广东省深圳市高级中学2019届高三12月模拟考试数学（理）试题

广东省深圳市高级中学2019届高三12月模拟考试数学（理）试题

深圳高级中学2019届高三年级12月模拟考试 理 科 数 学 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设，是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（ ）.‎ A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（　　） ‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎4．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ）‎ A．升 B．升 C．升 D．升 ‎5.已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. 或 D．或 ‎7．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若双曲线：的一条渐近线被抛物线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎9.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像( )‎ A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.记数列的前项和为.已知，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．已知向量与的夹角为，，，则__________．‎ ‎14．若，，则__________．‎ ‎15．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为__________．‎ ‎16.中，角，，所对边分别为，，.是边的中点，且，，，则面积为 ． ‎ 三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知数列的前项和为，且，，成等差数列，．‎ ‎（l）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．‎ ‎18. 在中，内角，，的对边分别为，，且 ‎.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求.‎ ‎19．如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；[来源:学科网]‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知，过点作直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围．‎ ‎21.已知函数，其中．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以射线 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）将曲线的参数方程化成普通方程，将直线的极坐标方程化成直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线与曲线相交所得的弦的长．‎ ‎2019届高三年级12月模拟考试理科数学 答 案 ‎1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A 12,A ‎8．【解析】双曲线：的一条渐近线方程不妨设为：，与抛物线方程联立，，消去，得，所以，所以所截得的弦长为，化简可得，，，，得或（舍），所以双曲线的离心率．‎ ‎9.【解析】由图像知，，， ，，得，所以，为了得到的图像，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．‎ ‎10.该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，‎ 三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，‎ 表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝‎ ‎11‎ ‎12. 有3个不同解，令当时，令，则递减；当递增，则时，恒有得或递减；递增；时，递减，则的极小值为的极大值为结合函数图象可得实数a的取值范围是.[答案]A 二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．【解析】，，与的夹角为，，‎ 又，，故答案为．‎ ‎14．【解析】由，可得．又，结合，可得，．，故答案为．‎ ‎15． ‎ 根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边得中心的距离，根据球心O与高围成的等腰三角形，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为．‎ ‎16. ‎ 三．解答题 ‎17．【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，①·····2分 所以．②‎ ‎①－②，得，所以．·····4分 又当时，，所以，所以，‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以，即．·····6分 ‎（2）根据（1）求解知，，，所以，‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列．·····7分 又因为，，，，，，，，‎ ‎，，，·····9分 所以 ‎．·····12分 ‎18.（1）由，由正弦定理得，‎ 即，·····3分 所以，∴.·····6分 ‎（2）由正弦定理，可得，，‎ 所以.·····10分 又，，∴，解得.·····12分 ‎19．【解析】（1）取中点，连接，．‎ 为中点，，又，，‎ 为平行四边形，···········2分 ‎．‎ 又为正三角形，，从而，···········3分 又，，平面，···········4分 又平面，平面平面．···········5分 ‎（2），，又，，平面．平面为与平面所成的角，即，．···········7分 以为原点，建系如图，设，则，，，，···········8分[来源:学科网]‎ ‎，．设为平面的法向量，‎ 则，令，得，···········10分 由（1）知，为平面的一个法向量．···········11分 ‎，即二面角的余弦值为，‎ 即二面角的余弦值为．······12分 ‎20．【解析】（1）因为，所以，所以，‎ 因为，所以， 所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．·······4分 ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，‎ ‎，‎ 联立直线与椭圆，消去得，‎ ‎，，·······5分 又，解得：，·····6分 ‎，，‎ 所以，·······7分 所以：，即，‎ 化简得：，·······8分 令，得，即，·······9分 ‎，·······10分 令，则，‎ 所以，‎ 所以．·······12分 ‎21.解：（1）函数定义域为，且，，‎ 令，，·····1分 当，即时，，∴在上单调递减；·····2分 当，即时，由，解得，，‎ 若，则，∴时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；时，，单调递减；·····3分 若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；·····4分 综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；‎ 时，的单调递减区间为．·····5分 ‎（2）因为函数定义域为，且，‎ ‎∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，‎ 记，则∴，‎ 从而由且，可得，，·····7分 ‎∴，·8分 构造函数，，‎ 则，‎ 记，，则，‎ 令，得（，故舍去），‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，·····10分[来源:学*科*网]‎ 又，，‎ ‎∴当时，恒有，即，‎ ‎∴在上单调递减，∴，即，‎ ‎∴．·····12分 ‎22．【解析】（1）曲线的参数方程化成直角坐标方程为，·····2分 因为，，所以的直角坐标方程为．·····4分 ‎（2）直线的倾斜角为，过点，‎ 所以直线化成参数方程为，即，（为参数），5分 代入得，，，‎ 设方程的两根是，，则，，·····8分 所以．·····10分 ‎ ‎ ‎