2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第四章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第四章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式

www.ks5u.com 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)商数关系:=tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ+α(k∈Z)‎ π+α ‎-α π-α -α +α 正弦 sin α ‎-sin α ‎-sin α sin__α cos α cos α 余弦 cos α ‎-cos α ‎ cos α ‎ ‎-cos α ‎ sin α ‎-sin α ‎ 正切 tan α tan α ‎-tan α ‎-tan α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.同角三角函数关系式的常用变形 ‎(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α=tan α·cos α.‎ ‎2.诱导公式的记忆口诀 ‎“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.‎ ‎3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(  )‎ ‎(2)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(  )‎ ‎(3)若α∈R,则tan α=恒成立.(  )‎ ‎(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.(  )‎ 解析 (1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sin α.‎ ‎(3)中当α的终边落在y轴上,商数关系不成立.‎ ‎(4)当k为奇数时,sin α=,‎ 当k为偶数时,sin α=-.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.(新教材必修第一册P186T15改编)已知tan α=2,则=(  )‎ A. B.- C. D.- 解析 原式===.‎ 答案 A ‎3.(老教材必修4P29T2改编)已知α为锐角,且sin α=,则cos(π+α)=(  )‎ A.- B. C.- D. 解析 因为α为锐角,所以cos α==,‎ 故cos(π+α)=-cos α=-.‎ 答案 A ‎4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α-cos α=,则sin 2α=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α,‎ ‎∴sin 2α=1-=-.‎ 答案 A ‎5.(2019·济南质检)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α=(  )‎ A. B.- C. D.- 解析 ∵sin α=-,α为第四象限角,‎ ‎∴cos α==,因此tan α==-.‎ 答案 D ‎6.(2020·豫北六校精英对抗赛)若f(x)=cos+1,且f(8)=2,则f(2 018)=________.‎ 解析 ∵f(8)=cos(4π+α)+1=cos α+1=2,‎ ‎∴cos α=1,∴f(2 018)=cos +1‎ ‎=cos(1 009π+α)+1=cos(π+α)+1=-cos α+1‎ ‎=-1+1=0.‎ 答案 0‎ 考点一 同角三角函数基本关系及其应用多维探究 角度1 切弦互化 ‎【例1-1】 (1)已知β为第二象限角,tan β=-,则cos β=(  )‎ A.- B.- C.- D.- ‎(2)若tan(α-3π)=-5,则=(  )‎ A. B.- C. D.- 解析 (1)因为β为第二象限角,所以tan β===-,解得cos β=-.‎ ‎(2)由tan(α-3π)=-5,得tan α=-5,‎ 所以= ‎===.‎ 答案 (1)B (2)A 规律方法 利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.‎ 角度2 “1”的变换 ‎【例1-2】 (1)若tan(α-π)=,则=(  )‎ A.- B.-2 C. D.2‎ ‎(2)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于(  )‎ A.- B. C.- D. 解析 (1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tan α=,‎ ====2.‎ ‎(2)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ==,又tan θ=2,故原式==.‎ 答案 (1)D (2)D 规律方法 注意公式的逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.‎ 角度3 sin α±cos α与sin αcos α的转化 ‎【例1-3】 (2019·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x的方程2x2+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin θ-cos θ=(  )‎ A. B. C. D.- 解析 因为sin θ,cos θ是方程2x2+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,所以sin θ+cos θ=,sin θ·cos θ=,可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ·cos θ=1+m=,解得m=-.因为θ为第二象限角,所以sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ ‎>0,因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θ·cos θ=1-m=1+,所以sin θ-cos θ=====.故选B.‎ 答案 B 规律方法 应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.‎ ‎【训练1】 (1)(角度1)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于(  )‎ A.- B. C.- D. ‎(2)(角度2)若3sin α+cos α=0,则的值为(  )‎ A. B. C. D.-2‎ ‎(3)(角度3)已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ的值为________.‎ 解析 (1)因为α是第四象限角,sin α=-,‎ 所以cos α==,‎ 故tan α==-.‎ ‎(2)3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-,‎ == ‎==.‎ ‎(3)∵sin θ+cos θ=,∴sin θcos θ=.‎ 又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,θ∈,‎ ‎∴sin θ-cos θ=-.‎ 答案 (1)C (2)A (3)- 考点二 诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4),则sin ‎=(  )‎ A.- B.- C. D. ‎(2)已知f(α)=,则f的值为________.‎ 解析 (1)由题意知sin α=,cos α=,‎ ‎∴sin=sin=-cos α=-.‎ ‎(2)因为f(α)===cos α,‎ 所以f=cos=cos =.‎ 答案 (1)B (2) 规律方法 (1)诱导公式的两个应用 ‎①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.‎ ‎②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.‎ ‎【训练2】 已知f(α)=(sin α≠0且1+2sin α≠0),则f=________.‎ 解析 ∵f(α)= ‎===,‎ ‎∴f====.‎ 答案  考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 ‎【例3】 (1)(2020·邯郸联考)已知3sin=-5cos,则tan ‎=(  )‎ A.- B.- C. D. ‎(2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=(  )‎ A. B. C. D. 解析 (1)由3sin=-5cos,‎ 得sin=-cos,‎ 所以tan===-.‎ ‎(2)由已知得 消去sin β,得tan α=3,‎ ‎∴sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1,‎ 化简得sin2α=,则sin α=(α为锐角).‎ 答案 (1)A (2)C 规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.‎ ‎2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.‎ ‎【训练3】 (1)已知角θ的终边在第三象限,tan 2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于(  )‎ A.- B. C.- D. ‎(2)已知sin α=,则tan(π+α)+=________.‎ 解析 (1)由tan 2θ=-2可得tan 2θ==-2,‎ 即tan2θ-tan θ-=0,‎ 解得tan θ=或tan θ=-.‎ 又角θ的终边在第三象限,故tan θ=,‎ 故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ ‎=sin2θ+sin θcos θ-cos2θ ‎= ‎= ‎==.‎ ‎(2)∵sin α>0,∴α为第一或第二象限角,‎ tan(α+π)+=tan α+ ‎=+=.‎ ‎①当α是第一象限角时,cos α==,‎ 原式==;‎ ‎②当α是第二象限角时,cos α=-=-,‎ 原式==-.‎ 综合①②知,原式=或-.‎ 答案 (1)D (2)或- A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.(2019·闽粤赣三省十校联考)若α∈,sin α=,则tan α=(  )‎ A.- B.- C.- D. 解析 因为α∈,sin α=,所以cos α=-,所以tan α==-.‎ 答案 C ‎2.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),‎ ‎∴-sin θ=-cos θ,‎ ‎∴tan θ=,∵|θ|<,∴θ=.‎ 答案 D ‎3.=(  )‎ A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2‎ C.±(sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2 ‎ 解析 = ‎==|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.‎ 答案 A ‎4.(2020·成都诊断)已知cos(α+π)=,则sin=(  )‎ A. B.- C. D.- 解析 由cos(α+π)=-cos α=,得cos α=-,‎ sin=cos 2α=2cos2α-1=-.‎ 答案 D ‎5.若=,则tan θ=(  )‎ A.1 B.-1 C.3 D.-3‎ 解析 因为==,‎ 所以2(sin θ+cos θ)=sin θ-cos θ,‎ 所以sin θ=-3cos θ,所以tan θ=-3.‎ 答案 D ‎6.当θ为第二象限角,且sin=时,的值是(  )‎ A.1 B.-1 C.±1 D.0‎ 解析 ∵sin=,∴cos =,‎ ‎∴在第一象限,且cos 0,所以A为锐角,‎ 由tan A==以及sin2A+cos2A=1,‎ 可求得sin A=.‎ 答案  ‎10.已知θ为第四象限角,sin θ+3cos θ=1,则tan θ=________.‎ 解析 由(sin θ+3cos θ)2=1=sin2θ+cos2θ,得6sin θcos θ=-8cos2θ,又因为θ 为第四象限角,所以cos θ≠0,所以6sin θ=-8cos θ,所以tan θ=-.‎ 答案 - ‎11.化简:=________.‎ 解析 原式= ‎===-1.‎ 答案 -1‎ ‎12.已知tan θ=3,则cos=________.‎ 解析 ∵tan θ=3,∴cos=sin 2θ====.‎ 答案  B级 能力提升 ‎13.(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x2-7x-6=0的根,则=(  )‎ A. B. C. D. 解析 ∵方程5x2-7x-6=0的两根分别为x1=2和x2=-,∴sin α=-.‎ 则=‎ = ‎=-=,故选B.‎ 答案 B ‎14.若tan α=cos α,则+cos4α的值为(  )‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 解析 tan α=cos α⇒=cos α⇒sin α=cos2α,故+cos4α=+sin2α=sin α++1-cos2α=sin α++1-sin α=2.‎ 答案 2‎ ‎15.已知θ是三角形的一个内角,且sin θ,cos θ是关于x的方程4x2+px-2=0的两根,则θ等于________.‎ 解析 由题意知sin θ·cos θ=-,‎ 联立得或 又θ为三角形的一个内角,∴sin θ>0,则cos θ=-,‎ ‎∴θ=.‎ 答案  ‎16.(多填题)已知sincos=,且0<α<,则sin α=________,cos α=________.‎ 解析 sincos=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=.‎ ‎∵0<α<,∴0
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