详解】（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得，‎ - 20 -‎ 由曲线的极坐标方程为，得，‎ 所以的直角坐方程为，即.‎ ‎（2）因为在曲线上，‎ 故可设曲线的参数方程为（为参数），‎ 代入化简可得.‎ 设，对应的参数分别为，，则，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1），‎ - 20 -‎ 不等式，即或或，‎ 即有或或，‎ 所以所求不等式的解集为.‎ ‎（2），，‎ 因为，，‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 因为，所以只要证，‎ 即证，‎ 即证，因，所以只需证，‎ 因为，所以成立，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.‎ - 20 -‎ - 20 -‎