2011年数学文（重庆）高考试题

2011年数学文（重庆）高考试题

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（文史类）‎ 满分150分 考试时间120分钟 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎ 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎ 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ ‎ 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．在等差数列中，，＝‎ ‎ A．12 B．‎14 ‎C．16 D．18‎ ‎2．设，则=‎ ‎ A．[0，2] B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3．曲线在点（1，2）处的切线方程为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134‎ 则样本数据落在内的频率为 A．0.2 B．‎0.3 ‎C．0.4 D．0.5‎ ‎5．已知向量共线，那么的值为 ‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎6．设的大小关系是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若函数在处取最小值，则 ‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎8．若△的内角，满足，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ‎ A． B． C． D．，‎ ‎10．高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上 ‎11．的展开式中的系数是 ‎ ‎12．若,且，则 ‎ ‎13．过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 ‎ ‎14．从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 ‎ ‎15．若实数的最大值是 ‎ 三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ 设是公比为正数的等比数列，，。‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。‎ ‎17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）‎ 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （I）没有人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （II）每个片区的房源都有人申请的概率。‎ ‎18．（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）‎ 设函数 ‎ （1）求的最小正周期；‎ ‎ （II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。‎ ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）‎ 设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．‎ ‎ （Ⅰ）求实数的值 ‎ （Ⅱ）求函数的极值 ‎20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）‎ ‎ 如题（20）图，在四面体中，平面ABC⊥平面，‎ ‎ （Ⅰ）求四面体ABCD的体积；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。‎ ‎21．（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ 题（21）图 参考答案 一、选择题 ‎1—5 DAACD 6—10 BCDBA 二、填空题：‎ ‎11．240‎ ‎12．‎ ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ 三、解答题：满分75分 ‎16．（本题13分）‎ 解：（I）设q为等比数列的公比，则由，‎ 即，解得（舍去），因此 所以的通项为 ‎ （II）‎ ‎ ‎ ‎17．（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题。‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。‎ 记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 种.‎ 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 ‎18．（本题13分）‎ 解：（I）‎ 故的最小正周期为 ‎ （II）依题意 当为增函数，‎ 所以上的最大值为 ‎19．（本题12分）‎ 解：（I）因 从而 即关于直线对称，从而由题设条件知 又由于 ‎ （II）由（I）知 令 当上为增函数；‎ 当上为减函数；‎ 当上为增函数；‎ 从而函数处取得极大值处取得极小值 ‎20．（本题12分）‎ 解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，‎ 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，‎ 则由AC=AD，知AG⊥CD，从而 由 故四面体ABCD的体积 ‎ （II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。‎ ‎ 在 ‎ 在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以 ‎ 在Rt△DEF中，‎ ‎ 解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。‎ ‎ 设点B的坐标为，有 ‎ ‎ ‎ 即点B的坐标为 ‎ 又设点D的坐标为有 ‎ ‎ ‎ 即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为 ‎ 又 ‎ 故四面体ABCD的体积 ‎ （II）由（I）知 ‎ 设非零向量是平面ABD的法向量，则由有 ‎ （1）‎ ‎ 由，有 ‎ （2）‎ ‎ 取，由（1），（2），可得 ‎ 显然向量是平面ABC的法向量，从而 ‎ ‎ ‎ 即二面角C—AB—D的平面角的正切值为 ‎21．（本题12分）‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率 是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。‎