高中数学:第一章《计数原理》测试(2)(新人教A版选修2-3)

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高中数学:第一章《计数原理》测试(2)(新人教A版选修2-3)

第一章 计数原理单元测试题 时间:120分钟,满分150分 本套题难度适中,主要考查学生的基本知识、基本方法、基本能力,如1—9题和13题都是这一部分的基本题目类型,对排列、组合和二项式定理的基本知识考查比较全面,且在考查基本知识的同时,也注重学生数学思想的考查,如10、12、18题考查了学生分类讨论的思想方法,11,14,17,21,22考查了学生转化与化归的思想方法,这些题目需要大家有较高的分析能力和运算能力,以及综合应用能力.‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )‎ A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 ‎2.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有 A.36种 B.48种 C.96种 D.192种 ‎3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有(  )‎ A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种 ‎4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有(  )‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有 A 40种 B 60种 C 100种 D 120种 ‎6. 由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )‎ A.72     B.60     C.48     D.52‎ ‎7.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第(  )个数.‎ A.6    B‎.9  ‎ C.10    D.8 ‎ ‎8.AB和CD为平面内两条相交直线,AB上有m个点,CD上有n个点,且两直线上各有一个与交点重合,则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.设,则 ‎ 的值为( )‎ A.0     B.-1     C.1      D. ‎ ‎10. 2006年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名,则比赛进行的总场数为( )‎ A.64 B‎.72 C.60 D.56‎ ‎11.用二项式定理计算9.985,精确到1的近似值为( )‎ A.99000  B‎.99002  ‎‎ ‎ C.99004    D.99005 ‎ ‎12. 从不同号码的五双靴中任取4只,其中恰好有一双的取法种数为 ( )‎ A.120 B‎.240 ‎‎ C.360 D.72‎ 二、 填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)‎ ‎13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列 有  种不同的方法(用数字作答).‎ ‎14. 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有   个(用数字作答).‎ ‎15. 若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 .‎ ‎16. 从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_____种。(用数字作答)‎ 三、解答题(本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.如图,电路中共有7个电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种情况。‎ ‎ ‎ ‎18.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:‎ ‎  ①能组成多少个没有重复数字的七位数?‎ ‎  ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?‎ ‎  ③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?‎ ‎  ④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?‎ ‎19.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.‎ (1) ‎43251是这个数列的第几项?‎ (2) 这个数列的第96项是多少?‎ (3) 求这个数列的各项和.‎ ‎20.(本小题满分12分)求证:能被25整除。‎ ‎21. (本小题满分14分)已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项,求展开式中含的项的二项式系数.‎ ‎22. (本小题满分14分)若某一等差数列的首项为,公差为展开式中的常数项,其中m是除以19的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.‎ 单元测试卷参考答案 排列、组合、二项式定理 一、选择题:(每题5分,共60分)‎ ‎1、D 解析:5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种,选D ‎2、C 解析.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有种,选C ‎3、解析:5名志愿者先排成一排,有种方法,2位老人作一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有=960种不同的排法,选B ‎4、A 解析:某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有个,选A ‎5、B解析:从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有种,选B ‎ ‎6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有种不同的排法,其中0在首位的有种不符合题意,所以共有种.‎ ‎7、C  解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.‎ ‎8、D  解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.‎ ‎9、C 解析: 由可得:‎ 当时, ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎10、A 解析:先进行单循环赛,有场,在进行第一轮淘汰赛,16个队打8场,在决出4强,打4场,再分别举行2场决出胜负,两胜者打1场决出冠、亚军,两负者打1场决出三、四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64场.‎ ‎11、C  解析:‎ ‎.‎ ‎12、A 解析:先取出一双有种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有种不同的取法,共有种不同的取法.‎ 二、 填空题(每小题4分,共16分)‎ ‎13、1260  解析: 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 ‎14、24 解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成个五位数;② 若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有个五位数;③‎ ‎ 若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个 ‎15、7 解析:若(2x3+)n的展开式中含有常数项,为常数项,即=0,当n=7,r=6时成立,最小的正整数n等于7.‎ ‎16、36种  解析.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有种 三、解答题(共六个小题,满分74分)‎ ‎17.解:每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三条支线路,分别记为支线a、b、c,支线a,b中至少有一个电阻断路情况都有22―1=3种;………………………4分 支线c中至少有一个电阻断路的情况有22―1=7种,…………………………………6分 每条支线至少有一个电阻断路,灯A就不亮,‎ 因此灯A不亮的情况共有3×3×7=63种情况.………………………………………10分 ‎18. 解:①分步完成:第一步在4个偶数中取3个,可有种情况;‎ 第二步在5个奇数中取4个,可有种情况;‎ 第三步3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况,‎ 所以符合题意的七位数有个.………3分 ‎ ‎   ②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个.……6分 ‎③上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有 个.……………………………………………9分 ‎④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空档,共有个.…………………………………12分 ‎19.解:⑴先考虑大于43251的数,分为以下三类 ‎ 第一类:以5打头的有: =24‎ ‎ 第二类:以45打头的有: =6‎ ‎ 第三类:以435打头的有: =2………………………………2分 故不大于43251的五位数有:(个)‎ 即43251是第88项.…………………………………………………………………4分 ‎ ‎⑵数列共有A=120项,96项以后还有120-96=24项,‎ 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,‎ 所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分 ‎⑶因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A个五位数,所以万位上数字的和为:(1+2+3+4+5)·A·10000……………………………………………………………10分 同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数,所以这个数列各项和为:‎ ‎(1+2+3+4+5)·A·(1+10+100+1000+10000) ‎ ‎=15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分 ‎20.证明:因 ………………3分 ‎……………………8分 ‎ ‎……………………………………10分 显然能被25整除,25n能被25整除,‎ 所以能被25整除.…………………………………………………12分 ‎21. 设的展开式的通项为 ‎.………………………………6分 若它为常数项,则,代入上式.‎ 即常数项是27,从而可得中n=7,…………………10分 同理由二项展开式的通项公式知,含的项是第4项,‎ 其二项式系数是35.…………………………………………………………14分 ‎22. 由已知得:,又,………………………………2分 所以首项.……………………………………………………………………4分 ‎,所以除以19的余数是5,即………6分 的展开式的通项 ‎,‎ 若它为常数项,则,代入上式.‎ 从而等差数列的通项公式是:,……………………………………10分 设其前k项之和最大,则,解得k=25或k=26,‎ 故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大,.………………………………………14分 ‎
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