高考数学二轮名师精编精析：平面向量及应用

高考数学二轮名师精编精析：平面向量及应用

平面向量及应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（宁夏，海南）已知平面向量 (11) (1 1)  ，， ，ab，则向量 13 22ab（ Ｄ ） Ａ．( 2 1)， Ｂ．( 21) ， Ｃ．( 1 0) ， Ｄ．(1 2)， 2．（福建）对于向量 ， ，a b c 和实数  ，下列命题中真命题是（ B ） A．若  0ab ，则 0a= 或 0b= B．若 0a= ，则 0  或  0a C．若 22ab，则 ab或 a = b D．若 a b = a c ，则b = c 3．（北京）已知O 是 ABC△ 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC   0，那么（ Ａ ） Ａ． AO OD Ｂ． 2AO OD Ｃ． 3AO OD Ｄ． 2AO OD 4．（湖北）将 π2cos 36 xy  的图象按向量 π 24    ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ． π2cos 234 xy    Ｂ． π2cos 234 xy    Ｃ． π2cos 23 12 xy    Ｄ． π2cos 23 12 xy    5．（江西文）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为 (0 0)O ， ， (11)B ， ，则 AB AC 1 ． 6．（陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB 、OC ,其中与 与 的夹角为 120°， 与 的夹角为 30°,且| |＝| |＝1，| |＝ 32 ，若 ＝λ +μ （λ ，μ ∈R）, 则λ +μ 的值为 6 . 7．（全国Ⅱ）在 ABC△ 中，已知内角 A   ，边 23BC  ．设内角 Bx ，周长为 y ． （1）求函数 ()y f x 的解析式和定义域； （2）求 y 的最大值． 解：（1） ABC△ 的内角和 A B C   ，由 00A B C   ， ， 得 20 B  ． 应用正弦定理，知 23sin sin 4sinsin sin BCAC B x xA    ， 2sin 4sinsin BCAB C xA    ． 因为 y AB BC AC， 所以 224sin 4sin 2 3 0 3y x x x               ， （2）因为 14 sin cos sin 2 32y x x x    54 3sin 2 3xx                     ， 所以，当 x  ，即 x   时， y 取得最大值63． ★★★高考要考什么 【考点透视】 本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标 运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式. 【热点透析】 在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知 识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量 在三角，解析几何等方面的应用. ★★★高考将考什么 【范例 1】出下列命题：①若 ba  ，则 ba  ； ②若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 DCAB  是四边形为平行四边形的充要条件； ③若 cbba  , ，则 ca  ； ④ ba  的充要条件是 且 a ∥b ； ⑤若 ∥ ，b ∥ c ，则 ∥ 。 其中，正确命题的序号是_________________. 解析： ①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。 ②正确。∵ 且 DCAB // ，又 A、B、C、D 为不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形， 则 DCABDCAB 且// ，因此 。 ③正确。∵ ，∴ 、 的长度相等且方向相同，又 = ， ∴ 、 的长度相等且方向相同，∴ 、 的长度相等且方向相同，故 。 ④不正确。当 ∥ 且方向相同，即使 ，也不能得到 。 ⑤不正确。考虑 0b 这种极端情况。 答案：②③。 【点晴】本题重在考查平面的基本概念。 【范例 2】平面内给定三个向量： )1,4(),2,1(),2,3(  cba 。回答下列问题： （1）求 cba 23  ； （2）求满足 cnbma  的实数 m 和 n ； （3）若 )( cka  ∥ )2( ab  ，求实数 k； （4）设 ),( yxd  满足 )( ba  ∥ )( cd  且 1||  cd ，求 d  解： （1）依题意，得 =3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6） （2）∵ Rnmcnbma  ,, ，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n） ∴      ,22 34 nm nm 解之得         ;9 8 ,9 5 n m （3）∵ ∥ ，且 cka  =（3+4k，2+k）， ab 2 =（-5，2） ∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴ 13 16k ； （4）∵ cd  =（x-4，y-1）， ba  =（2，4）， 又∵ ∥ 且 ， ∴      ,1)1()4( 0)1(2)4(4 22 yx yx 解之得         5 525 5 520 y x 或         5 525 5 520 y x ∴ =（ 5 520 ， 5 525  ）或 =（ 5 520 ， 5 525  ） 【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。 变式：设向量 a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数 f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函数 f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式 f(x)≥ 2 3 成立的 x 的取值集。 解：(Ⅰ)∵     2 2 2sin cos sin cos cosf x a a b a a a b x x x x x        1 1 3 21 sin 2 cos2 1 sin(2 )2 2 2 2 4x x x      （ ）＝ ∴  fx的最大值为 32 22 ，最小正周期是 2 2   。 （Ⅱ）由(Ⅰ)知   3 3 2 3sin(2 ) sin(2 ) 02 2 2 4 2 4f x x x        32 2 2 ,4 8 8k x k k x k k Z                 即   3 2fx 成立的 x 的取值集合是 33|,88x k x k k Z     . 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理 和运算能力. 【范例 3】已知射线 OA、OB 的方程分别为 )0(3 3  xxy ， )0(3 3  xxy ，动点 M、N 分别在 OA、OB 上滑 动，且 34MN 。 （1）若 PNMP  ，求 P 点的轨迹 C 的方程； （2）已知 )0,24(1 F ， )0,24(2F ，请问在曲线 C 上是否存在动点 P 满足条件 021  PFPF ，若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由。 解：（1）设 )0)(3 3,(),0)(3 3,( 222111  xxxNxxxM ， ),( yxP ， 则 )3 3,( 11 xyxxMP  ， )3 3,( 22 yxxxPN  ， 所以      yxxy xxxx 21 21 3 3 3 3 ，即      yxx xxx 32 2 21 21 。 又因为 34MN ，所以 48)](3 3[)( 2 21 2 21  xxxx ，代入得： )0,33(1436 22  yxyx 。 （2） ),( 00 yxP ，所以 ),24( 001 yxPF  ， ),24( 002 yxPF  因为 ，所以 0)24)(24( 0 2 00  yxx ，得 3222 0  oyx ， 又 1436 2 0 2 0  yx ，联立得 2 63 0 x ，因为 32 63  ，所以不存在这样的 P 点。 【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。 变式：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 (1, 3)M  ， (5,1)N ，若点 C 满足 (1 ) ( )OC tOM t ON t R    ， 点 C 的轨迹与抛物线 2 4yx 交于 A、B 两点； （1）求点 C 的轨迹方程； （2）求证：OA OB ； （3）在 x 轴正半轴上是否存在一定点 ( ,0)Pm ，使得过点 P 的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离 的 2 倍，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）设 ( , )C x y ，由 (1 )OC tOM t ON   知，点 C 的轨迹为 4yx. （2）由 2 4 4 yx yx    消 y 得： 2 12 16 0xx   设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，则 12 16xx  ， 1212xx, 所以 1 2 1 2( 4)( 4) 16y y x x     ，所以 1 2 1 2 0x x y y，于是 （3）假设存在过点 P 的弦 EF 符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为 x ky m,由 2 4 x ky m yx    消 x 得： 2 4 4 0y ky m   ，设 33( , )E x y ， 44( , )F x y ， 则 344y y k， 34 4y y m . 因为过点 P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的 2 倍，所以OE OF 即 3 4 3 4 0x x y y,所以 22 34 34 016 yy yy得 4m  ，所以存在 4m  .