陕西省咸阳市2020届高三第二次高考模拟检测数学（理）试题 Word版含解析

陕西省咸阳市2020届高三第二次高考模拟检测数学（理）试题 Word版含解析

- 1 - 咸阳市 2020 年高考模拟检测（二） 数学（理科）试题 注意事项： 1.本试卷共 4 页满分 150 分，时间 120 分钟； 2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、 准考证号； 3.第Ⅰ卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨 水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接用补集，交集的概念运算即可. 【详解】 ， ， ，则 . 故选：A. 【点睛】本题考查交集，补集的运算，是基础题. 2.已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部. U = R { }| 0A x x= > { }| 1B x x= > − ( )∩ =UC A B ( ]1,0− ( )1,1− ( )1,− +∞ [ )0,1 { }| 0A x x= > { }| 1B x x= > − { }| 0UC A x x= ≤ ( ) ( ]1,0UC A B = − 4 1z i = + i z 2i 2− 2i− - 2 - 【详解】由题意得: ， 的虚部为 . 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 3.已知向量 , ,向量 在向量 上的投影等于（ ） A. B. 9 C. −3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出 以及 的值,即可求出向量 在向量 上的投影. 【详解】解:由题意知, , 则 故选:D. 【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量 在 另一个向量 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即 ;另外还可以由向量数量 积的运算可知, . 4.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角 形的数，如 1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛 积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1 个球，下 一层 3 个球，再下一层 6 个球，）若一“落一形”三角锥垛有 10 层，则该堆第 10 层球的个数 为（ ）. 4 4(1 ) 4(1 ) 2 21 (1 )(1 ) 2 i iz ii i i − −= = = = −+ + − ∴ z 2− ( )1,3a = ( )3,2b = a b 9 10 10 9 13 13 b a b⋅  a b 2 23 2 13b = + = 1 3 3 2 9a b⋅ = × + × = 9 13cos , 13 a ba a b b ⋅= =    a b cos ,a a b  cos , a ba a b b ⋅=    - 3 - A. 66 B. 55 C. 45 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形数的特征可得通项公式 ,代入 可得选项. 【详解】设数列 为数列 ， 则 所以 即 ， 所以该堆第 10 层球的个数为 ， 故选：B. 【点睛】本题考查以数学文化为背景 等差数列的通项的求法，找出数列的项之间的关系是 解决本题的关键，属于基础题. 5.已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的极差为 12 B. 该组数据的中位数为 21 C. 该组数据的平均数为 21 D. 该组数据的方差为 11 【答案】D 【解析】 【分析】 通过茎叶图计算出极差、中位数、平均数和方差，由此确定正确选项. 【详解】根据茎叶图可知，数据为 ，所以： 极差 ，A 选项正确. 的 为 2 2n n na += 10n = 1,3,6,10,15… { }na 1 2 1 3 2 11 2 3 n na a a a a a a n−= − = − = − =， ， ， ， ， ( )+11+2+3+ + 2n n na n= = ， 2 2n n na += 2 10 10 10 =552a += 14,18,20,20,21,22,23,25,26 26 14 12− = - 4 - 中位数为 ，B 选项正确. 平均数为 ，C 选项正确. 方差为 ，D 选项错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据茎叶图计算极差、中位数、平均数和方差，属于基础题. 6.已知 ，则下列不等式不成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式 不成立的选项. 【详解】依题意 ，由于 为定义域上的减函数，故 ，故 A 选 项不等式成立.由于 为定义域上的增函数，故 ，则 ，所以 B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于 ，故 ，所以 C 选项不等式成立. 综上所述，本小题选 B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题. 7.已知 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且 ， ，则 “ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分 也不必要条件 【答案】C 21 14 18 20 20 21 22 23 25 26 219 + + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 14 21 18 21 20 21 2 21 21 22 21 23 21 25 21 26 219  − + − + − × + − + − + − + − + −  [ ]1 10649 9 2 0 1 4 16 25 119 9 = + + + + + + + = ≠ 0 1a b< < < 1 1( ) ( )2 2 a b> ln lna b> 1 1 a b > 1 1 ln lna b > 0 1a b< < < 1 2 x y  =    1 1( ) ( )2 2 a b> lny x= ln ln 0a b< < 1 1 ln lna b > 0 1a b< < < 1 1 a b > a β⊂ bα β = //a α / /a b - 5 - 【解析】 【分析】 根据线面平行的性质定理和判定定理判断 与 的关系即可得到答案. 【详解】若 ，根据线面平行的性质定理，可得 ； 若 ，根据线面平行的判定定理，可得 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题. 8. 的展开式中 项的系数为（ ）. A. 24 B. 18 C. 12 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由 展开式中含 的项为： ，计算可得选项. 【 详 解 】 展 开 式 中 含 的 项 为 ： ， 所以 的展开式中 项的系数为 18， 故选：B. 【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，关键在于理解二项式展开式的意义，属 于基础题. 9.若 ，且 ，则 的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据余弦的二倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得 ，再将其两边 平方和运用正弦的二倍角公式可得选项. //a α //bα //a α //a b //a b //a α 3(2 1)( 2)x x− + 2x 3(2 1)( 2)x x− + 2x ( )1 2 2 2 3 32 2 1 2x C x C x⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ 3(2 1)( 2)x x− + 2x ( )1 2 2 2 2 2 2 3 32 2 1 2 24 6 18x C x C x x x x⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ = − = 3(2 1)( 2)x x− + 2x 0, 2 πα  ∈   2cos2 sin 4 πα α = +   sin 2α 1 8 3 8 1 2 7 8 22(cos sin ) 2 α α− = - 6 - 【 详 解 】 因 为 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D. 【点睛】本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值， 关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题. 10.抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐 近线，则 的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得 选项. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，双曲线 的右焦点坐标为 ,两焦点的连线的方程为 ， 又双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，解得 ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，两直线垂直的条件，属于基础题. 11.将函数 的图象向右平移 个单位长度单位后得函数 图象，若 为偶函数，则（ ） 2cos2 sin 4 πα α = +   ( )2 2 22 cos sin (sin cos )2 α α α α∴ − = + 0, sin cos 02 πα α α ∈ ∴ + >   ， 22(cos sin ) 2 α α∴ − = 2cos sin 4 α α∴ − = 2 2 1cos 2sin cos sin 8 α α α α∴ − + = 11 sin 2 8 α∴ − = 7sin 2 8 α∴ = 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 116 9 x y− = p 40 3 5 2 20 3 8 7 3 2 2 ( 0)x py p= > 0, 2 p     2 2 116 9 x y− = (5,0) ( 5)10 py x= − − 3 4y x=± 3 110 4 p− × = − 40 3p = ( )cos 2 2 2y x π πϕ ϕ = + − < <   3 8 π ( )f x ( )f x - 7 - A. 在区间 上单调递减 B. 在区间 匀上单调递 增 C. 在区间 上单调递减 D. 在区间 上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数平移关系求出 的解析式，结合 是偶函数求出 ，利用三角函数的单 调性进行求解即可. 【详解】解：将函数的图象 向右平移 个单位长度单位后得 函数 图象， 则 ， 若 为偶函数，则 ， 即 ， ∵ ， ∴当 时， ， 即 ， 当 时， ，此时 不具备单调性，故 A，B 错误， 当 时， ，此时 为增函数，故 D 正确， 故选：D ( )f x ,4 2 π π −   ( )f x ,4 2 π π −   ( )f x ,4 2 π π     ( )f x ,4 2 π π     ( )f x ( )f x ϕ ( )(=c s 2 2 )o 2y x π πϕ ϕ+ − ＜ ＜ 3 8 π ( )f x 3 3( ) cos 2 cos 28 4f x x x π πϕ ϕ    = − + = + −         ( )f x 3 ,4 k k Z πϕ π− = ∈ 3 ,4 k k Z πϕ π= + ∈ 2 2 π πϕ− < < 1k −＝ 4 πϕ −＝ 3( ) cos 2 cos(2 ) cos24 4f x x x x π π π = − − = − = −   4 2x π π− ≤ ≤ 22 x π π− ≤ ≤ ( ) cos2f x x= − 4 2 π πx≤ ≤ 22 x π π≤ ≤ ( ) cos2f x x= − - 8 - 【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力. 12.已知函数 ，则函数 的零点个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先研究函数 的性质，然后结合函数的图像整理计算即可求得最终结果. 【详解】当 时， ， 据此可得函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调 递增， 由函数的解析式易知函数在区间 上单调递减， 绘制函数图像如图所示， 注意到 ， 故方程 的解： ， 则原问题转化为求方程 时解的个数之和， 由函数图像易知满足题意的零点个数为 7 个. 本题选择 B 选项. ( ) ( ) 3 2 3 1 3 2, 53 log 4 , 5 x x x xf x x x  − − + ≤=  − + > ( )( )y f f x= 6 7 9 10 ( )f x 5x ≤ ( ) ( )( )2' 2 3 1 3f x x x x x= − − = + − ( ), 1−∞ − ( )1,3− ( )3,5 ( )5,+∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0, 2 0, 0 0, 1 0, 4 0, 5 0f f f f f f− − > < ( ) 0f t = ( ) ( ) ( )1 2 33, 2 , 0,1 , 4,5t t t∈ − − ∈ ∈ ( ) ( )1,2,3if x t i= = - 9 - 【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分类讨论的数学思想，函数的零点问题等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】 先作出不等式组所表示的可行域，再运用目标函数的几何意义得出最值. 【详解】由不等式组作出可行域如下图所示，由 ，得 ，由图示可知直线 过点 C 时， 取得最大值， 由 得 ，所以 的最大值为 ， 故答案为：6. x y 2 0 3 3 0 3 0 x y x y x − ≥  + − ≥  − ≤ 2z x y= − 2z x y= − 2y x z= − 2y x z= − 2z x y= − 3 3 0 3 0 x y x + − =  − = ( )3,0C 2z x y= − 2 2 3 0 6z x y= − = × − = - 10 - 【点睛】本题考查不等式组所表示的可行域和线性目标函数的最值求解，正确理解目标函数 的几何意义是解决本题的关键，属于基础题. 14.已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 ________. 【答案】3 【解析】 【分析】 由已知可得， 是函数 的一个周期，所以 ，再由 ， 可求得 ，可得答案. 【 详 解 】 由 已 知 可 得 ， ， 则 有 ，则 是函数 的一个周期， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档 题. 15.在 中内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为________. R ( )f x 3( ) 2f x f x = − +   ( 2) 3f − = (2020)f = 3 ( )f x (2020) (1)f f= ( 2) 3f − = ( )1 3f = 3 ( )2f x f x + = −   3 3 3( 3) + + ( )2 2 2f x f x f x f x   + = = − + =       3 ( )f x (2020) (673 3 1) (1)f f f= × + = ( 2) 3f − = ( ) ( )1 2 3f f= − = (2020) 3f = ABC A B C a b c 1a = 2b = 2sin sin cos sinA B C C= ABC - 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件和正弦定理可得 ，又由余弦定理可得 ，可求得 c，得出 是直角三角形，可求得其面积. 【详解】由已知条件 和正弦定理得 ，又根据余弦定理得 ， ， 又 ， 是直角三角形， ， 故答案为： . 【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理进行三角形的边角互转，关键在于正确选择和运 用相应的公式，属于中档题. 16.已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球 的表面上，若球 的表面积为 ，则该 三棱柱的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 通过球的内接体,说明几何体的中心是球的球心,由球的表面积求出球的半径,设出三棱柱的底 面边长,通过解直角三角形求得棱长,然后由棱柱的体积公式可得答案. 【详解】如图,因为直三棱柱 的所有棱长都相等,6 个顶点都在球 O 的球面上,所 以三棱柱为正三棱柱,且其中心为球的球心, 设球心为 O,再设球的半径为 r,由球 O 的表面积为 ,得 ， 设三棱柱的底面边长为 a,则上底面所在圆的半径为 ,且球心 O 到上底面中心 H 的距离 , 1 2 2cosab c c= 2 2 23a b c+ = ABC∆ 2sin sin cos sinA B C C= 2cosab c c= 2 2 2 2 2 a b cab cab + −× = 2 2 23a b c∴ + = 1, 2 1a b c= = ∴ = ， ABC∆∴ 1 1 11 12 2 2ABCS a c∴ = × × = × × =  1 2 O O 56π 36 2 1 1 1ABC A B C− 56π 24 56 14r rπ π= ∴ =， 3 3 a 2 aOH = - 12 - ,即 , .则三棱柱的底面积为 . . 故答案为: . 【点睛】本题考查球的内接正棱柱与球的关系,关键在于求得球心的位置和球的半径,考查计算 能力,属于中档题. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.已知等差数列 满足 ， ，其前 项和为 . （1）求数列 的通项公式 及 ； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 (1)根据等差数列的通项公式和性质求出首项、公差,即可得到通项公式, (2) ,求得通项,利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得： ， ， 22 2 3 2 3 ar a   ∴ = +         7 12r a= 2 6a∴ = 23 (2 ) 34 6 6S = × = 1 1 1 6 3 2 366 2ABC A B CV −∴ = × = 36 2 { }na 2 3a = 4 7 20a a+ = n nS { }na na nS 2 n n n ab = { }nb n nT 2 1na n= − 2 nS n= 2 33 2n n nT += − 2 n n n ab = { }na d 1 1 3 2 9 20 a d a d + =  + = 1 1a = 2d = - 13 - ∴ ， ， ∴ ， ， （2）因为 ，所以 ， 所以 ，① ①式两边同时乘 ，得 ，② 所以①-②可得， ， ，即 ， 所以 . 【点睛】本题考查等差数列的通项和前 n 项和公式的求解，以及运用“错位相减法”求数列 的和，属于中档题. 18.已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面 ，且 ， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， .根据平面几何知识和线面垂直的判定可 证得 平面 ，再证得 ，可证明平面 平面 . （2）由线面角的定义可得 为 与平面 所成的角，再以点 为坐标原点，分 ( )1+2 1 2 1na n n= − = − ( ) 21+2 1 2n n nS n −= = 2 1na n= − 2 nS n= 2 n n n ab = ( )2 1 12 12 2 n n n nb n −  = = − ⋅   1 2 3 2 3 1 3 5 2 1+ + + + 2 2 2 2n n n nT b b b b −= = + + +…+ 1 2 2 3 4 1 1 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2n n nT + −= + + +… 2 3 1 1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2n n n nT + − = + + + + −  … 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2 2n n n nT + − = + + + − −  … 1 1 1 1 2 12 12 2 2 2n n n nT + − = − − −   2 33 2n n nT += − P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD //AB CD 2 2CD AB AD= = AD CD⊥ PBC ⊥ PBD PB ABCD 45° B PC D− − 1 2 CD E AE BE BD AE ⊥ PBD //BC AE PBC ⊥ PBD PBD∠ PB ABCD D - 14 - 别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面 和平面 的法向量，由二面角的向量求解方法可求得二面角 的余弦值. 【详解】解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， . ∵ ，∴ . 又∵ ， ，∴四边形 为正方形，则 . ∵ 平面 ， 平面 ，∴ . ∵ ，∴ 平面 . ∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ， ∴ 平面 .又 平面 ， ∴平面 平面 . （2）∵ 平面 ，∴ 为 与平面 所成的角， 即 ，则 . 设 ，则 ， ， 以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则 ， ， ， ， . ∵ 平面 ，∴平面 的一个法向量 . 设平面 的法向量 ，∵ ， ， 则 ，取 ，则 . 设二面角 的平面角为 ，∴ . 由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题考查的知识点是空间中的面面垂直关系,运用空间向量求解二面角大小.考查空间 DA DC DP x y z PDC PBC D PC B− − CD E AE BE BD 2CD AB= AB DE= AB AD= AD DC⊥ ABED AE BD⊥ PD ⊥ ABCD AE ⊂ ABCD PD AE⊥ PD BD D∩ = AE ⊥ PBD AB EC= //AB EC ABCE //BC AE BC ⊥ PBD BC ⊂ PBC PBC ⊥ PBD PD ⊥ ABCD PBD∠ PB ABCD 45PBD∠ = ° PD BD= 1AD = 1AB = 2CD = 2PD BD= = D DA DC DP x y z (0,0,0)D (1,0,0)A (0,0, 2)P (1,1,0)B (0,2,0)C DA ⊥ PDC PDC (1,0,0)DA = PBC ( , , )m x y z= (1,1, 2)PB = −uuur ( 1,1,0)BC = − 2 0 0 PB m x y z BC m x y  ⋅ = + − = ⋅ = − + =     1x = (1,1, 2)m = D PC B− − θ | | 1 1cos 2| | | | 2 1 1 m DA m DA θ ⋅= = = ⋅ + + uuurr uuurr D PC B− − D PC B− − 1 2 - 15 - 想象、推理论证、计算能力，属于中档题. 19.已知某校 6 个学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号 1 2 3 4 5 6 数学 89 87 79 81 78 90 物理 79 75 77 73 72 74 （1）若在本次考试中，规定数学在 80 分以上（包括 80 分）且物理在 75 分以上（包括 75 分） 的学生为理科小能手.从这 6 个学生中抽出 2 个学生，设 表示理科小能手的人数，求 的 分布列和数学期望； （2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在 上述表格是正确的前提下，用 表示数学成绩，用 表示物理成绩，求 与 的回归方程. 参考数据和公式： ，其中 ， . 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意得 1 号学生、2 号学生为理科小能手,从而得到 X 的可能取值为 0，1，2，分别求 出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望； （2）利用最小二乘法分别求出 ， ，由此能求出 y 与 x 的回归直线方程． 【详解】（1）由题意得 1 号学生、2 号学生为理科小能手. 的可能取值为：0,1,2 P（X＝0） ， P（X＝1） ， i ix iy X X x y y x ˆˆ ˆy bx a= + 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx = = = = − − − ⋅ = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 1 291 5 5y x= + ˆb ˆa X 2 4 2 6 2 5 C C = = 1 1 2 4 2 6 8 15 C C C = = - 16 - P（X＝2） ， 的分布列为 0 1 2 （2） ， xiyi＝37828， xi2＝42476， ∴ （ 6 ）÷（ ） ， 75﹣ ×84＝ ， 回归方程为 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查回归直线方程的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用． 20.已知椭圆 过点 ，且其离心率为 ，过坐标原点 作两条互 相垂直的射线与椭圆 分别相交于 ， 两点. （1）求椭圆 的方程； （2）是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请 说明理由. 【答案】（1） （2）存在；定圆 2 2 2 6 1 15 C C = = X X P 2 5 8 15 1 15 2 8 1 2( ) 0 +1 +2 =5 15 15 3E X = × × × 84, 75x y= = 6 1i= ∑ 6 1i= ∑ ˆb = 6 1 i i i x y = −∑ xy 6 2 2 1 6i n x x = −∑ 2 37828 6 84 75 42476 6 84 − × ×= − × 1 5 = ˆˆa y bx= − = 1 5 291 5 1 291 5 5y x= + 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 31, 2      1 2 O C M N C MN 2 2 14 3 x y+ = 2 2 12 7x y+ = - 17 - 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程中,求出 a、b,即可得到椭圆 C 的方 程. (2)根据条件，分直线 的斜率不存在和直线的斜率不存在两种情况分别求出定圆的方程，, 当直线 的斜率存在时,设直线方程为 ,联立方程组,令 ，, 利用韦达定理,结合 .推出 ,利用直线 与圆相切,求出圆的 半径,得到圆的方程,即可得到结果. 【详解】解：（1）椭圆 经过点 ，∴ ，又∵ ，解之得 ， . 所以椭圆 的方程为 ； （2）当直线 的斜率不存在时，由对称性，设 ， . ∵ ， 在椭圆 上，∴ ，∴ . ∴ 到直线 的距离为 ，所以 . 当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， 由 得 . 设 ， ，则 ， . ∵ ，∴ ， ∴ . ∴ ，即 . MN MN y kx b= + ( ) ( )1 1 2 2, ,M x y N x y， 1 2 1 2 0x x y y+ = ( )2 27 12 1m k= + MN C 31, 2      2 2 1 9 14a b + = 1 2 c a = 2 4a = 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = MN ( )0 0,M x x ( )0 0,N x x− M N C 2 2 0 0 14 3 x x+ = 2 0 12 7x = O MN 0 2 21 7d x= = 2 2 12 7x y+ = MN MN y kx m= + 2 2 14 3 y kx m x y = + + = ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 8 3 4 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + OM ON⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ = ( )( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m+ + + = + + + + = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 12 81 03 4 3 4 m k mk mk k −+ ⋅ − + =+ + ( )2 27 12 1m k= + - 18 - ∴ 到直线 的距离为 ， 故存 定圆 与直线 总相切. 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,圆与椭圆的以及直线的综合应用,考查分类讨论思想、转 化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数 （ 且 ）. （1）讨论 的单调性； （2）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (2) 由 题 意 知 对 任 意 ， 恒 成 立 ， ，又由（1）可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.所以只需： ，设 ，对其求导可得 函数的单调性，从而可求得实数 的取值范围. 【详解】解：（1）由 .令 得 ， 当 时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增. 当 时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增. 综上所述， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. （2）由题意知对任意 ， 恒成立， ， 又由（1）知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.所以只需： 在 O MN 2 | | 12 2 21 7 71 md k = = = + 2 2 12 7x y+ = MN ( ) 1axf x e ax= − − a R∈ 0a ≠ ( )f x 1 2, [ 1,1]x x ∈ − ( ) ( ) 2 1 2 3f x f x e− ≤ − a [ 2,0) (0,2]−  1 2, [ 1,1]x x − ( ) ( ) 2 1 2 3f x f x e− ≤ − 2 max min( ) ( ) 3f x f x e⇔ − ≤ − ( )f x [ 1,0]− [0,1] 2 2 e e 2 0.(1) e e 2 0.(2) a a a a−  − − + ≤  + − + ≤ 2( ) 2ah a e a e= − − + a ( )' ( ) 1ax axf x ae a a e= − = − ' ( ) 0f x = ， 0x = 0a < ( , 0)x ∈ −∞ ' ( ) 0f x < ( )f x (0, )x∈ +∞ ' ( ) 0f x > ( )f x 0a > ( , 0)x ∈ −∞ ' ( ) 0f x < ( )f x (0, )x∈ +∞ ' ( ) 0 f x > ( )f x ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1 2, [ 1,1]x x − ( ) ( ) 2 1 2 3f x f x e− ≤ − 2 max min( ) ( ) 3f x f x e⇔ − ≤ − ( )f x [ 1,0]− [0,1] - 19 - ， 设 . ∵ ，∴ 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减. 注意到 ，所以，当 不等式（1）成立；当 时不等式（1）不成立. 又 ，∴当 不等式（1）也成立， 所以， 时不等式（1）成立.此时 ，不等式（2）也成立，而当 时， ，由函数 的性质知，不等式（2）不成立. 综上所述，不等式组的解为 . 又∵ ，∴实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查讨论函数的单调性，构造函数证明不等式，关键在于从所证的不等式出发， 构造合适的函数，运用求导运算，分析函数的单调性，得出函数的最值或零点，属于难度题. （二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑. 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 . （1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程； （2）若射线( 与 的异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 . 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由曲线 ： ( 为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化 公式，即可求得 ， 的极坐标方程； 2 2 2 2 2 2 (1) (0) e 3 e 1 e 3 e e 2 0.(1) ( 1) (0) e 3 e 1 e 3 e e 2 0.(2) a a a a f f a a f f a a− −   − ≤ − − − ≤ − − − + ≤ ⇔ ⇔  − − ≤ − + − ≤ − + − + ≤   2( ) 2ah a e a e= − − + ' ( ) 1ah a e= − ( )h a (0, )+∞ ( ,0)−∞ (2) 0h = 0 2a≤ ≤ 2a > 2 2 2 2( 2) 2 2 4 0h e e e e− −− = + − + = + − < 2 0a− ≤ < 2 2a− ≤ ≤ 2 2a− ≤ ≤ 2a < − 2a− > ( )h a 2 2a− ≤ ≤ 0a ≠ a [ 2,0) (0,2]−  xOy 1C 1 1 cos: sin xC y α α = +  = α 2 2 2 : 12 xC y+ = O x 1C 2C ( 0)6 πθ ρ= ≥ 1C A 2C B AB 2cosρ θ= ( )2 2 2cos 2sin 2ρ θ θ+ = 2 103 5- 1C 1 cos sin x y α α = +  = α 1C 2C - 20 - （2）分别求得点 对应的的极径 ，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线 ： ( 为参数)可化为普通方程： ， 由 可得曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 的极坐标方程为 . （2）射线 与曲线 的交点 的极径为 ， 射线 与曲线 的交点 的极径满足 ，解得 ， 所以 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化， 以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23.已知关于 的不等式 有解，记实数 的最大值为 . （1）求 的值； （2）正数 满足 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得 ，所以 ，解这个不等 式可求得 .（2）由（1）得 ，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后 利用基本不等式可求得最小值为 . 试题解析：（1） , 若不等式 有解， 则满足 ，解得 ， ∴ . ,A B 21 2 53, 10p r == 1C 1 cos sin x y α α = +  = α ( )2 21 1x y− + = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 1C 2cosρ θ= 2 2 2 : 12 xC y+ = ( )2 2 2cos 2sin 2ρ θ θ+ = ( 0)6 πθ ρ= ≥ 1C A 1 2 36cos pr = = ( 0)6 πθ ρ= ≥ 2C B 2 21 26sin pr æ öç ÷ç ÷è ø + = 2 2 10 5r = 1 2 2 103 5AB r r= - = - x 2 3 1x x m− − + ≥ + m M M a b c， ， 2a b c M+ + = 1 1 1a b b c + ≥+ + 4M = 2 3 5x x− − + ≤ 1 5m + ≤ 4M = 2 14 a b c+ + = 1 ( ) ( )2 3 2 3 5x x x x− − + ≤ − − + = 2 3 1x x m− − + ≥ + 1 5m + ≤ 6 4m− ≤ ≤ 4M = - 21 - （2）由（1）知正数 满足 ， ∴ .当且仅当 ， 时，取等号. a b c， ， 2 4a b c+ + = ( ) ( )1 1 1 1 1 4 a b b ca b b c a b b c   + = + + + +  + + + +  1 24 b c a b a b b c + + = + + + +  1 2 24 b c a b a b b c  + +≥ + ⋅  + +  1= a c= 2a b+ =