高考数学人教A版(理)一轮复习:第七篇 第1讲 不等关系与不等式

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高考数学人教A版(理)一轮复习:第七篇 第1讲 不等关系与不等式

第七篇 ‎ 不等式 第1讲 不等关系与不等式 A级 基础演练 ‎(时间:30分钟 满分:55分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2011·浙江)若a,b为实数,则“0”的 (  ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当00,则有a<;若b<0,则a<0,从而有b>.故“0”的充分条件.反之,取b=1,a=-2,则有a<或b>,但ab<0.故选A. ‎ 答案 A ‎2.(2013·保定模拟)已知a>b,则下列不等式成立的是 (  ).‎ A.a2-b2≥0 B.ac>bc C.|a|>|b| D.2a>2b 解析 A中,若a=-1,b=-2,则a2-b2≥0不成立;当c ‎=0时,B不成立;当0>a>b时,C不成立;由a>b知2a>2b成立,故选D.‎ 答案 D ‎3.(2012·晋城模拟)已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出<成立的有 (  ).‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 运用倒数性质,由a>b,ab>0可得<,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C.‎ 答案 C ‎4.如果a,b,c满足cac B.c(b-a)>0‎ C.cb20,则A一定正确;B一定正确;D一定正确;当b=0时C不正确.‎ 答案 C 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.‎ 解析 由-<α<,-<-β<,α<β得-π<α-β<0.‎ 答案 (-π,0)‎ ‎6.(2013·南昌一模)现给出三个不等式:①a2+1>2a;②a2+b2>2;③+>+.其中恒成立的不等式共有________个.‎ 解析 因为a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以①不恒成立;对于②,a2+b2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,所以②恒成立;对于③,因为(+)2-(+)2=2-2>0,且+>0,+>0,所以+>+,即③恒成立.‎ 答案 2‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7.(12分)设00且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.‎ 解 法一 当a>1时,由00,‎ ‎∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|‎ ‎=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2),‎ ‎∵0<1-x2<1,∴loga(1-x2)<0,从而-loga(1-x2)>0,‎ 故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.‎ 当0|loga(1+x)|.‎ 法二 平方作差 ‎|loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2‎ ‎=[loga(1-x)]2-[loga(1+x)]2=loga(1-x2)·loga ‎=loga(1-x2)·loga>0.‎ ‎∴|loga(1-x)|2>|loga(1+x)|2,‎ 故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.‎ 法三 作商比较 ‎∵==|log(1+x)(1-x)|,‎ ‎∵01及>1,‎ ‎∴log(1+x)>0,故>1,‎ ‎∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.‎ ‎8.(13分)已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f ‎(3)的取值范围.‎ 解 由题意,得解得 所以f(3)=9a-c=-f(1)+f(2).‎ 因为-4≤f(1)≤-1,所以≤-f(1)≤,‎ 因为-1≤f(2)≤5,所以-≤f(2)≤.‎ 两式相加,得-1≤f(3)≤20,故f(3)的取值范围是[-1,20].‎ B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.(2011·上海)若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (  ).‎ A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2‎ 解析 对A:当a=b=1时满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错;对B、C:当a=b=-1时满足ab>0,但a+b<0,+<0,而2>0,>0,显然B、C不对;对D:当ab>0时,由均值定理+=2 =2.‎ 答案 D ‎2.(2013·汉中一模)若a、b均为不等于零的实数,给出下列两个条件.条件甲:对于区间[-1,0]上的一切x值,ax+b>0恒成立;条件乙:2b-a>0,则甲是乙的 (  ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当x∈[-1,0]时,恒有ax+b>0成立,‎ ‎∴当a>0时,ax+b≥b-a>0,‎ 当a<0时,ax+b≥b>0,∴b-a>0,b>0,∴2b-a>0,‎ ‎∴甲⇒乙,乙推不出甲,例如:a=b,b>0时,‎ 则2b-a=b>0,‎ 但是,当x=-1时,a·(-1)+b=-b+b=-b<0,‎ ‎∴甲是乙的充分不必要条件.‎ 答案 A 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调减函数,α,β,γ∈R,且α+β>0,β+γ>0,γ+α>0,则f(α)+f(β)+f(γ)与0的关系是________.‎ 解析 ∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=-f(x),‎ ‎∵α+β>0,β+γ>0,γ+α>0,‎ ‎∴α>-β,β>-γ,γ>-α,而f(x)在R上是单调减函数,‎ ‎∴f(α)b>0,则>;‎ ‎②若a>b>0,则a->b-;‎ ‎③若a>b>0,则>;‎ ‎④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.‎ 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上).‎ 解析 ①作差可得-=,而a>b>0,则<0,此式错误.②a>b>0,则 ‎<,进而可得->-,所以可得a->b-正确.③-===<0,错误.④当a-b<0时此式不成立,错误.‎ 答案 ②‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5.(12分)(2011·安徽)(1)设x≥1,y≥1,证明 x+y+≤++xy;‎ ‎(2)设1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.‎ 证明 (1)由于x≥1,y≥1,所以 x+y+≤++xy⇔xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.‎ 将上式中的右式减左式,得 ‎[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).‎ 既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,‎ 从而所要证明的不等式成立.‎ ‎(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 logca=,logba=,logcb=,logac=xy.‎ 于是,所要证明的不等式即为 x+y+≤++xy 其中x=logab≥1,y=logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.‎ ‎6.(13分)已知f(x)是定义在(-∞,4]上的减函数,是否存在实数m,使得f(m-sin x)≤‎ ‎ f对定义域内的一切实数x均成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 思维启迪:不等式和函数的结合,往往要利用函数的单调性和函数的值域.‎ 解 假设实数m存在,依题意,‎ 可得 即 因为sin x的最小值为-1,且-(sin x-)2的最大值为0,要满足题意,必须有 解得m=-或≤m≤3.‎ 所以实数m的取值范围是∪.‎ 探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域,m≤f(x)恒成立,只需m≤f(x)min.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎
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